資源簡介

第11章 不等式與不等式組
11.2 不等式的性質
【學習目標】
1. 通過活動探究和實例操作，經歷觀察、分析，理解并掌握不等式的性質，培養自主學習的習慣和觀察推理能力.
2. 會用不等式的基本性質解簡單的不等式，培養學生的應用意識；在解題的過程中發展數感和運算能力，滲透數形結合思想.
3. 理解“≤”“≥”的含義，并掌握它們與“＜” 和“＞”的區別.
4. 掌握不等式的解集如何在數軸上表示以及能利用不等式解決簡單的實際問題.
【學習重點】不等式的性質，不等式性質的應用
【學習難點】不等式的性質的應用
【自主學習】
1. 什么是不等式
2. 等式有哪些性質
小明和小麗在學習不等式之后對不等式提出了一些問題：
(1) 若 a＞b，則有 b＜a.
(2) 若 a＞b，b＞c，則有 a＞b＞c.
請同學舉例說明他們的說法是否正確
要點歸納：交換不等式兩邊，不等號的方向改變：如果 a＞b，那么 b＜a.
不等關系可以傳遞：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞b＞c.
【合作探究】
探究點一、不等式的性質 1
活動1：用不等號填空：
(1) 5 ____－3，5＋2 _____－3＋2，5－2_____－3－2；
(2) 2 ____ 4，2＋1 _____ 4＋1，2－1_____4－1.
(3) 水果店的小王從水果批發市場購進 100 kg 梨和84 kg 蘋果，在賣出 a kg 梨和 a kg 蘋果后，又購進了梨和蘋果各 b kg ，請用 “＜” 或 “＞” 填空：
100－a ______84－a 100－a＋b______84－a＋b
問題1：觀察上面的式子，你發現了什么規律
一般地，不等式有如下性質：不等式的性質1 當不等式兩邊加 (或減) 同一個數 (或式子)，不等號的方向不變.
數學語言：如果 a > b，那么 a ± c > b±c .
活動 2：用不等號填空：
(1) 6____4 6×2____4×2 6÷2____4÷2
(2)－4 ____－2 －4×2____－2×2 －4÷2____－2÷2
(3) 已知蘋果的價格是 a 元/kg，梨的價格是 b 元/kg，且a＞b. 小李買了蘋果和梨各 3 kg ，則買哪種水果花錢較多 用不等號填空：3a ____ 3b.
(4) 在某次知識搶答賽中，甲乙兩隊的總得分分別為 a，b，其中 a＜b. 已知每隊人數均為 3 名，則哪隊的平均得分高 用不等號填空：a÷3 ____ b÷3.
問題2：你發現了什么規律
活動 3：用不等號填空：
(1) 6____4 6×(－2)____4×(－2) 6÷(－2)____4÷(－2)
(2)－4____－2 －4×(－2)____－2×(－2) －4÷(－2)____－2÷(－2)
不等式的性質 2，3
不等式的性質 2 當不等式兩邊乘 (或除以) 同一個正數，不等號的方向不變.即：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc (或 ＞ ).
不等式的性質 3 當不等式兩邊乘 (或除以) 同一個負數，不等號的方向改變.即：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc (或 ＜ ).
【典型例題】
例1 已知 a＞b，比較下列兩個式子的大小，并說明依據.
(1) a + 3 與 b + 3 ； (2) －2a 與 －2b.
思考：不等式的基本性質與等式的基本性質有什么相同點和不同點？
例2 利用不等式的性質解下列不等式.
(1) x－7＞26； (2) 3x＜2x＋1； (3) 2/3x＞50； (4) －4x＞3.
【練一練】
1. 已知實數 a，b 滿足 a＋1＞b＋1，則下列選項錯誤的是( )
A.a＞b B. a＋2＞b＋2 C. a－3＞b－3 D. 2a＞3b
2. 已知 m＜n，利用不等式的性質比較 －2m－1 和 －2n－1 的大小.
探究點二、不等式的性質應用
活動1 一輛轎車在一條規定車速不低于 60 km/h，且不高于 100 km/h 的高速公路上行駛，假設轎車的行駛速度為 x km/h.
問題1：不低于，不高于是什么意思 用什么符號表示
問題 2：用不等號表示情境中的不等關系.
追問：問題2 中的“≥”“≤”與“＞”“＜”有什么區別
活動 2：(1) x－1＜－2；(2) 2/3x≤－1；(3)－2x≤6.
(1) 根據不等式性質_____，不等式兩邊都加上 1，不等號的方向________，得__________.
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖：
(2) 根據不等式的性質_______，不等式兩邊都乘以 3/2 (或除以 2/3 )，不等號的方向_______，得___________.
用數軸表示為：
(3) 根據不等式的性質______，不等式兩邊同時乘以-1/2 (或除以_____)，不等號的方向_________，得__________.
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖：
要點歸納
① 在數軸上，若邊界點表示的數是不等式的解，則用實心圓點；若邊界點表示的數不是不等式的解，則用空心圓圈.
② 利用不等式的性質解不等式首先利用性質1 移項并合并同類項，再利用性質 2、3 將未知數系數化為1 即可求解.
【練一練】
3. 當 x 取何值時，代數式－1/3x＋2 的值大于或等于 0 . ( )
A. x＜6 B. x≤6 C. x＞6 D. x≥6
【典型例題】
例3 如圖，一個長方體形狀的魚缸長 10 dm，寬3.5 dm，高 7 dm. 若魚缸內已有水的高度為 1 dm，現準備向魚缸內繼續注水. 用 V（單位：dm3）表示新注入水的體積，寫出 V 的取值范圍并在數軸上表示.
課堂檢測
1. 已知x＞y，則下列不等式成立的是(　　 )
A. x＋5＜y＋5 B. x－5＜y－5 C. x/5 ＜y/5 D. －5x＜－5y
2. 如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是(　 　)
A. a＋c＜b＋c B . ac2＞bc2 C. ac＞bc D. ac＋1＞bc＋1
3.（教材P125練習T2變式）若x＞－2，則下列不等式中錯誤的是(　　)
A. 3x＞－6 B. x＋9＞7 C. x/4 ＞－1/2 D. －7x＞14
4. 已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
(1)－2x_____－2y； (2)2x_____2y； (3)2/3 x＋1_____2/3 2/3 y＋1.
5. 由ac＞bc得到a＜b的條件是：c_____0(填“＞”“＜”或“＝”).
6. 利用不等式的性質解下列不等式，并把解集在數軸上表示出來.
(1) x－1＞2；　　　 (2)1－x＞3；
(3) 2x＞－3； (4) －1/2 x≤x＋3/2 .
參考答案
【自主學習】
(1) 一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫作不等式
(2) 等式兩邊加或減同一個數(或式子)，乘或除以同一個數(除數不為 0)，結果仍相等……
例：5＞3，3＜5 成立， (1) 正確；6＞4，4＞2，且 6＞4＞2， (2) 正確
【合作探究】
探究點一、不等式的性質 1
活動1 (1) ＞ ＞ ＞ (2) ＜ ＜ ＜ (3) ＞ ＞
問題1 不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變.
活動2 (1) ＞ ＞ ＞ (2) ＜ ＜ ＜ (3) ＞ （4）＜
問題2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數，不等號方向不變
活動3 (1) ＞ ＜ ＜ (2) ＜ ＞ ＞
問題3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號方向改變
不等式的性質2、3
【典型例題】例1解：(1) 因為 a＞b，所以 a + 3＞b + 3.
(2) 因為 a＞b，所以 －2a＜－2b.
例2 解：(1) 根據不等式的性質1，不等式兩邊加7，不等號的方向不變，所以x－7＋7＞26＋7，x＞33.用數軸上表示為
(2)根據不等式的性質1，不等式兩邊減 2x，不等號的方向不變，所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1.用數軸上表示為
(3) 根據不等式的性質2，不等式兩邊乘 3/2，不等號的方向不變，所以3/2×2/3 x＞3/2×50，x＞75.用數軸上表示為
(4) 根據不等式的性質3，不等式兩邊除以－4，不等號的方向改變，所以 4x/ 4 ＜3/ 4，x＜－3/4.用數軸上表示為
【練一練】
1.D 2.解：∵m＜n，∴－2m＞－2n.∴－2m－1＞－2n－1.
探究點二、不等式的性質應用
問題1 “不低于”表示車速要保持在 60 km/h 或以上；“不高于”表示在 100 km/h 或以下. 用“≥”“≤”表示.
問題2 問題 2 中的“≥”“≤”表示不等式的范圍包含邊界值.而“＞”“＜”表示不等式的范圍不包含邊界值.
活動2 （1）1 不變 x＜－1
（2） 2 不變 x≤-3/2
（3） 3 -2 改變 x≥-3
【練一練】3. B
【典型例題】例3 解：因為“已有水的體積十新注入水的體積V≤魚缸的容積”，所以10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，解得 V≤210.又由于新注入水的體積 V 不能是負數，所以 V 的取值范圍是 0≤V≤210.
在數軸上表示 V 的取值范圍如圖所示：
課堂檢測
1. D 2.B 3. D 4. ＜ ＞ ＞ 5. ＜
6.解：(1) x＞3. (2) x ＜ －2
(3) 2x ＞－3； (4)－1/2 x≤x＋3/2 .

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