資源簡介

2.矩形的判定
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.探索并證明矩形的判定定理 抽象能力、幾何直觀
2.能應(yīng)用矩形的判定解答簡單的證明題和計(jì)算題 幾何直觀、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢 向上向陽
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
矩形的判定 文字語言符號語言圖形有一個(gè)角是 的平行四邊形 ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∠BAD=90°, ∴ ABCD是矩形對角線 的平行四邊形 ∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD, ∴ ABCD是矩形有三個(gè)角是 的四邊形 ∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°, ∴四邊形ABCD是矩形
1.四邊形ABCD的對角線AC,BD互相平分,要使它成為矩形,可添加條件( ) A.AB=CD B.AC=BD C.AB∥CD D.AC⊥BD 2.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,若再補(bǔ)充一個(gè)條件,如∠A= 度時(shí),就能推出四邊形ABCD是矩形. 3.木匠做一個(gè)矩形木框,長為80 cm,寬為60 cm,對角線的長為100 cm,則這個(gè)木框 (填“合格”或“不合格”).
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
【重點(diǎn)1】矩形的判定
【典例1】(教材再開發(fā)·P105例6補(bǔ)充)
如圖,AD為△ABC的一條中線,點(diǎn)E為BC的延長線上一點(diǎn),以AD,DE為一組鄰邊作平行四邊形ADEF,請你添加一個(gè)條件(不再添加其他線條和字母),使得四邊形ADEF是矩形.
(1)你添加的條件是_____________ ;
(2)請根據(jù)你添加的條件,寫出證明過程.
【舉一反三】
1.(2024·綿陽模擬)如圖,在 ABCD中,E為BC的中點(diǎn),連結(jié)AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F,連結(jié)BF,AC,若AD=AF,求證:四邊形ABFC是矩形.
2.如圖,已知AB∥DE,AB=DE,AC=FD,∠CEF=90°.
(1)求證:△ABF≌△DEC;
(2)求證:四邊形BCEF是矩形.
【重點(diǎn)2】矩形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【典例2】(教材再開發(fā)·P107習(xí)題19.1T3補(bǔ)充)如圖,在 ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,延長BC至點(diǎn)F,使CF=BE,連結(jié)DF,AF與DE交于點(diǎn)O.
(1)求證:四邊形AEFD為矩形;
(2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的長.
【舉一反三】
(2024·樂山期末)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在BC,AD上,
BE=DF,AC=EF.
(1)求證:四邊形AECF是矩形;
(2)若CE=2BE且AE=BE,已知AB=,求AC的長.
【技法點(diǎn)撥】
矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用
(1)利用矩形的性質(zhì)可證明線段相等或角相等、互相平分、直線平行等.
(2)證明四邊形是矩形可以直接證明三個(gè)角等于90°或者先證明是平行四邊形再證明一個(gè)角是90°或?qū)蔷€相等.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·抽象能力)如圖,用一根繩子檢查一個(gè)平行四邊形書架的側(cè)邊是否和上、下底都垂直,只需要用繩子分別測量書架的兩條對角線AC,BD的長就可以判斷,其數(shù)學(xué)依據(jù)是( )
A.三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形
B.對角線互相平分的四邊形是矩形
C.對角線相等的平行四邊形是矩形
D.對角線互相垂直平分的四邊形是矩形
2.(3分·幾何直觀、推理能力)下列條件中,不能判定 ABCD為矩形的是( )
A.∠A=∠B B.AB=AD
C.AC=BD D.AB⊥BC
3.(3分·推理能力、運(yùn)算能力)在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,
∠ABO+∠ADO=90°,且OB=OA,則四邊形ABCD是 形.
4.(5分·推理能力)如圖,在平行四邊形ABCD中,CE∥AF,AF⊥CD,垂足為點(diǎn)F.求證:四邊形AECF是矩形.
5.(6分·幾何直觀、推理能力)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,BE∥AC,CE∥DB,且∠BOC+2∠OBC=180°.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB=60°,AB=2,求四邊形OBEC的面積.2.矩形的判定
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.探索并證明矩形的判定定理 抽象能力、幾何直觀
2.能應(yīng)用矩形的判定解答簡單的證明題和計(jì)算題 幾何直觀、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢 向上向陽
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
矩形的判定 文字語言符號語言圖形有一個(gè)角是　直角　的平行四邊形 ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∠BAD=90°, ∴ ABCD是矩形對角線 　相等　的平行四邊形 ∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD, ∴ ABCD是矩形有三個(gè)角是　直角　的四邊形 ∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°, ∴四邊形ABCD是矩形
1.四邊形ABCD的對角線AC,BD互相平分,要使它成為矩形,可添加條件(B) A.AB=CD B.AC=BD C.AB∥CD D.AC⊥BD 2.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,若再補(bǔ)充一個(gè)條件,如∠A=　90　度時(shí),就能推出四邊形ABCD是矩形. 3.木匠做一個(gè)矩形木框,長為80 cm,寬為60 cm,對角線的長為100 cm,則這個(gè)木框　合格　(填“合格”或“不合格”).
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
【重點(diǎn)1】矩形的判定
【典例1】(教材再開發(fā)·P105例6補(bǔ)充)
如圖,AD為△ABC的一條中線,點(diǎn)E為BC的延長線上一點(diǎn),以AD,DE為一組鄰邊作平行四邊形ADEF,請你添加一個(gè)條件(不再添加其他線條和字母),使得四邊形ADEF是矩形.
(1)你添加的條件是_____________　;
(2)請根據(jù)你添加的條件,寫出證明過程.
【自主解答】(1)添加的條件是AB=AC;
答案:AB=AC(答案不唯一)
(2)∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,
∴AD⊥BC,
∴∠ADE=90°,
∵四邊形ADEF是平行四邊形,
∴四邊形ADEF是矩形.
【舉一反三】
1.(2024·綿陽模擬)如圖,在 ABCD中,E為BC的中點(diǎn),連結(jié)AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F,連結(jié)BF,AC,若AD=AF,求證:四邊形ABFC是矩形.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,
∵E為BC的中點(diǎn),∴EB=EC,∴△ABE≌△FCE(A.A.S.),∴AB=CF.
∵AB∥CF,∴四邊形ABFC是平行四邊形,
∵AD=AF,∴BC=AF,
∴四邊形ABFC是矩形.
2.如圖,已知AB∥DE,AB=DE,AC=FD,∠CEF=90°.
(1)求證:△ABF≌△DEC;
(2)求證:四邊形BCEF是矩形.
【證明】(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
∵AC=FD,∴AC-CF=DF-CF,即AF=DC,在△ABF與△DEC中,,
∴△ABF≌△DEC(S.A.S.);
(2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA,
∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四邊形BCEF是平行四邊形,
∵∠CEF=90°,∴四邊形BCEF是矩形.
【重點(diǎn)2】矩形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【典例2】(教材再開發(fā)·P107習(xí)題19.1T3補(bǔ)充)如圖,在 ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,延長BC至點(diǎn)F,使CF=BE,連結(jié)DF,AF與DE交于點(diǎn)O.
(1)求證:四邊形AEFD為矩形;
(2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的長.
【解析】(1)∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,
即BC=EF,∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=BC=EF,
又∵AD∥EF,∴四邊形AEFD為平行四邊形,∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,
∴平行四邊形AEFD為矩形;
(2)由(1)知,四邊形AEFD為矩形,∴DF=AE,AF=DE=2OE=4,
∵AB=3,BF=5,∴AB2+AF2=BF2,∴△BAF為直角三角形,∠BAF=90°,
∴S△BAF=AB×AF=BF×AE,∴AB×AF=BF×AE,即3×4=5AE,
∴AE=,∴DF=AE=.
【舉一反三】
(2024·樂山期末)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在BC,AD上,
BE=DF,AC=EF.
(1)求證:四邊形AECF是矩形;
(2)若CE=2BE且AE=BE,已知AB=,求AC的長.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC,∵BE=DF,∴AD-DF=BC-BE,即AF=EC,
∴四邊形AECF是平行四邊形,∵AC=EF,∴平行四邊形AECF是矩形;
(2)∵四邊形AECF是矩形,∴∠AEC=∠AEB=90°,∵AE=BE,AB=,
∴AE=BE=1,∴CE=2BE=2,∴AC===.
【技法點(diǎn)撥】
矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用
(1)利用矩形的性質(zhì)可證明線段相等或角相等、互相平分、直線平行等.
(2)證明四邊形是矩形可以直接證明三個(gè)角等于90°或者先證明是平行四邊形再證明一個(gè)角是90°或?qū)蔷€相等.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·抽象能力)如圖,用一根繩子檢查一個(gè)平行四邊形書架的側(cè)邊是否和上、下底都垂直,只需要用繩子分別測量書架的兩條對角線AC,BD的長就可以判斷,其數(shù)學(xué)依據(jù)是(C)
A.三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形
B.對角線互相平分的四邊形是矩形
C.對角線相等的平行四邊形是矩形
D.對角線互相垂直平分的四邊形是矩形
2.(3分·幾何直觀、推理能力)下列條件中,不能判定 ABCD為矩形的是(B)
A.∠A=∠B B.AB=AD
C.AC=BD D.AB⊥BC
3.(3分·推理能力、運(yùn)算能力)在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,
∠ABO+∠ADO=90°,且OB=OA,則四邊形ABCD是　矩　形.
4.(5分·推理能力)如圖,在平行四邊形ABCD中,CE∥AF,AF⊥CD,垂足為點(diǎn)F.求證:四邊形AECF是矩形.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,
∵CE∥AF,∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵AF⊥CD,∴∠AFC=90°,∴四邊形AECF是矩形.
5.(6分·幾何直觀、推理能力)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,BE∥AC,CE∥DB,且∠BOC+2∠OBC=180°.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB=60°,AB=2,求四邊形OBEC的面積.
【解析】(1)∵∠BOC+2∠OBC=180°,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,OB=OD,∴AC=BD,∴平行四邊形ABCD是矩形.
(2)由(1)可知,OA=OB=OC,四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
∵∠AOB=60°,∴△OAB是等邊三角形,∴OA=AB=2,
∴AC=2OA=4,∴BC===2,
∵BE∥AC,CE∥DB,∴四邊形OBEC是平行四邊形,
∴S平行四邊形OBEC=2S△OBC=S△ABC=BC·AB=×2×2=2.
訓(xùn)練升級,請使用　“課時(shí)過程性評價(jià) 二十四”

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