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18.1　平行四邊形的性質(zhì)
第2課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.理解和掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分的特征 幾何直觀、推理能力
2.會(huì)利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明 推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠(yuǎn)
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
平行四 邊形對(duì) 角線的 性質(zhì)1.平行四邊形的對(duì)角線 2.兩條對(duì)角線分平行四邊形為面積 的四個(gè)三角形 3.過對(duì)角線交點(diǎn)的任一條直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分
　如圖,在 ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,則下列式子不正確的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.BO=OD B.AB=CD C.∠BAD=∠BCD D.AC=BD
重點(diǎn)典例研析　　啟思凝智 教學(xué)相長
【重點(diǎn)1】平行四邊形的對(duì)角線互相平分(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P78練習(xí)T2補(bǔ)充)如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥BD,垂足為點(diǎn)F.
(1)求證:AE=CF;
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度數(shù).
【舉一反三】
在 ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB長
2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的長.
【技法點(diǎn)撥】
平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用
【重點(diǎn)2】平行四邊形的周長與面積(推理能力、運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P79例7補(bǔ)充)如圖, ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且AD≠CD,過點(diǎn)O作OM⊥AC,交AD于點(diǎn)M.
(1)若△CDM的周長為8,求 ABCD的周長;
(2)若∠ADC=78°,CM平分∠ACD,試求∠BCA的度數(shù).
【舉一反三】
1.如圖,在 ABCD中,已知對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,△AOB的周長為15,AB=6,那么對(duì)角線AC與BD的和是 .
2.如圖,在 ABCD中,AD=6,AB=10,∠DAB=60°,AC,BD相交于點(diǎn)O,經(jīng)過點(diǎn)O的直線EF分別交CD,AB于點(diǎn)E,F,則圖中陰影部分的面積是 .
【技法點(diǎn)撥】
1.平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形的面積相等,并且相鄰兩個(gè)三角形的周長之差等于相應(yīng)的鄰邊之差.
2.過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線將該平行四邊形的面積等分.
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·16分)
1.(4分·抽象能力)如圖,在 ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AB=CD B.OB=OD
C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC
2.(4分·推理能力、運(yùn)算能力)如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,則BD的長是( )
A.16 B.18 C.20 D.22
3.(4分·抽象能力、推理能力)如圖, ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在AC上,添加一個(gè)條件使△BOE≌△DOF,這個(gè)條件可以是 (寫出一個(gè)即可).
4.(4分·推理能力、運(yùn)算能力)如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且AB≠AD,過點(diǎn)O作OE⊥BD交BC于點(diǎn)E,若△CDE的周長為13 cm,則平行四邊形ABCD的周長為 cm. 18.1　平行四邊形的性質(zhì)
第1課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等的性質(zhì),了解兩平行線之間距離的概念. 幾何直觀、抽象能力、推理能力
2.會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的平行四邊形的計(jì)算問題,并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的論證. 推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢(shì) 向上向陽
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
項(xiàng)目定義性質(zhì)平行 四邊形兩組對(duì)邊分別　平行　的四邊形 1.兩組對(duì)邊分別　平行　,　相等　 2.兩組對(duì)角分別　相等　 3.鄰角　互補(bǔ)　 兩條平 行線間 的距離兩條平行線中,一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的　距離　 1.兩條平行線之間的距離　處處相等　 2.夾在兩條平行線間的平行線段　相等　
1.在 ABCD中,已知AD=4,AB=2,則 ABCD的周長是(D) A.18 B.16 C.14 D.12 2.若平行四邊形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為1∶2,則其中較小的內(nèi)角是(A) A.60° B.90° C.120° D.45° 3.如圖,AD∥BC,∠A=∠D=90°, AB=1,AD=2,那么AD,BC間的距離為　1　.
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
【重點(diǎn)1】利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算(模型觀念、運(yùn)算能力)
【典例1】如圖,在 ABCD中,CM⊥AD于點(diǎn)M,CN⊥AB于點(diǎn)N.
(1)若∠B=45°,則∠MCN=　　　;
(2)若 ABCD的周長等于15,CM=2,CN=3,求AB,AD的長.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,
∴∠A=180°-∠B=180°-45°=135°,
∵CM⊥AD于M,CN⊥AB于N,
∴∠AMC=∠ANC=90°,
∴∠MCN=360°-90°-90°-135°=45°;
答案:45°
(2)∵ ABCD的周長等于15,∴AB=CD,AD=BC,AB+BC+CD+AD=15,
∴AB+AD=①,∵ ABCD的面積=AB×CN=AD×CM,∴3AB=2AD,
則3AB-2AD=0②,
①×2+②得,5AB=15,∴AB=3,
∴AD=-3=.
【舉一反三】
1.如圖,將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)A落在E處.若∠1=56°,
∠2=42°,則∠A的度數(shù)為(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.108°　 B.109°　 C.110°　 D.111°
2.(2024·綿陽期末)如圖,在 ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于E,則∠BCE的度數(shù)為　22°　.
【重點(diǎn)2】利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明(推理能力、幾何直觀)
【典例2】已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,P,Q是對(duì)角線BD上的兩個(gè)點(diǎn),且BP=DQ.求證:PA=QC.
【自主解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABP=∠CDQ,
在△ABP和△CDQ中,
,
∴△ABP≌△CDQ(S.A.S.),∴PA=QC.
【舉一反三】
(2024·樂山質(zhì)檢)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,延長BC到點(diǎn)E,使得CE=BC,連結(jié)AE交CD于點(diǎn)F.求證:DF=CF.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AD=BC.∴∠DAF=∠E.
又∵CE=BC,∴AD=EC.
在△ADF和△ECF中,,
∴△ADF≌△ECF(A.A.S.),∴DF=CF.
【技法點(diǎn)撥】
應(yīng)用平行四邊形的邊角性質(zhì)的兩個(gè)“注意”
(1)注意隱含條件的挖掘:平行四邊形提供了線段的數(shù)量及位置關(guān)系,也提供了角的關(guān)系,為證明線段的相等、角的相等、三角形的全等提供了條件.
(2)在解題時(shí),能應(yīng)用平行四邊形直接得到的結(jié)論,不要再通過三角形的全等去證明.
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·16分)
1.(4分·抽象能力、運(yùn)算能力)如圖,在 ABCD中,∠A=125°,則∠1=(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.65° B.50° C.55° D.45°
2.(4分·推理能力、運(yùn)算能力)如圖所示,在 ABCD中,∠C=120°,延長BA至點(diǎn)E,延長DA至點(diǎn)F,連結(jié)EF,則∠E+∠F的度數(shù)為(D)
A.120° B.30° C.50° D.60°
3.(4分·應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算能力)如圖,在 ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E,則線段BE,EC的長度分別為(D)
A.1和4 B. 4和1 C. 2和3 D.3和2
4.(4分·推理能力、運(yùn)算能力)若 ABCD的周長為48,且AB∶BC=1∶2,則AB=
　8　.
訓(xùn)練升級(jí),請(qǐng)使用　“課時(shí)過程性評(píng)價(jià) 十九”18.1　平行四邊形的性質(zhì)
第2課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.理解和掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分的特征 幾何直觀、推理能力
2.會(huì)利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明 推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠(yuǎn)
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
平行四 邊形對(duì) 角線的 性質(zhì)1.平行四邊形的對(duì)角線　互相平分　 2.兩條對(duì)角線分平行四邊形為面積　相等　的四個(gè)三角形 3.過對(duì)角線交點(diǎn)的任一條直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分
　如圖,在 ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,則下列式子不正確的是(D) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.BO=OD B.AB=CD C.∠BAD=∠BCD D.AC=BD
重點(diǎn)典例研析　　啟思凝智 教學(xué)相長
【重點(diǎn)1】平行四邊形的對(duì)角線互相平分(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P78練習(xí)T2補(bǔ)充)如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥BD,垂足為點(diǎn)F.
(1)求證:AE=CF;
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度數(shù).
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°,
∵∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(A.A.S.),∴AE=CF;
(2)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,
∵∠AOE=70°,∴∠EAO=90°-∠AOE=20°,∵∠EAD=3∠EAO,∴∠EAD=3×20°
=60°,∴∠DAC=∠DAE-∠EAO=60°-20°=40°,∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,∴∠BCA=∠DAC=40°.
【舉一反三】
在 ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB長
2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的長.
【解析】設(shè)AB=x cm,
則AO=(x-3)cm,BO=(x+2)cm,
∵BO是AO的2倍,∴x+2=2(x-3),
解得x=8,∴AO=5 cm,BO=10 cm,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AC=2AO=10 cm,BD=2BO=20 cm.
【技法點(diǎn)撥】
平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用
【重點(diǎn)2】平行四邊形的周長與面積(推理能力、運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P79例7補(bǔ)充)如圖, ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且AD≠CD,過點(diǎn)O作OM⊥AC,交AD于點(diǎn)M.
(1)若△CDM的周長為8,求 ABCD的周長;
(2)若∠ADC=78°,CM平分∠ACD,試求∠BCA的度數(shù).
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,AD=BC,
∵OM⊥AC,∴AM=MC.
∴△CDM的周長=CM+MD+DC=AM+MD+DC=AD+CD=8,∴平行四邊形ABCD的周長為2(AD+CD)=2×8=16.
(2)∵AM=CM,∴∠MAC=∠MCA,
∵CM平分∠ACD,∴∠MAC=∠MCA=∠MCD,∵∠ADC=78°,
∴3∠MAC+78°=180°,∴∠MAC=34°,
∵AD∥BC,∴∠BCA=∠MAC=34°.
【舉一反三】
1.如圖,在 ABCD中,已知對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,△AOB的周長為15,AB=6,那么對(duì)角線AC與BD的和是　18　.
2.如圖,在 ABCD中,AD=6,AB=10,∠DAB=60°,AC,BD相交于點(diǎn)O,經(jīng)過點(diǎn)O的直線EF分別交CD,AB于點(diǎn)E,F,則圖中陰影部分的面積是　15　.
【技法點(diǎn)撥】
1.平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形的面積相等,并且相鄰兩個(gè)三角形的周長之差等于相應(yīng)的鄰邊之差.
2.過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線將該平行四邊形的面積等分.
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·16分)
1.(4分·抽象能力)如圖,在 ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AB=CD B.OB=OD
C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC
2.(4分·推理能力、運(yùn)算能力)如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,則BD的長是(C)
A.16 B.18 C.20 D.22
3.(4分·抽象能力、推理能力)如圖, ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在AC上,添加一個(gè)條件使△BOE≌△DOF,這個(gè)條件可以是　OE=OF(答案不唯一)　(寫出一個(gè)即可).
4.(4分·推理能力、運(yùn)算能力)如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且AB≠AD,過點(diǎn)O作OE⊥BD交BC于點(diǎn)E,若△CDE的周長為13 cm,則平行四邊形ABCD的周長為　26　cm.
訓(xùn)練升級(jí),請(qǐng)使用　“課時(shí)過程性評(píng)價(jià) 二十”18.1　平行四邊形的性質(zhì)
第1課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等的性質(zhì),了解兩平行線之間距離的概念. 幾何直觀、抽象能力、推理能力
2.會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的平行四邊形的計(jì)算問題,并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的論證. 推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢(shì) 向上向陽
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
項(xiàng)目定義性質(zhì)平行 四邊形兩組對(duì)邊分別 的四邊形 1.兩組對(duì)邊分別 , 2.兩組對(duì)角分別 3.鄰角 兩條平 行線間 的距離兩條平行線中,一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的 1.兩條平行線之間的距離 2.夾在兩條平行線間的平行線段
1.在 ABCD中,已知AD=4,AB=2,則 ABCD的周長是( ) A.18 B.16 C.14 D.12 2.若平行四邊形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為1∶2,則其中較小的內(nèi)角是( ) A.60° B.90° C.120° D.45° 3.如圖,AD∥BC,∠A=∠D=90°, AB=1,AD=2,那么AD,BC間的距離為 .
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
【重點(diǎn)1】利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算(模型觀念、運(yùn)算能力)
【典例1】如圖,在 ABCD中,CM⊥AD于點(diǎn)M,CN⊥AB于點(diǎn)N.
(1)若∠B=45°,則∠MCN= ;
(2)若 ABCD的周長等于15,CM=2,CN=3,求AB,AD的長.
【舉一反三】
1.如圖,將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)A落在E處.若∠1=56°,
∠2=42°,則∠A的度數(shù)為( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.108°　 B.109°　 C.110°　 D.111°
2.(2024·綿陽期末)如圖,在 ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于E,則∠BCE的度數(shù)為 .
【重點(diǎn)2】利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明(推理能力、幾何直觀)
【典例2】已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,P,Q是對(duì)角線BD上的兩個(gè)點(diǎn),且BP=DQ.求證:PA=QC.
【舉一反三】
(2024·樂山質(zhì)檢)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,延長BC到點(diǎn)E,使得CE=BC,連結(jié)AE交CD于點(diǎn)F.求證:DF=CF.
【技法點(diǎn)撥】
應(yīng)用平行四邊形的邊角性質(zhì)的兩個(gè)“注意”
(1)注意隱含條件的挖掘:平行四邊形提供了線段的數(shù)量及位置關(guān)系,也提供了角的關(guān)系,為證明線段的相等、角的相等、三角形的全等提供了條件.
(2)在解題時(shí),能應(yīng)用平行四邊形直接得到的結(jié)論,不要再通過三角形的全等去證明.
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·16分)
1.(4分·抽象能力、運(yùn)算能力)如圖,在 ABCD中,∠A=125°,則∠1=( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.65° B.50° C.55° D.45°
2.(4分·推理能力、運(yùn)算能力)如圖所示,在 ABCD中,∠C=120°,延長BA至點(diǎn)E,延長DA至點(diǎn)F,連結(jié)EF,則∠E+∠F的度數(shù)為( )
A.120° B.30° C.50° D.60°
3.(4分·應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算能力)如圖,在 ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E,則線段BE,EC的長度分別為( )
A.1和4 B. 4和1 C. 2和3 D.3和2
4.(4分·推理能力、運(yùn)算能力)若 ABCD的周長為48,且AB∶BC=1∶2,則AB=
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