資源簡介

18.2　平行四邊形的判定
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這一判定定理,會用這個定理進行有關的論證和計算 推理能力、運算能力
2.能靈活運用平行四邊形的性質定理和判定定理進行簡單的推理證明 推理能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
平行四邊形的判定定理3 項目文字語言符號語言對 角 線對角線 的四邊形是平行四邊形 ∵OA=OC,OB=OD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形圖 形
　要使如圖所示的四邊形ABCD是平行四邊形,根據圖中數據,可以添加的條件是( ) A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(推理能力)
【典例】(教材再開發·P89例6補充)如圖,AC,BD相交于點O,AB∥CD,AD∥BC,E,F分別是OB,OD的中點,求證:四邊形AFCE是平行四邊形.
【舉一反三】
1.(2024·自貢質檢)如圖,已知AB∥CD,增加下列條件可以使四邊形ABCD成為平行四邊形的是( )
A.∠1=∠2 B.AD=BC
C.OA=OC D.AD=AB
2.已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD相交于點O,BM⊥AC,DN⊥AC,垂足分別是M,N.
求證:四邊形BMDN是平行四邊形.
【技法點撥】
條件 思路
當遇到四邊形對角線中點的條件時 運用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來判定四邊形是平行四邊形
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、抽象能力)能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A.對角線互相垂直
B.對角線相等
C.對角線互相垂直且相等
D.對角線互相平分
2.(4分·推理能力、抽象能力)小玲的爸爸在制作平行四邊形框架時,采用了一種方法:如圖所示,將兩根木條AC、BD的中點重疊并用釘子固定,則四邊形ABCD就是平行四邊形,這種方法的依據是( )
A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
C.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
D.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
3.(4分·推理能力、運算能力)一個四邊形的三個相鄰內角的度數依次如下,則可以判斷四邊形是平行四邊形的是( )
A.88°、108°、88°
B.88°、104°、108°
C.88°、92°、92°
D.108°、72°、108°
4.(8分·推理能力、運算能力)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F在AC上,點G,H在BD上,且AE=CF,BG=DH.
(1)若AC=AD,∠CAD=70°,試求∠ABC的度數;
(2)求證:四邊形EGFH是平行四邊形.18.2　平行四邊形的判定
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握用平行四邊形的定義判定一個四邊形是平行四邊形 推理能力、抽象能力
2.理解并掌握兩組對邊分別相等、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 推理能力、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
項目文字語言符號語言邊兩組對邊分別　平行　的四邊形 ∵AD∥BC,AB∥CD ∴四邊形ABCD是平行四邊形兩組對邊分別　相等　的四邊形 ∵AD=BC,AB=CD ∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊 　平行且相等　的四邊形 ∵AD∥BC,AD=BC, (或AB∥CD,AB=CD) ∴四邊形ABCD是平行四邊形圖 形
1.下列哪組條件能判定四邊形ABCD是平行四邊形,∠A∶∠B∶∠C∶ ∠D=(B) A.2∶3∶6∶7 B.4∶5∶4∶5 C.1∶2∶3∶4 D.3∶5∶7∶9 2.不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是(A) A.AB=CD,AD∥BC B.AB=CD,AB∥CD C.AB=CD,AD=BC D.AB∥CD,AD∥BC 3. 如圖,點A是直線l外一點,在l上取兩點B,C,分別以A,C為圓心,BC,AB的長為半徑畫弧,兩弧交于點D,分別連結AB,AD,CD,則四邊形ABCD是平行四邊形,理由是　兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形　.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(推理能力)
【典例1】(教材再開發·P88例3變式)如圖,平行四邊形ABCD中,BE平分
∠ABC,DF平分∠ADC,求證:四邊形BEDF是平行四邊形.
【自主解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC,∴∠EDF=∠CFD,
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠CBE=∠ABC,∠EDF=∠ADC,
∴∠CBE=∠EDF,∴∠CBE=∠CFD,
∴BE∥DF,
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
【舉一反三】
(2024·樂山質檢)如圖,已知點E、F分別在邊AB、BC上,ED∥BC,EF∥AC,BE=CF.求證:BD是△ABC的角平分線.
【證明】∵ED∥BC,EF∥AC,
∴四邊形EFCD是平行四邊形,∴ED=CF,
∵BE=CF,∴BE=ED,∴∠EBD=∠EDB,
∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠EBD=∠DBC,∴BD是△ABC的角平分線.
【重點2】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(推理能力)
【典例2】(教材再開發·P89練習T2拓展)如圖,在 ABCD中,AE=CG,BF=DH,連結EF,FG,GH,HE.
求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
【自主解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,AD=BC,
又∵BF=DH,∴CF=AH,
在△AEH和△CGF中,,
∴△AEH≌△CGF(S.A.S.),∴EH=GF,
同理可證GH=EF,
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
【舉一反三】
如圖,在四邊形ABCD中,AD=12,OD=OB=5,AC=26,∠ADB=90°.
(1)求線段OC的長;
(2)求證:四邊形ABCD為平行四邊形.
【解析】(1)∵∠ADB=90°,AD=12,OD=5,
∴OA===13,
∵AC=26,∴OC=AC-OA=26-13=13,
∴OC的長是13.
(2)由(1)得OA=13,OC=13,∴OA=OC,
∵OD=OB,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
【技法點撥】
應用平行四邊形的判定定理1的注意事項
應用平行四邊形的判定定理1時需要注意“對邊相等”這一前提,不要錯以為“鄰邊相等”或者“各邊相等”.
【重點3】一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(推理能力)
【典例3】如圖,在 ABCD中,點E,F在對角線BD上,且BE=DF.
求證:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四邊形AECF是平行四邊形.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(S.A.S.);
(2)由(1)可知,△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD,
即∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF,
∵AE=CF,AE∥CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形.
【舉一反三】
(2023·廣安中考)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為點E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【證明】∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF,
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(A.S.A.),
∴AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
【技法點撥】
　應用平行四邊形的判定定理2的注意點
判定定理2的條件“平行且相等”指的是同一組對邊,而不是一組對邊相等,另一組對邊平行.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 二十一”18.2　平行四邊形的判定
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這一判定定理,會用這個定理進行有關的論證和計算 推理能力、運算能力
2.能靈活運用平行四邊形的性質定理和判定定理進行簡單的推理證明 推理能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
平行四邊形的判定定理3 項目文字語言符號語言對 角 線對角線　互相平分　的四邊形是平行四邊形 ∵OA=OC,OB=OD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形圖 形
　要使如圖所示的四邊形ABCD是平行四邊形,根據圖中數據,可以添加的條件是(B) A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(推理能力)
【典例】(教材再開發·P89例6補充)如圖,AC,BD相交于點O,AB∥CD,AD∥BC,E,F分別是OB,OD的中點,求證:四邊形AFCE是平行四邊形.
【自主解答】∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分別是OB,OD的中點,
∴OE=OB,OF=OD,∴OE=OF,
∴四邊形AFCE是平行四邊形.
【舉一反三】
1.(2024·自貢質檢)如圖,已知AB∥CD,增加下列條件可以使四邊形ABCD成為平行四邊形的是(C)
A.∠1=∠2 B.AD=BC
C.OA=OC D.AD=AB
2.已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD相交于點O,BM⊥AC,DN⊥AC,垂足分別是M,N.
求證:四邊形BMDN是平行四邊形.
【證明】∵BM⊥AC,DN⊥AC,
∴∠OND=∠OMB=90°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB=OD,OA=OC.
∵∠OND=∠OMB,∠DON=∠BOM,
OD=OB,∴△ODN≌△OBM(A.A.S.),
∴ON=OM.又∵OB=OD,∴四邊形BMDN是平行四邊形.
【技法點撥】
條件 思路
當遇到四邊形對角線中點的條件時 運用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來判定四邊形是平行四邊形
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、抽象能力)能判定四邊形是平行四邊形的是(D)
A.對角線互相垂直
B.對角線相等
C.對角線互相垂直且相等
D.對角線互相平分
2.(4分·推理能力、抽象能力)小玲的爸爸在制作平行四邊形框架時,采用了一種方法:如圖所示,將兩根木條AC、BD的中點重疊并用釘子固定,則四邊形ABCD就是平行四邊形,這種方法的依據是(A)
A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
C.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
D.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
3.(4分·推理能力、運算能力)一個四邊形的三個相鄰內角的度數依次如下,則可以判斷四邊形是平行四邊形的是(D)
A.88°、108°、88°
B.88°、104°、108°
C.88°、92°、92°
D.108°、72°、108°
4.(8分·推理能力、運算能力)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F在AC上,點G,H在BD上,且AE=CF,BG=DH.
(1)若AC=AD,∠CAD=70°,試求∠ABC的度數;
(2)求證:四邊形EGFH是平行四邊形.
【解析】(1)∵CA=AD,∠CAD=70°,
∴∠ADC=∠ACD=×(180°-70°)=55°,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠ABC=∠ADC=55°.
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AE=CF,BG=DH,
∴OE=OF,OG=OH,
∴四邊形EGFH是平行四邊形.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 二十二”18.2　平行四邊形的判定
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握用平行四邊形的定義判定一個四邊形是平行四邊形 推理能力、抽象能力
2.理解并掌握兩組對邊分別相等、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 推理能力、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
項目文字語言符號語言邊兩組對邊分別 的四邊形 ∵AD∥BC,AB∥CD ∴四邊形ABCD是平行四邊形兩組對邊分別 的四邊形 ∵AD=BC,AB=CD ∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊 的四邊形 ∵AD∥BC,AD=BC, (或AB∥CD,AB=CD) ∴四邊形ABCD是平行四邊形圖 形
1.下列哪組條件能判定四邊形ABCD是平行四邊形,∠A∶∠B∶∠C∶ ∠D=( ) A.2∶3∶6∶7 B.4∶5∶4∶5 C.1∶2∶3∶4 D.3∶5∶7∶9 2.不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是( ) A.AB=CD,AD∥BC B.AB=CD,AB∥CD C.AB=CD,AD=BC D.AB∥CD,AD∥BC 3. 如圖,點A是直線l外一點,在l上取兩點B,C,分別以A,C為圓心,BC,AB的長為半徑畫弧,兩弧交于點D,分別連結AB,AD,CD,則四邊形ABCD是平行四邊形,理由是 .
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(推理能力)
【典例1】(教材再開發·P88例3變式)如圖,平行四邊形ABCD中,BE平分
∠ABC,DF平分∠ADC,求證:四邊形BEDF是平行四邊形.
【舉一反三】
(2024·樂山質檢)如圖,已知點E、F分別在邊AB、BC上,ED∥BC,EF∥AC,BE=CF.求證:BD是△ABC的角平分線.
【重點2】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(推理能力)
【典例2】(教材再開發·P89練習T2拓展)如圖,在 ABCD中,AE=CG,BF=DH,連結EF,FG,GH,HE.
求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
【舉一反三】
如圖,在四邊形ABCD中,AD=12,OD=OB=5,AC=26,∠ADB=90°.
(1)求線段OC的長;
(2)求證:四邊形ABCD為平行四邊形.
【技法點撥】
應用平行四邊形的判定定理1的注意事項
應用平行四邊形的判定定理1時需要注意“對邊相等”這一前提,不要錯以為“鄰邊相等”或者“各邊相等”.
【重點3】一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(推理能力)
【典例3】如圖,在 ABCD中,點E,F在對角線BD上,且BE=DF.
求證:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四邊形AECF是平行四邊形.
【舉一反三】
(2023·廣安中考)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為點E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【技法點撥】
　應用平行四邊形的判定定理2的注意點
判定定理2的條件“平行且相等”指的是同一組對邊,而不是一組對邊相等,另一組對邊平行.

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