資源簡(jiǎn)介

2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.能識(shí)別反比例函數(shù)的圖象,歸納并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì) 幾何直觀、抽象能力
2.掌握反比例函數(shù)k的幾何意義,會(huì)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式 幾何直觀、抽象能力、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　夯基筑本 積厚成勢(shì)
新知要點(diǎn)
1.反比例函數(shù)的圖象是　雙曲線　.
2.圖象與性質(zhì):
y= k>0 k<0
圖象
位置 第　一、三　象限 第　二、四　象限
增減性 在每個(gè)象限內(nèi), y隨 x的增大而　減小　 在每個(gè)象限內(nèi), y隨 x的增大而　增大　
對(duì)稱性 既是中心對(duì)稱圖形(對(duì)稱中心是　原點(diǎn)　),又是軸對(duì)稱圖形(對(duì)稱軸是直線y=x和　y=-x　)
對(duì)點(diǎn)小練
1.下列關(guān)于反比例函數(shù)y=的說法正確的是(B)
A.它的圖象在第二、四象限
B.它的圖象既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形
C.當(dāng)x=-時(shí),y=-1
D.y隨x的增大而減小
2.若點(diǎn)A(3,-4),B(4,m)在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,則m的值為　-3　.
新知要點(diǎn)
3.反比例函數(shù)中k的幾何意義
(1)過反比例函數(shù)y=圖象中任意一點(diǎn)P(m,n)分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為A,B,則S矩形OAPB =OA·AP =|m|·|n|=　|k|　.
(2)連結(jié)OP,則S△OAP =OA·AP=|m|·|n|=|k|.
對(duì)點(diǎn)小練
3.如圖,反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)A,則Rt△OBA的面積是(A)
A.3 B.6 C.9 D.12
重點(diǎn)典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點(diǎn)1 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(推理能力,運(yùn)算能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P56例1拓展)已知反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠1).
(1)若函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在一、三象限,求k的取值范圍;
(2)若在這個(gè)函數(shù)圖象的每一分支上,y隨x的增大而增大,求k的取值范圍;
(3)若k=13,試判斷點(diǎn)A(3,4),B(2,5)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上,并說明理由.
【自主解答】(1)∵函數(shù)y=圖象的兩個(gè)分支分別在一、三象限,∴k-1>0,解得k>1;
(2)∵在函數(shù)y=圖象的每一分支上,y隨x的增大而增大,∴k-1<0,解得k<1;
(3)∵k=13,∴k-1=12,∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=.將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=,可知點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足函數(shù)表達(dá)式,∴點(diǎn)A在函數(shù)y=的圖象上,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=,由5≠,可知點(diǎn)B的坐標(biāo)不滿足函數(shù)表達(dá)式,∴點(diǎn)B不在函數(shù)y=的圖象上.
【舉一反三】
1.(2024·銅仁期末)當(dāng)a>b時(shí),反比例函數(shù)y=的圖象大致是(C)
2.已知反比例函數(shù)y=的圖象分布在第二、四象限,則k的取值范圍是　k<-1 012　.
【技法點(diǎn)撥】
反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征
　(1)圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的乘積為定值k.
(2)同一個(gè)分支上的兩個(gè)點(diǎn),在一、三象限時(shí),其橫、縱坐標(biāo)增減性相反,在二、四象限時(shí),其橫、縱坐標(biāo)增減性相同.
(3)不同分支上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù).
重點(diǎn)2 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達(dá)式(運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P58例2拓展)
在物理學(xué)中,電磁波(又稱電磁輻射)是由同相振蕩且互相垂直的電場(chǎng)與磁場(chǎng)在空間中衍生發(fā)射的振蕩粒子波,是以波的形式移動(dòng),隨著5G技術(shù)的發(fā)展,依靠電磁波作為信息載體的電子設(shè)備被廣泛應(yīng)用于民用及軍事領(lǐng)域.電磁波的波長λ(單位:m)會(huì)隨著電磁波的頻率f(單位:MHz)的變化而變化.如表是某段電磁波在同種介質(zhì)中,波長λ與頻率f的部分對(duì)應(yīng)值:
頻率f(MHz) 5 10 15 20 25 30
波長λ(m) 60 30 20 15 12 10
(1)該段電磁波的波長λ與頻率f滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系 并求出波長λ關(guān)于頻率f的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)f=50 MHz時(shí),求此電磁波的波長λ.
【自主解答】(1)觀察題中表格知,電磁波的波長λ與頻率f的乘積是一個(gè)定值,故波長λ與頻率f符合反比例關(guān)系,設(shè)波長λ關(guān)于頻率f的函數(shù)表達(dá)式為λ=(k≠0),
把f=10,λ=30代入上式中得:=30,
解得:k=300,
∴λ=;
(2)當(dāng)f=50 MHz時(shí),λ==6.
答:當(dāng)f=50 MHz時(shí),此電磁波的波長λ為6 m.
【舉一反三】
　(2024·杭州模擬)在一項(xiàng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,研究人員對(duì)不同形狀的物體進(jìn)行了壓力測(cè)試,這些物體的質(zhì)量相同,但形狀各異.研究人員將這些物體放置在水平的測(cè)試平臺(tái)上,并記錄了測(cè)試平臺(tái)受到的壓強(qiáng)(單位:Pa)與受力面積(單位:m2)之間的關(guān)系,結(jié)果如表所示.
桌面所受壓強(qiáng)P(Pa) 50 100 200 400
受力面積S(m2) 2 1 0.5 0.25
(1)根據(jù)如表數(shù)據(jù),求桌面所受壓強(qiáng)P(Pa)與受力面積S(m2)之間的函數(shù)表達(dá)式.
(2)現(xiàn)將相同質(zhì)量,且棱長為0.2 m的正方體放置于某水平玻璃桌面上.若該玻璃桌面能承受的最大壓強(qiáng)為5 000 Pa,請(qǐng)你判斷這種擺放方式是否安全 并說明理由.
【解析】(1)由題干表格中的數(shù)據(jù)可知:壓強(qiáng)P和受力面積S的乘積是一個(gè)定值,故桌面所受壓強(qiáng)P(Pa)與受力面積S(m2)符合反比例關(guān)系,設(shè)桌面所受壓強(qiáng)P(Pa)與受力面積S(m2)的函數(shù)表達(dá)式為P=,當(dāng)P=50時(shí),S=2,則50=,解得k=100,即桌面所受壓強(qiáng)P(Pa)與受力面積S(m2)函數(shù)表達(dá)式是P=;
(2)這種擺放方式安全,
理由:S=0.2×0.2=0.04,當(dāng)S=0.04時(shí),P==2 500,
∵2 500<5 000,∴這種擺放方式安全.
【技法點(diǎn)撥】
待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達(dá)式的四個(gè)步驟
重點(diǎn)3 反比例函數(shù)中k的幾何意義(幾何直觀,運(yùn)算能力)
【典例3】如圖,在△AOB中,AB=OB,點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),S△ABO=4,求點(diǎn)B所在的反比例函數(shù)表達(dá)式.
【自主解答】設(shè)點(diǎn)B所在的反比例函數(shù)表達(dá)式為:y=(x>0),過點(diǎn)B作BM⊥OA,垂足為M,
∵AB=OB,BM⊥OA,
∴OM=AM,
∴S△OBM=S△ABO=2;
∵S△OBM=|k|=2,且圖象在第四象限,
∴k=-4.∴點(diǎn)B所在的反比例函數(shù)表達(dá)式為:y=-(x>0).
【舉一反三】
(2024·晉中模擬)如圖,點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象上,AC交y軸于點(diǎn)B,若點(diǎn)B是AC的中點(diǎn),△AOB的面積為,則k的值為　6　.
【技法點(diǎn)撥】
求反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積的兩個(gè)思路
　(1)將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則直角三角形或矩形,根據(jù)圖形面積的和或差,結(jié)合k的幾何意義計(jì)算.
(2)將圖形的有關(guān)邊長轉(zhuǎn)化為雙曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)的絕對(duì)值,套用圖形面積公式計(jì)算.2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.能識(shí)別反比例函數(shù)的圖象,歸納并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì) 幾何直觀、抽象能力
2.掌握反比例函數(shù)k的幾何意義,會(huì)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式 幾何直觀、抽象能力、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　夯基筑本 積厚成勢(shì)
新知要點(diǎn)
1.反比例函數(shù)的圖象是 .
2.圖象與性質(zhì):
y= k>0 k<0
圖象
位置 第 象限 第 象限
增減性 在每個(gè)象限內(nèi), y隨 x的增大而 在每個(gè)象限內(nèi), y隨 x的增大而
對(duì)稱性 既是中心對(duì)稱圖形(對(duì)稱中心是 ),又是軸對(duì)稱圖形(對(duì)稱軸是直線y=x和 )
對(duì)點(diǎn)小練
1.下列關(guān)于反比例函數(shù)y=的說法正確的是( )
A.它的圖象在第二、四象限
B.它的圖象既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形
C.當(dāng)x=-時(shí),y=-1
D.y隨x的增大而減小
2.若點(diǎn)A(3,-4),B(4,m)在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,則m的值為 .
新知要點(diǎn)
3.反比例函數(shù)中k的幾何意義
(1)過反比例函數(shù)y=圖象中任意一點(diǎn)P(m,n)分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為A,B,則S矩形OAPB =OA·AP =|m|·|n|= .
(2)連結(jié)OP,則S△OAP =OA·AP=|m|·|n|=|k|.
對(duì)點(diǎn)小練
3.如圖,反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)A,則Rt△OBA的面積是( )
A.3 B.6 C.9 D.12
重點(diǎn)典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點(diǎn)1 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(推理能力,運(yùn)算能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P56例1拓展)已知反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠1).
(1)若函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在一、三象限,求k的取值范圍;
(2)若在這個(gè)函數(shù)圖象的每一分支上,y隨x的增大而增大,求k的取值范圍;
(3)若k=13,試判斷點(diǎn)A(3,4),B(2,5)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上,并說明理由.
【舉一反三】
1.(2024·銅仁期末)當(dāng)a>b時(shí),反比例函數(shù)y=的圖象大致是( )
2.已知反比例函數(shù)y=的圖象分布在第二、四象限,則k的取值范圍是 .
【技法點(diǎn)撥】
反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征
　(1)圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的乘積為定值k.
(2)同一個(gè)分支上的兩個(gè)點(diǎn),在一、三象限時(shí),其橫、縱坐標(biāo)增減性相反,在二、四象限時(shí),其橫、縱坐標(biāo)增減性相同.
(3)不同分支上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù).
重點(diǎn)2 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達(dá)式(運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P58例2拓展)
在物理學(xué)中,電磁波(又稱電磁輻射)是由同相振蕩且互相垂直的電場(chǎng)與磁場(chǎng)在空間中衍生發(fā)射的振蕩粒子波,是以波的形式移動(dòng),隨著5G技術(shù)的發(fā)展,依靠電磁波作為信息載體的電子設(shè)備被廣泛應(yīng)用于民用及軍事領(lǐng)域.電磁波的波長λ(單位:m)會(huì)隨著電磁波的頻率f(單位:MHz)的變化而變化.如表是某段電磁波在同種介質(zhì)中,波長λ與頻率f的部分對(duì)應(yīng)值:
頻率f(MHz) 5 10 15 20 25 30
波長λ(m) 60 30 20 15 12 10
(1)該段電磁波的波長λ與頻率f滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系 并求出波長λ關(guān)于頻率f的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)f=50 MHz時(shí),求此電磁波的波長λ.
【舉一反三】
　(2024·杭州模擬)在一項(xiàng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,研究人員對(duì)不同形狀的物體進(jìn)行了壓力測(cè)試,這些物體的質(zhì)量相同,但形狀各異.研究人員將這些物體放置在水平的測(cè)試平臺(tái)上,并記錄了測(cè)試平臺(tái)受到的壓強(qiáng)(單位:Pa)與受力面積(單位:m2)之間的關(guān)系,結(jié)果如表所示.
桌面所受壓強(qiáng)P(Pa) 50 100 200 400
受力面積S(m2) 2 1 0.5 0.25
(1)根據(jù)如表數(shù)據(jù),求桌面所受壓強(qiáng)P(Pa)與受力面積S(m2)之間的函數(shù)表達(dá)式.
(2)現(xiàn)將相同質(zhì)量,且棱長為0.2 m的正方體放置于某水平玻璃桌面上.若該玻璃桌面能承受的最大壓強(qiáng)為5 000 Pa,請(qǐng)你判斷這種擺放方式是否安全 并說明理由.
【技法點(diǎn)撥】
待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達(dá)式的四個(gè)步驟
重點(diǎn)3 反比例函數(shù)中k的幾何意義(幾何直觀,運(yùn)算能力)
【典例3】如圖,在△AOB中,AB=OB,點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),S△ABO=4,求點(diǎn)B所在的反比例函數(shù)表達(dá)式.
【舉一反三】
(2024·晉中模擬)如圖,點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象上,AC交y軸于點(diǎn)B,若點(diǎn)B是AC的中點(diǎn),△AOB的面積為,則k的值為 .
【技法點(diǎn)撥】
求反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積的兩個(gè)思路
　(1)將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則直角三角形或矩形,根據(jù)圖形面積的和或差,結(jié)合k的幾何意義計(jì)算.
(2)將圖形的有關(guān)邊長轉(zhuǎn)化為雙曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)的絕對(duì)值,套用圖形面積公式計(jì)算.

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