資源簡介

4.求一次函數的表達式
課時學習目標 素養目標達成
1.會用待定系數法求一次函數的表達式 抽象能力、運算能力
2.會利用一次函數表達式、性質、圖象解決簡單的實際問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點
待定系數法求一次函數表達式的思維模型
對點小練
在平面直角坐標系中,一次函數y=kx+3(k≠0)的圖象經過點A(-1,1),則這個一次函數的表達式是(C)
A.y=-2x+3 B.y=x+3
C.y=2x+3 D.y=x+3
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 待定系數法求一次函數表達式(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P51做一做延伸)
如圖,在直角坐標系中,一次函數y=-2x+8的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點B,在y軸上取一點C,連結BC,使AC=BC.
(1)求點C的坐標和直線BC的表達式;
(2)在線段AB上取一點D,若點D的橫坐標為2,請你在x軸上找一點P,使得PD+PC的值最小,并求出此時點P的坐標.
【自主解答】(1)當x=0時,y=-2×0+8=8,
∴A(0,8),
當y=0時,-2x+8=0,解得x=4,∴B(4,0),
設C(0,t),則OC=t,AC=BC=8-t,
在Rt△OBC中,42+t2=(8-t)2,解得t=3,∴C(0,3),
設直線BC的表達式為y=kx+b,
把B(4,0),C(0,3)分別代入得,解得,
∴直線BC的表達式為y=-x+3;
(2)作點C關于x軸的對稱點C',連結DC'交x軸于點P,如圖,
∵PC=PC',
∴PC+PD=PC'+PD=DC',
∴此時PC+PD的值最小,
當x=2時,y=-2x+8=4,
∴D(2,4),
∵點C'與C(0,3)關于x軸對稱,
∴C'(0,-3),
設直線DC'的表達式為y=k'x+b',
把C'(0,-3),D(2,4)分別代入
得,解得,
∴直線DC'的表達式為y=x-3,
當y=0時,x-3=0,解得x=,
∴P點坐標為(,0).
【舉一反三】
1.(2024·臨汾期中)如圖,一次函數y=kx+b的圖象與y軸交于點A(0,3),與x軸交于點B(4,0),則該函數的表達式為(B)
A.y=-x+3 B.y=-x+3
C.y=-x+4 D.y=-x+4
2.(2024·北京期中)函數y=mx+1(m≠0)的圖象經過(2,-1),那么m=　-1　.
【技法點撥】
求一次函數表達式的四個步驟
(1)設:設函數表達式為y=kx+b(k≠0).
(2)代:將已知點的坐標或x,y的對應值代入所設表達式中,得到關于系數k,b的方程組.
(3)解:解方程組求得系數k,b的值.
(4)寫:將k,b的值代入所設表達式中,寫出表達式.
重點2 實際情境下求一次函數表達式(運算能力、應用意識)
【典例2】(教材溯源·P50例4·2023連云港中考)目前,我市對市區居民用氣戶的燃氣收費,以戶為基礎、年為計算周期設定了如表的三個氣量階梯:
階梯 年用氣量 銷售價格 備注
第一 階梯 0~400 m3(含 400)的部分 2.67元 /m3 若家庭人口超 過4人的,每增 加1人,第一、 二階梯年用氣 量的上限分別 增加100 m3, 200 m3.
第二 階梯 400~1 200 m3 (含1 200)的 部分 3.15元 /m3
第三 階梯 1 200m3以上的 部分 3.63元 /m3
(1)一戶家庭人口為3人,年用氣量為200 m3,則該年此戶需繳納燃氣費用為
　　　　元;
(2)一戶家庭人口不超過4人,年用氣量為x m3(x>1 200),該年此戶需繳納燃氣費用為y元,求y與x的函數表達式;
(3)甲戶家庭人口為3人,乙戶家庭人口為5人,某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3 855元,求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃氣 (結果精確到1 m3)
【自主解答】(1)200×2.67=534(元).
答案:534
(2)根據題意得:y=400×2.67+(1 200-400)×3.15+3.63(x-1 200)=3.63x-768,
∴y與x的函數表達式為y=3.63x-768(x>1 200);
(3)∵400×2.67+(1 200-400)×3.15=3 588<3 855,
∴甲戶該年的用氣量達到了第三階梯,
由(2)知,當y=3 855時,3.63x-768=3 855,
解得x≈1 273.6,
又∵2.67×(100+400)+3.15×(1 200+200-500)=4 170>3 855,且2.67×(100+400)=1 335<3 855,
∴乙戶該年的用氣量達到第二階梯,但未達到第三階梯,
設乙戶年用氣量為a m3,則有2.67×500+3.15(a-500)=3 855,解得a=1 300,
1 300-1 273.6=26.4≈26 m3,
答:該年乙戶比甲戶多用約26 m3的燃氣.
【舉一反三】
1.(2024·山西中考)生物學研究表明,某種蛇在一定生長階段,其體長y(cm)是尾長x(cm)的一次函數,部分數據如表所示,則y與x之間的關系式為(A)
尾長(cm) 6 8 10
體長y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
2.(2024·深圳模擬)某社區采購春節慰問禮品,購買了甲、乙兩種類型的糧油套裝.甲種糧油套裝單價比乙種糧油套裝單價多30元,用1 200元購買甲種糧油套裝和用900元購買乙種糧油套裝的數量相同.
(1)求甲、乙兩種糧油套裝的單價分別是多少元.
(2)社區準備再次購買甲種和乙種糧油套裝共40件,購買乙種糧油套裝不超過甲種糧油套裝的3倍,且商家給出了兩種糧油套裝均打八折的優惠.問購買甲種和乙種糧油套裝各多少件時花費最少 最少花費是多少元
【解析】(1)設甲種糧油套裝的單價為x元,
則乙種糧油套裝的單價為(x-30)元,
根據題意得,=,解得,x=120,
經檢驗,x=120是原方程的根,∴x-30=90,
答:甲、乙兩種糧油套裝的單價分別是120元和90元;
(2)設購買甲種糧油套裝m件,購買乙種糧油套裝(40-m)件,購買總花費w元,由題意得,40-m≤3m,
解得,m≥10,w=120×0.8m+90×0.8(40-m)=24m+2 880,
∵24>0,∴w隨m的減小而減小.
當m=10時,w取得最小值3 120,∴40-m=30,
答:購買甲種糧油套裝10件和乙種糧油套裝30件時花費最少,最少花費是3 120元.4.求一次函數的表達式
課時學習目標 素養目標達成
1.會用待定系數法求一次函數的表達式 抽象能力、運算能力
2.會利用一次函數表達式、性質、圖象解決簡單的實際問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點
待定系數法求一次函數表達式的思維模型
對點小練
在平面直角坐標系中,一次函數y=kx+3(k≠0)的圖象經過點A(-1,1),則這個一次函數的表達式是( )
A.y=-2x+3 B.y=x+3
C.y=2x+3 D.y=x+3
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 待定系數法求一次函數表達式(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P51做一做延伸)
如圖,在直角坐標系中,一次函數y=-2x+8的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點B,在y軸上取一點C,連結BC,使AC=BC.
(1)求點C的坐標和直線BC的表達式;
(2)在線段AB上取一點D,若點D的橫坐標為2,請你在x軸上找一點P,使得PD+PC的值最小,并求出此時點P的坐標.
【舉一反三】
1.(2024·臨汾期中)如圖,一次函數y=kx+b的圖象與y軸交于點A(0,3),與x軸交于點B(4,0),則該函數的表達式為( )
A.y=-x+3 B.y=-x+3
C.y=-x+4 D.y=-x+4
2.(2024·北京期中)函數y=mx+1(m≠0)的圖象經過(2,-1),那么m= .
【技法點撥】
求一次函數表達式的四個步驟
(1)設:設函數表達式為y=kx+b(k≠0).
(2)代:將已知點的坐標或x,y的對應值代入所設表達式中,得到關于系數k,b的方程組.
(3)解:解方程組求得系數k,b的值.
(4)寫:將k,b的值代入所設表達式中,寫出表達式.
重點2 實際情境下求一次函數表達式(運算能力、應用意識)
【典例2】(教材溯源·P50例4·2023連云港中考)目前,我市對市區居民用氣戶的燃氣收費,以戶為基礎、年為計算周期設定了如表的三個氣量階梯:
階梯 年用氣量 銷售價格 備注
第一 階梯 0~400 m3(含 400)的部分 2.67元 /m3 若家庭人口超 過4人的,每增 加1人,第一、 二階梯年用氣 量的上限分別 增加100 m3, 200 m3.
第二 階梯 400~1 200 m3 (含1 200)的 部分 3.15元 /m3
第三 階梯 1 200m3以上的 部分 3.63元 /m3
(1)一戶家庭人口為3人,年用氣量為200 m3,則該年此戶需繳納燃氣費用為
元;
(2)一戶家庭人口不超過4人,年用氣量為x m3(x>1 200),該年此戶需繳納燃氣費用為y元,求y與x的函數表達式;
(3)甲戶家庭人口為3人,乙戶家庭人口為5人,某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3 855元,求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃氣 (結果精確到1 m3)
【舉一反三】
1.(2024·山西中考)生物學研究表明,某種蛇在一定生長階段,其體長y(cm)是尾長x(cm)的一次函數,部分數據如表所示,則y與x之間的關系式為( )
尾長(cm) 6 8 10
體長y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
2.(2024·深圳模擬)某社區采購春節慰問禮品,購買了甲、乙兩種類型的糧油套裝.甲種糧油套裝單價比乙種糧油套裝單價多30元,用1 200元購買甲種糧油套裝和用900元購買乙種糧油套裝的數量相同.
(1)求甲、乙兩種糧油套裝的單價分別是多少元.
(2)社區準備再次購買甲種和乙種糧油套裝共40件,購買乙種糧油套裝不超過甲種糧油套裝的3倍,且商家給出了兩種糧油套裝均打八折的優惠.問購買甲種和乙種糧油套裝各多少件時花費最少 最少花費是多少元

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