資源簡介

第1章 整式的乘法
1.2 乘法公式
1.2.1 平方差公式
學習目標：
1. 理解并掌握平方差公式的推導和應用.（重點）
2. 理解平方差公式的結構特征，并能運用公式進行簡單的運算.（難點）
一、復習導入
多項式與多項式是如何相乘的？
( a + b )( m + n )= .
(x＋3)( x＋5)= .
情境導入
從前，有－個狡猾的地主，把－塊邊長為 20 米的正方形土地租給張老漢種植．第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的－邊減少 5 米，相鄰的另－邊增加 5 米，繼續租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢－聽，覺得好像沒有吃虧，就答應道：“好吧．”回到家中，他把這事和鄰居們－講，大家都說：“張老漢，你吃虧了!”他非常吃驚．
你覺得張老漢是否吃虧了
要點探究
探究點一：平方差公式
合作探究
算一算：看誰算得又快又準.
① (x + 1)( x－1)；
② (m + 2)( m－2)；
③ (x + y)(x－y)；
④ (5y + z)(5y－z).
想一想：這些計算結果有什么特點？你發現了什么規律？
知識要點
平方差公式：(x + y)(x y) = x2 y2 .
兩數和與這兩數差的積，等于這兩數的平方差.
公式變形：
(x –y) (x + y) = x2 y2 ， (y + x)( y + x ) = x2 y2 .
典例精析
例1 計算：(1) ( 2x＋1)( 2x－1 )； (2) (x＋2y)(x－2y).
例2 運用平方差公式計算: (－2x－ y)(－2x＋ y).
練一練：口答下列各題：
(l) (－x + y)(x + y) =_________.
(2) (x－y)(y + x) = _________.
(3) (－x－y)(－x + y) = ________.
(4) (x－y)(－x－y) = _________.
填一填：
(x + y)(x－y) x y x2－y2
(1 + x)(1－x)
(－3 + a)(－3－a)
(1 + a)(－1 + a)
(0.3x－1)(1 + 0.3x)
例3 運用平方差公式計算：(4a＋b)(－b＋4a).
方法總結：將括號內的式子轉化為平方差公式 的形式
練一練
利用平方差公式計算：
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4) .
探究點二：平方差公式的幾何驗證
合作探究
將長為 (a + b)，寬為 (a－b) 的長方形，剪下寬為 b 的長方形條，拼成一個有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的圖形的面積關系嗎？
探究點三：平方差公式的幾何驗證
自主探究
想一想：
(1) 計算下列各式，并觀察他們的共同特點：
6×8 = . 14×16 = . 69×71 = .
7×7 = . 15× 15 = . 70×70 = .
(2) 從以上的過程中，你發現了什么規律？請用字母
表示這一規律，你能說明它的正確性嗎？
典例精析
例4 計算：(1) 1002×998；
注意：不能直接應用公式的，要適當變形才可以應用.
例5 先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x ＝1，y ＝2.
方法總結：利用平方差公式先化簡再求值，一般不要先直接代入數值計算．
例6 王大伯家把一塊邊長為 a 米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少 4 米，另外一邊增加 4 米，繼續原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
二、課堂小結
1.下列式子可用平方差公式計算嗎 為什么
如果能夠，怎樣計算
(1) (a + b)( a b)；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b)；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
2. 下面各式的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
3. 已知 a = 7202 ，b = 721×719 ，則 ( )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
4. 97×103 = ( )×( ) = ( ).
5. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是 .
6. 利用平方差公式計算：
(1) (a + 3b)(a－3b)；
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
7. 利用平方差公式計算：
(1) 51 ×49； (2) 13.2×12.8；
(3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2).
能力拓展：
計算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).
若 A ＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ，則 A 的值是 .
參考答案
一、復習導入
( a + b )( m + n )=am + an + bm + bn
(x＋3)( x＋5)= x2＋5x＋3x＋15= x2＋8x＋15.
要點探究
探究點一：平方差公式
算一算：
① (x + 1)( x－1) = x2－1 = x2－12
② (m + 2)( m－2) = m2－4 = m2－22
③ (x + y)(x－y) = x2－y2 = x2－y2
④ (5y + z)(5y－z) = 25y2－z2 = (5y)2－z2
想一想：兩數和與這兩數差的積，等于這兩數的平方的差.
典例精析
例1
解：(1) 將平方差公式中的 x 用2x 代替，y 用 1 代替， 可得
(2x＋1)(2x－1)＝(2x)2－12 ＝4x2－1.
將平方差公式中的y 用2y 代替，可得
(x＋2y)(x－2y) ＝ x2－(2y)2＝x2－4y2 .
例2
解：將平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 1/2 y 代替，可得
(－2x－ y)(－2x＋ y)＝(－2x)2－(－ y)2＝4x2－ y2.
練一練：口答下列各題：
答：(l) y2－x2
(2) x2－y2
(3) x2－y2
(4) y2－x2
填一填：
(x + y)(x－y) x y x2－y2
(1 + x)(1－x) 1 x 12－x2
(－3 + a)(－3－a) －3 a (－3)2－a2
(1 + a)(－1 + a) a 1 a2－12
(0.3x－1)(1 + 0.3x) 0.3x 1 (0.3x)2－12
例3
解：由平方差公式得
(4a＋b)(－b＋4a) ＝(4a＋b)(4a－b) =(4a)2－b2
= 16a2－b2 .
練一練
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 =49m2－64n2 .
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)
=x4－16.
探究點二：平方差公式的幾何驗證
(a + b)(a b) = a2 b2
探究點三：平方差公式的幾何驗證
自主探究
想一想：
(1)
6×8 =48 14×16 = 224 69×71 = 4899
7×7 =49 15× 15 = 225 70×70 = 4900
(2) (a 1)(a + 1) = a2 1
典例精析
例4 解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2)
于是由平方差公式得
(1000＋2)(1000－2) = 10002－22= 1000000－4
= 999996
因此 1002×998 = 999996.
例5 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) =4x2－y2－(4y2－x2)
=4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2 .
當 x ＝1，y ＝2 時，原式＝5×12－5×22 ＝－15.
例6 解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為 a2，
改變邊長后面積為 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
因為a2＞a2－16，所以李大媽吃虧了．
二、課堂小結
當堂檢測
1.答：(1) 不能
(2) 不能
(3) 不能
(4) 能 (a2 b2) = a2 + b2
(5) 不能
2. (1) 不對 改正：x2－4
(2)不對
改正方法①：原式 = －[(3a + 2)(3a－2)]
= －(9a2－4) = －9a2 + 4.
改正方法②：原式 = (－2－3a)(－2 + 3a)
= (－2)2－(3a)2 = 4－9a2 .
3. B
4. 100－3 100 + 3 1002－32
5. x = 4
6. 解：(1) (a + 3b)(a－3b)= a2－(3b)2 = a2－9b2 .
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a) = (2a + 3)(2a－3) = (2a)2－32= 4a2－9.
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)= (－2x2 )2－y2 = 4x4－y2 .
(4) (－5 + 6x)(－6x－5) = (－5 + 6x)(－5－6x) = (－5)2－(6x)2
= 25－36x2 .
7. 解：(1) 51 ×49＝(50＋1)(50－1) ＝502－12 =2500－1 ＝2499.
(2) 13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2) ＝132－0.22 = 169－0.04 ＝168.96.
(3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2)＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6) =3x2－5x－10.
能力拓展：
1. 解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4 .
255
解析：A ＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
=(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) =(22－1)(22 + 1)(24 + 1)
=(24－1)(24 + 1)
=28－1
＝256－1
＝255 .

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