資源簡介

2.菱形的判定
課時學習目標 素養目標達成
1.理解并掌握菱形的判定定理 幾何直觀、抽象能力
2.靈活運用菱形的判定方法進行有關的證明和計算 幾何直觀、推理能力、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
菱形的判定 分類文字語言符號語言圖形邊有一組鄰邊 的平行四邊形 ∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形四條邊 的四邊形 ∵AB=BC=CD=AD, ∴四邊形ABCD是菱形對 角 線對角線 的平行四邊形 ∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形
1.下列說法中正確的是( ) A.四邊相等的四邊形是菱形 B.一組對邊相等,另一組對邊平行的四邊形是菱形 C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對角線互相平分的四邊形是菱形 2.如圖,在四邊形ABCD中,AC⊥BD,垂足為O,AB∥CD,要使四邊形ABCD為菱形,應添加的條件是 .(只需寫出一個條件即可) 3.如圖,小聰在作線段AB的垂直平分線時,他是這樣操作的:分別以A和B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于C,D,則直線CD即為所求.根據他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是 .
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】菱形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P118練習T2·2023郴州中考)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)尺規作圖;作對角線AC的垂直平分線MN(保留作圖痕跡);
(2)若直線MN分別交AD,BC于E,F兩點,求證:四邊形AFCE是菱形.
【舉一反三】
1.(2023·鄂州中考)如圖,點E是矩形ABCD的邊BC上的一點,且AE=AD.
(1)尺規作圖:作∠DAE的平分線AF,交BC的延長線于點F,連結DF.(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)試判斷四邊形AEFD的形狀,并說明理由.
2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一點,BE交AC于F,連結DF.
(1)求證:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,試證明四邊形ABCD是菱形.
【技法點撥】
菱形的常用判定方法的選擇
已有條件 需要條件
平行四邊形 鄰邊相等
對角線互相垂直
每條對角線平分一組對角
一般四邊形 四條邊都相等
對角線互相垂直平分
對角線互相平分,且每一條對角線平分一組對角
【重點2】菱形的性質和判定的綜合應用(運算能力、推理能力)
【典例2】如圖,在 ABCD中,FA⊥AB交CD于點E,交BC的延長線于點F,且CF=BC,連結AC,DF.
(1)求證:四邊形ACFD是菱形;
(2)若AB=5,DF=,求四邊形ACFD的面積.
【舉一反三】
在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,BE=2DE,延長DE到點F,使得EF=BE,連結CF.
(1)求證:四邊形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面積.
【技法點撥】
計算菱形面積的兩種方法
(1)如果已知菱形兩條對角線長分別為a,b,選擇S=ab.
(2)已知菱形一邊長(或周長)和一內角度數(30°,45°,60°)時,選擇S=底邊×高.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)下列平行四邊形中,根據圖中所標出的數據,不能判定是菱形的是( )
2.(3分·推理能力)如圖,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OA=OC,且AB∥CD,則添加下列一個條件能判定四邊形ABCD是菱形的是( )
A.AC=BD B.∠ADB=∠CDB
C.∠ABC=∠DCB D.AD=BC
3.(3分·推理能力、運算能力)如圖,已知四邊形ABCD的對角線AC,BD互相垂直且互相平分,AB=6,則四邊形ABCD的周長為 .
4.(3分·應用意識、運算能力)如圖,將兩條寬度都為1的紙條重疊在一起,使∠ABC=45°,則四邊形ABCD的面積為 .
5.(8分·推理能力)如圖,在△ABC中,AC邊的垂直平分線分別交AB,AC于點D,O,過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E,連結AE,CD.求證:四邊形ADCE是菱形.2.菱形的判定
課時學習目標 素養目標達成
1.理解并掌握菱形的判定定理 幾何直觀、抽象能力
2.靈活運用菱形的判定方法進行有關的證明和計算 幾何直觀、推理能力、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
菱形的判定 分類文字語言符號語言圖形邊有一組鄰邊　相等　的平行四邊形 ∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形四條邊 　相等　的四邊形 ∵AB=BC=CD=AD, ∴四邊形ABCD是菱形對 角 線對角線 　互相垂直　的平行四邊形 ∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形
1.下列說法中正確的是(A) A.四邊相等的四邊形是菱形 B.一組對邊相等,另一組對邊平行的四邊形是菱形 C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對角線互相平分的四邊形是菱形 2.如圖,在四邊形ABCD中,AC⊥BD,垂足為O,AB∥CD,要使四邊形ABCD為菱形,應添加的條件是　AB=CD(答案不唯一)　.(只需寫出一個條件即可) 3.如圖,小聰在作線段AB的垂直平分線時,他是這樣操作的:分別以A和B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于C,D,則直線CD即為所求.根據他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是　菱形　.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】菱形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P118練習T2·2023郴州中考)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)尺規作圖;作對角線AC的垂直平分線MN(保留作圖痕跡);
(2)若直線MN分別交AD,BC于E,F兩點,求證:四邊形AFCE是菱形.
【自主解答】(1)如圖,直線MN即為所求;
(2)設AC與EF相交于點O.由作圖可知,EF垂直平分線段AC,
∴OA=OC,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AE∥CF,
∴∠OAE=∠OCF,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(A.S.A.),
∴AE=CF,∴四邊形AFCE是平行四邊形,∵AC⊥EF,∴四邊形AFCE是菱形.
【舉一反三】
1.(2023·鄂州中考)如圖,點E是矩形ABCD的邊BC上的一點,且AE=AD.
(1)尺規作圖:作∠DAE的平分線AF,交BC的延長線于點F,連結DF.(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)試判斷四邊形AEFD的形狀,并說明理由.
【解析】(1)如圖所示;
(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BF,
∴∠DAF=∠AFC,∵AF平分∠DAE,
∴∠DAF=∠FAE,∴∠FAE=∠AFC,
∴EA=EF,∵AE=AD,∴AD=EF,
∴四邊形AEFD是平行四邊形,
∵AE=AD,∴四邊形AEFD是菱形.
2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一點,BE交AC于F,連結DF.
(1)求證:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,試證明四邊形ABCD是菱形.
【證明】(1)∵在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),
∴∠BAC=∠DAC,
(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD,∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形.
【技法點撥】
菱形的常用判定方法的選擇
已有條件 需要條件
平行四邊形 鄰邊相等
對角線互相垂直
每條對角線平分一組對角
一般四邊形 四條邊都相等
對角線互相垂直平分
對角線互相平分,且每一條對角線平分一組對角
【重點2】菱形的性質和判定的綜合應用(運算能力、推理能力)
【典例2】如圖,在 ABCD中,FA⊥AB交CD于點E,交BC的延長線于點F,且CF=BC,連結AC,DF.
(1)求證:四邊形ACFD是菱形;
(2)若AB=5,DF=,求四邊形ACFD的面積.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,
∵點F在BC的延長線上,且CF=BC,∴AD∥CF,AD=CF,
∴四邊形ACFD是平行四邊形,∵CD∥AB,FA⊥AB交CD于點E,
∴∠CEF=∠BAF=90°,∴FA⊥CD,∴四邊形ACFD是菱形.
(2)∵四邊形ACFD是菱形,CD=AB=5,∴DE=CE=CD=,AE=FE,
∵∠DEF=90°,DF=,∴FE===6,
∴FA=2FE=12,∴S四邊形ACFD=FA·CD=×12×5=30,∴四邊形ACFD的面積為30.
【舉一反三】
在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,BE=2DE,延長DE到點F,使得EF=BE,連結CF.
(1)求證:四邊形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面積.
【解析】(1)∵D,E分別是AB,AC的中點,∴DE∥BC且2DE=BC,
又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF∥BC,∴四邊形BCFE是平行四邊形,
又∵BE=FE,∴平行四邊形BCFE是菱形;
(2)∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等邊三角形,
∴菱形的邊長為4,高為2,∴菱形的面積為4×2=8.
【技法點撥】
計算菱形面積的兩種方法
(1)如果已知菱形兩條對角線長分別為a,b,選擇S=ab.
(2)已知菱形一邊長(或周長)和一內角度數(30°,45°,60°)時,選擇S=底邊×高.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)下列平行四邊形中,根據圖中所標出的數據,不能判定是菱形的是(C)
2.(3分·推理能力)如圖,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OA=OC,且AB∥CD,則添加下列一個條件能判定四邊形ABCD是菱形的是(B)
A.AC=BD B.∠ADB=∠CDB
C.∠ABC=∠DCB D.AD=BC
3.(3分·推理能力、運算能力)如圖,已知四邊形ABCD的對角線AC,BD互相垂直且互相平分,AB=6,則四邊形ABCD的周長為　24　.
4.(3分·應用意識、運算能力)如圖,將兩條寬度都為1的紙條重疊在一起,使∠ABC=45°,則四邊形ABCD的面積為 　.
5.(8分·推理能力)如圖,在△ABC中,AC邊的垂直平分線分別交AB,AC于點D,O,過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E,連結AE,CD.求證:四邊形ADCE是菱形.
【證明】∵DE是AC的垂直平分線,∴AD=CD,AE=CE,OA=OC,
∵CE∥AB,∴∠OAD=∠OCE,
在△AOD和△COE中,,
∴△AOD≌△COE(A.S.A.),∴AD=CE,∴AD=CD=AE=CE,∴四邊形ADCE是菱形.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 二十六”

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