資源簡介

第十章 二元一次方程組
*10.4 三元一次方程組的解法(選講內容)
【學習目標】
1.通過提煉實際問題中的數量關系，結合二元一次方程組的概念，鍛煉抽象能力，培養類比推理能力.
2.能解簡單的三元一次方程組，通過探索三元一次方程組的解法,進一步感受“消元法”化繁為簡的化歸思想，培養舉一反三的遷移意識.
【學習重點】會解簡單的三元一次方程組
【學習難點】根據方程組的特點，選擇最合適的解法.
【自主學習】
1、什么叫二元一次方程組
2、解二元一次方程組的方法有哪些
已知小明、小天、小紅三個同學年齡之和為26歲，小明年齡的2倍與小天的年齡之和比小紅大18歲，小明比小紅大1歲，求三個同學的年齡.
【合作探究】
探究點一、三元一次方程（組）的概念
已知信息：小明、小天、小紅三個同學年齡之和為26歲小明年齡的2倍與小天的年齡之和比小紅大18歲，小明比小紅大1歲.
問題1：題中有未知量？你能找出哪些等量關系？
未知量：每一個未知量都用一個字母表示.
等量關系：用方程表示等量關系.
(1)小明的年齡 + 小天的年齡 + 小紅的年齡 = 26
(2)小明的年齡 - 1 = 小紅的年齡
(3) 2×小明的年齡+小天的年齡=小紅的年齡+18
想一想：觀察列出的三個方程，你有什么發現？
問題2：你能類比二元一次方程(組)給上面的方程(組)取名字嗎
x + y + z = 26 ①
x + y = z + 18 ③ x = y + 12 ②
觀察一下這三個方程的次數和未知數的個數，你有什么發現？
因三個同學的年齡必須同時滿足上述三個方程，故將三個方程聯立在一起.
總結：這個方程組含有三個未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是 1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫作_____________.
追問：你能根據二元一次方程組的解說出什么是三元一次方程組的解嗎
【練一練】
1. 下列方程組不是三元一次方程組的是 ( )
A.
探究點二、解三元一次方程組
例1 解方程組
問題1：你能把上面的方程組化成只含有兩個未知數的方程組嗎
問題2：如何求方程組中第三個未知數的值
完整解答：
問題3：類比二元一次方程組的解法總結解三元一次方程組的方法.
【典型例題】
例2 在等式 y = ax2 + bx + c 中，當 x= -1時，y = 0；當 x = 2 時，y = 3；當 x = 5 時，y = 60. 求 a，b，c的值.
例3 若| a -b -1| + (b - 2a + c)2 + |2c - b| = 0，求 a，b，c的值.
例4 幼兒營養標準中要求每一個幼兒每天所需的營養量中應包含 35 單位的鐵、70 單位的鈣和 35 單位的維生素.現有一批營養師根據上面的標準給幼兒園小朋友們配餐，其中包含 A，B， C 三種食物，下表給出的是每份( 50 g)食物 A， B， C 分別所含的鐵、鈣和維生素的量(單位):
食物 鐵 鈣 維生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
課堂檢測
1. 下列方程：① ；②；③2x＋3a＋b＝7；④x＋3y－4z＝1.其中能與方程x＋y＋z＝3 和 2x－y＝3組成三元一次方程組的是_____ (填序號).
2. 解方程組 根據方程組的特點，可采取先將①分別代入③②式得____________，___________，從而求出y＝_______，z＝_______.
3. 若a，b，c為三角形的三邊長，此三角形周長為18，且a＋b＝2c，b＝2a，則a＝________，b＝________，c＝________. .
4. 解方程組：
(1) (2)
5. 一個三位數，個位、百位上的數字的和等于十位上的數字，百位上的數字的7倍比個位、十位上的數字的和大2，個位、十位、百位上的數字的和是14，求這個三位數.
參考答案
【自主學習】
(1)方程組中含有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是 1，一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.
(2)有代入消元法和加減消元法.
【合作探究】
探究點一、三元一次方程（組）的概念
問題1 三個未知量，分別是小紅、小明和小天的年齡。
等量關系 (1)小明的年齡 + 小天的年齡 + 小紅的年齡 = 26
(2)小明的年齡 = 小紅的年齡 + 1
(3) 2×小明的年齡+小天的年齡=小紅的年齡+18
問題2 含三個未知數 未知數的次數都是 1 三元一次方程組
追問 三元一次方程組中各個方程的公共解叫作這個三元一次方程組的解.
【練一練】 1.D
探究點二、解三元一次方程組
問題1 可以參考解二元一次方程組的方法，利用代入消元或加減消元消去一個未知數.
問題2 消元成二元一次方程組后，解二元一次方程組，再把得到的解代入原方程組中求第三個未知數.
完整解答 解：把②代人①，得 z + 1 + y + z = 26 ④. 把②代人③，得 2(z + 1) + y = z + 18 ⑤.④和⑤組成二元一次方程組
將 y = 7，z = 9 代入①中，得 x = 10.
因此原方程組解為
問題3 三元一次方程組消元成二元一次方程組，然后將二元一次方程組消元成一次方程。解出一個未知數代入原來的方程求出另外兩個未知數。
【典型例題】例2
解得
因此 a，b，c的值分別為 3，-2，-5
例3 解：因為三個非負式的和等于0，所以每個非負式的值均為 0.
解得
例4 解：設食譜中包含 A， B，C 三種食物各 x， y，z 份，由題意
解得
答：該食譜中包含 A 種食物 2 份，B 種食物 1 份，C 種食物 2 份.
課堂檢測
1.①④ 2. x＝ 3 x－4y＝－5　2 5 3. 4 8 6
4. （1） （2）
5.解：設這個三位數個位上的數字為x，十位上的數字為y，百位上的數字為z.依題意得
把①代入③得y＝7，把y＝7代入①得x＋z＝7④，代入②得7z＝x＋9⑤，④＋⑤得z＝2，∴x＝5.∴這個三位數為2×100＋7×10＋5＝275.

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