資源簡介

16.3　可化為一元一次方程的分式方程
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解分式方程的概念,能區分整式方程與分式方程 模型觀念
2.概括解分式方程的步驟,能解可化為一元一次方程的分式方程 運算能力
3.理解增根產生的原因,掌握驗根的方法 推理能力、運算能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.分式方程 方程中含有分式,并且分母中含有　未知數　的方程. 1.下列方程中,是分式方程的是(D) A.+=3　 B.x-4y=7 C.2x=3(x-5)　 D.=1
2.解分式方程 (1)解分式方程的基本思路:將分式方程化為　整式方程　,具體做法是“　去分母　”,即方程兩邊乘　最簡公分母　. (2)檢驗:把整式方程的解代入　最簡公分母　,如果最簡公分母的值不為　0　,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個解不是原分式方程的解. 2.(1)解分式方程=-3時,去分母正確的是(C) A.2x=3-3x+3　 B.2x=3-6x-6 C.2x=3-6x+6　 D.2x=3-6x+2 (2)方程+=0的解為　x=-1　.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
【重點1】解分式方程(運算能力)
【典例1】(教材再開發·P14例1拓展)解方程:
(1)=;
(2)=+1.
【自主解答】(1)去分母,得x-3=4x,
移項,合并同類項,得3x=-3,
系數化為1,得x=-1,
經檢驗,x=-1是原分式方程的解,故原方程的解為x=-1;
(2)去分母,得x+1=3-x+x-1,
移項,合并同類項,得x=1,
經檢驗,x=1是原分式方程的增根,故原方程無解.
【舉一反三】
1.(2024·大連模擬)解方程-2=去分母,兩邊同乘(x-1)后的式子為(B)
A.1-2=-3x
B.1-2(x-1)=-3x
C.1-2(1-x)=-3x
D.1-2(x-1)=3x
2.(2024·成都模擬)分式方程-=1的解是　x=-2　.
【重點2】根據分式方程根的情況求參數(運算能力、推理能力)
【典例2】(1)已知關于x的分式方程+=1.
①當a=5時,求方程的解;
②若該方程有增根,求a的值.
(2)關于x的方程+=2有整數解,求m的值.
【自主解答】(1)①當a=5時,分式方程為+=1,去分母,得5-3=x-1,解得x=3,檢驗:當x=3時,x-1≠0,∴x=3是原分式方程的解;
②把+=1,去分母得a-3=x-1,
解得x=a-2,∵分式方程的增根是x=1,
∴a-2=1,解得a=3.
(2)+=2,去分母,得mx-1-1=2(x-2),解得x=,∵方程有整數解,∴2-m=±1或2-m=±2且≠2,
解得m=1或3或0或4且m≠1,
∴m=3或0或4.
【舉一反三】
1.(2024·西安期末)若關于x的方程=1有增根,則m的值是(A)
A.-　　B.1　　C.-或1　　D.0或1
2.若關于x的分式方程=1-無解,則m=　1　.
3.(2024·日照期末)已知關于x的分式方程+=2的解為正數,則a的取值范圍是　a<8且a≠-1　.
【技法點撥】
分式方程的增根
(1)增根:化為整式方程后產生的使分式方程的最簡公分母為0的根.
(2)增根問題可按如下步驟進行:
①化分式方程為整式方程;
②讓最簡公分母為0確定未知數的值;
③把未知數的值代入整式方程即可求得相關字母的值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)給出下列關于x的方程:
①=5,②=,③=x-1,④=.其中,分式方程有(A)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.(4分·運算能力)已知關于x的方程=的解是x=-2,則a的值為(B)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.(4分·運算能力、推理能力)若關于x的分式方程=2的解為非正數,則k的取值范圍為　k≤3且k≠1　.
4.(8分·運算能力)小江解方程+1=的過程如圖.請指出解答過程中錯誤步驟的序號,并寫出正確的解答過程.
x-2+1=3…① x-1=3…② x=4…③ 經檢驗,x=4是原方程的解.
【解析】錯誤的步驟是①,
正確的解答過程如下:
x-2+x-3=-3,
2x=-3+2+3,
2x=2,
x=1,
檢驗:當x=1時,x-3≠0,
所以原分式方程的解是x=1.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 五”16.3　可化為一元一次方程的分式方程
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解分式方程的概念,能區分整式方程與分式方程 模型觀念
2.概括解分式方程的步驟,能解可化為一元一次方程的分式方程 運算能力
3.理解增根產生的原因,掌握驗根的方法 推理能力、運算能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.分式方程 方程中含有分式,并且分母中含有 的方程. 1.下列方程中,是分式方程的是( ) A.+=3　 B.x-4y=7 C.2x=3(x-5)　 D.=1
2.解分式方程 (1)解分式方程的基本思路:將分式方程化為 ,具體做法是“ ”,即方程兩邊乘 . (2)檢驗:把整式方程的解代入 ,如果最簡公分母的值不為 ,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個解不是原分式方程的解. 2.(1)解分式方程=-3時,去分母正確的是( ) A.2x=3-3x+3　 B.2x=3-6x-6 C.2x=3-6x+6　 D.2x=3-6x+2 (2)方程+=0的解為 .
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
【重點1】解分式方程(運算能力)
【典例1】(教材再開發·P14例1拓展)解方程:
(1)=;
(2)=+1.
【舉一反三】
1.(2024·大連模擬)解方程-2=去分母,兩邊同乘(x-1)后的式子為( )
A.1-2=-3x
B.1-2(x-1)=-3x
C.1-2(1-x)=-3x
D.1-2(x-1)=3x
2.(2024·成都模擬)分式方程-=1的解是 .
【重點2】根據分式方程根的情況求參數(運算能力、推理能力)
【典例2】(1)已知關于x的分式方程+=1.
①當a=5時,求方程的解;
②若該方程有增根,求a的值.
(2)關于x的方程+=2有整數解,求m的值.
【舉一反三】
1.(2024·西安期末)若關于x的方程=1有增根,則m的值是( )
A.-　　B.1　　C.-或1　　D.0或1
2.若關于x的分式方程=1-無解,則m= .
3.(2024·日照期末)已知關于x的分式方程+=2的解為正數,則a的取值范圍是 .
【技法點撥】
分式方程的增根
(1)增根:化為整式方程后產生的使分式方程的最簡公分母為0的根.
(2)增根問題可按如下步驟進行:
①化分式方程為整式方程;
②讓最簡公分母為0確定未知數的值;
③把未知數的值代入整式方程即可求得相關字母的值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)給出下列關于x的方程:
①=5,②=,③=x-1,④=.其中,分式方程有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.(4分·運算能力)已知關于x的方程=的解是x=-2,則a的值為( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.(4分·運算能力、推理能力)若關于x的分式方程=2的解為非正數,則k的取值范圍為 .
4.(8分·運算能力)小江解方程+1=的過程如圖.請指出解答過程中錯誤步驟的序號,并寫出正確的解答過程.
x-2+1=3…① x-1=3…② x=4…③ 經檢驗,x=4是原方程的解.16.3　可化為一元一次方程的分式方程
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握列分式方程解應用題的具體步驟 模型觀念、應用意識
2.運用分式方程解決實際問題 運算能力、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.某校學生去距離學校12 km的博物館參觀,一部分學生騎自行車先走,過了20 min后,其余學生乘汽車出發,結果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍,汽車的速度是(D) A.0.2 km/min　 B.0.3 km/min C.0.4 km/min　 D.0.6 km/min 2.某市為了構建城市立體交通網絡,決定修建一條輕軌鐵路,為使工程提前半年完成,需將工作效率提高25%,則原計劃完成這項工程需要　30　個月.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】列分式方程解決工程問題(運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P15例3拓展)為保障水果種植基地用水,現要修建灌溉水渠.計劃修建灌溉水渠1 650米,由甲、乙兩個施工隊合作完成.乙施工隊每天比甲施工隊多修建30米,甲施工隊單獨完成修建任務所需天數是乙施工隊單獨完成修建任務所需天數的.
(1)求甲、乙兩施工隊每天各修建多少米;
(2)已知甲施工隊每天的修建費用為9萬元,乙施工隊每天的修建費用為12萬元,若先由甲施工隊單獨修建若干天,再由甲、乙兩個施工隊合作修建,恰好14天完成修建任務,求共需修建費用多少萬元.
【自主解答】(1)設甲施工隊每天修建x米,則乙施工隊每天修建(x+30)米,根據題意,得×=,解得x=60,
經檢驗,x=60是原分式方程的解,且符合題意,60+30=90(米).
答:甲施工隊每天修建60米,乙施工隊每天修建90米;
(2)設先由甲施工隊單獨修建m天,根據題意,得60m+(60+90)(14-m)=1 650,解得m=5,∴總修建費用為9×14+12×(14-5)=234(萬元).
答:共需修建費用234萬元.
【舉一反三】
1.甲、乙兩人每小時一共可做30個電器零件,兩人同時開始工作,當甲做了90個零件時乙做了60個零件,設甲每小時能做x個零件,根據題意可列分式方程為(B)
A.= B.=
C.= D.=
2.某縣為改善居民生活質量,計劃對某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施工,則恰好在規定時間內完成;若由乙隊單獨施工,則完成工程所需天數是規定天數的1.5倍.如果由甲、乙兩隊先合作施工15天,那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天.
(1)這項工程的規定時間是多少天
(2)為了縮短工期,減少對居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊合作完成,則甲、乙兩隊合作完成該工程需要多少天
【解析】(1)設這項工程的規定時間是x天,則甲隊單獨施工需要x天完工,乙隊單獨施工需要1.5x天完工,
依題意,得+=1,解得x=30,
經檢驗,x=30是原方程的解,且符合題意.
答:這項工程的規定時間是30天.
(2)由(1)可知:甲隊單獨施工需要30天完工,乙隊單獨施工需要45天完工,
1÷=18(天).
答:甲、乙兩隊合作完成該工程需要18天.
【技法點撥】
1.工作量:
(1)通常把總工作量看成單位“1”.
(2)每一部分的工作量=工作效率×工作時間.
2.等量關系:每人完成的工作量之和=總工作量.
【重點2】分式方程解決行程問題(運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P16練習T3拓展)(2023·廣東中考)某學校開展了社會實踐活動,活動地點距離學校12 km,甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發,甲的速度是乙的1.2倍,結果甲比乙早到10 min,求乙同學騎自行車的速度.
【自主解答】設乙同學騎自行車的速度為x km/h,則甲同學騎自行車的速度為1.2x km/h,根據題意得-=,
解得x=12.經檢驗,x=12是原分式方程的解,且符合題意.
答:乙同學騎自行車的速度為12 km/h.
【舉一反三】
1.某校組織全體黨員赴革命老區開展“重走紅軍路,感悟革命精神”的黨員主題實踐活動,全程80千米.學校通知上午七點整大家乘大巴車前往目的地,因堵車大巴車晚到,推遲了10分鐘出發,途中大巴車平均每小時比原計劃多走20%,結果正好按原計劃到達目的地.設大巴車原計劃的平均速度為x千米/時,則可列方程為(D)
A.=+
B.=-
C.=+10
D.=+
2.(2024·鞍山模擬)“孔子周游列國”是流傳很廣的故事.有一次孔子和學生們到距離他們住的驛站15公里的書院參觀,學生們步行出發,1小時后,孔子乘牛車出發,牛車的速度是步行速度的1.5倍,若孔子和學生們同時到達書院,設學生們步行的速度為每小時x公里,則可列方程為 =+1　.
3.(2024·運城模擬)無人機除軍事用途外,還因在尺寸、速度和機動性等方面的獨特優勢,使得無人機在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和應急救援、救護等民用領域應用也極為廣泛.某科研小組的同學發現,“信鴿”仿生飛行器時速是“云鸮”仿生飛行器時速的1.5倍,“信鴿”仿生飛行器飛向5千米高的空中比“云鸮”仿生飛行器少用5分鐘,求“信鴿”仿生飛行器的時速.
【解析】設“云鸮”仿生飛行器的時速為x千米,則“信鴿”仿生飛行器的時速為1.5x千米,
由題意得,-=,
解得x=20,
經檢驗,x=20是原方程的解,且符合題意,
∴1.5x=1.5×20=30,
答:“信鴿”仿生飛行器的時速為30千米.
【技法點撥】
行程問題的三種時間關系
1.甲早走同時到:時間差=早走時間.
2.甲早走早到:時間差=早走時間-早到時間.
3.甲早走晚到:時間差=早走時間+晚到時間.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念、應用意識)(2024·臨夏州中考)端午節期間,某商家推出“優惠酬賓”活動,決定每袋粽子降價2元銷售.細心的小夏發現,降價后用240元可以比降價前多購買10袋,求:每袋粽子的原價是多少元 設每袋粽子的原價是x元,所得方程正確的是(C)
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.-=10
2.(4分·模型觀念、應用意識)《九章算術》是我國古代重要的數學專著之一,其中記錄的一道題譯為把一份文件用慢馬送到900里外的城市,需要的時間比規定時間多1天;如果用快馬送,所需的時間比規定時間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍.根據題意列方程為×2=,其中x表示(C)
A.快馬的速度 B.慢馬的速度
C.規定時間 D.以上都不對
3.(4分·模型觀念、應用意識)某種罐裝涼茶一箱的價格為84元,某商場實行促銷活動,買一箱送四罐,每罐的價格比原來便宜0.5元,設每箱中有涼茶x罐,則可列方程: -=0.5　.
4.(8分·運算能力、應用意識)A,B兩種機器人都被用來搬運化工原料,A型機器人比B型機器人每小時多搬運30 kg,A型機器人搬運900 kg所用時間與B型機器人搬運600 kg所用時間相等,求A型機器人每小時搬運多少化工原料.
【解析】設B型機器人每小時搬運x kg化工原料,則A型機器人每小時搬運(x+30)kg化工原料,根據題意得,=,解得x=60,
經檢驗,x=60是所列方程的解,且符合題意,
∴x+30=60+30=90(kg).
答:A型機器人每小時搬運90 kg化工原料.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 六”16.3　可化為一元一次方程的分式方程
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握列分式方程解應用題的具體步驟 模型觀念、應用意識
2.運用分式方程解決實際問題 運算能力、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.某校學生去距離學校12 km的博物館參觀,一部分學生騎自行車先走,過了20 min后,其余學生乘汽車出發,結果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍,汽車的速度是( ) A.0.2 km/min　 B.0.3 km/min C.0.4 km/min　 D.0.6 km/min 2.某市為了構建城市立體交通網絡,決定修建一條輕軌鐵路,為使工程提前半年完成,需將工作效率提高25%,則原計劃完成這項工程需要 個月.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】列分式方程解決工程問題(運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P15例3拓展)為保障水果種植基地用水,現要修建灌溉水渠.計劃修建灌溉水渠1 650米,由甲、乙兩個施工隊合作完成.乙施工隊每天比甲施工隊多修建30米,甲施工隊單獨完成修建任務所需天數是乙施工隊單獨完成修建任務所需天數的.
(1)求甲、乙兩施工隊每天各修建多少米;
(2)已知甲施工隊每天的修建費用為9萬元,乙施工隊每天的修建費用為12萬元,若先由甲施工隊單獨修建若干天,再由甲、乙兩個施工隊合作修建,恰好14天完成修建任務,求共需修建費用多少萬元.
【舉一反三】
1.甲、乙兩人每小時一共可做30個電器零件,兩人同時開始工作,當甲做了90個零件時乙做了60個零件,設甲每小時能做x個零件,根據題意可列分式方程為( )
A.= B.=
C.= D.=
2.某縣為改善居民生活質量,計劃對某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施工,則恰好在規定時間內完成;若由乙隊單獨施工,則完成工程所需天數是規定天數的1.5倍.如果由甲、乙兩隊先合作施工15天,那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天.
(1)這項工程的規定時間是多少天
(2)為了縮短工期,減少對居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊合作完成,則甲、乙兩隊合作完成該工程需要多少天
【技法點撥】
1.工作量:
(1)通常把總工作量看成單位“1”.
(2)每一部分的工作量=工作效率×工作時間.
2.等量關系:每人完成的工作量之和=總工作量.
【重點2】分式方程解決行程問題(運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P16練習T3拓展)(2023·廣東中考)某學校開展了社會實踐活動,活動地點距離學校12 km,甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發,甲的速度是乙的1.2倍,結果甲比乙早到10 min,求乙同學騎自行車的速度.
【舉一反三】
1.某校組織全體黨員赴革命老區開展“重走紅軍路,感悟革命精神”的黨員主題實踐活動,全程80千米.學校通知上午七點整大家乘大巴車前往目的地,因堵車大巴車晚到,推遲了10分鐘出發,途中大巴車平均每小時比原計劃多走20%,結果正好按原計劃到達目的地.設大巴車原計劃的平均速度為x千米/時,則可列方程為( )
A.=+
B.=-
C.=+10
D.=+
2.(2024·鞍山模擬)“孔子周游列國”是流傳很廣的故事.有一次孔子和學生們到距離他們住的驛站15公里的書院參觀,學生們步行出發,1小時后,孔子乘牛車出發,牛車的速度是步行速度的1.5倍,若孔子和學生們同時到達書院,設學生們步行的速度為每小時x公里,則可列方程為 .
3.(2024·運城模擬)無人機除軍事用途外,還因在尺寸、速度和機動性等方面的獨特優勢,使得無人機在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和應急救援、救護等民用領域應用也極為廣泛.某科研小組的同學發現,“信鴿”仿生飛行器時速是“云鸮”仿生飛行器時速的1.5倍,“信鴿”仿生飛行器飛向5千米高的空中比“云鸮”仿生飛行器少用5分鐘,求“信鴿”仿生飛行器的時速.
【技法點撥】
行程問題的三種時間關系
1.甲早走同時到:時間差=早走時間.
2.甲早走早到:時間差=早走時間-早到時間.
3.甲早走晚到:時間差=早走時間+晚到時間.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念、應用意識)(2024·臨夏州中考)端午節期間,某商家推出“優惠酬賓”活動,決定每袋粽子降價2元銷售.細心的小夏發現,降價后用240元可以比降價前多購買10袋,求:每袋粽子的原價是多少元 設每袋粽子的原價是x元,所得方程正確的是( )
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.-=10
2.(4分·模型觀念、應用意識)《九章算術》是我國古代重要的數學專著之一,其中記錄的一道題譯為把一份文件用慢馬送到900里外的城市,需要的時間比規定時間多1天;如果用快馬送,所需的時間比規定時間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍.根據題意列方程為×2=,其中x表示( )
A.快馬的速度 B.慢馬的速度
C.規定時間 D.以上都不對
3.(4分·模型觀念、應用意識)某種罐裝涼茶一箱的價格為84元,某商場實行促銷活動,買一箱送四罐,每罐的價格比原來便宜0.5元,設每箱中有涼茶x罐,則可列方程: .
4.(8分·運算能力、應用意識)A,B兩種機器人都被用來搬運化工原料,A型機器人比B型機器人每小時多搬運30 kg,A型機器人搬運900 kg所用時間與B型機器人搬運600 kg所用時間相等,求A型機器人每小時搬運多少化工原料.

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