資源簡(jiǎn)介

19.3　正方形
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.掌握正方形的定義,弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系 幾何直觀、抽象能力
2.掌握正方形的性質(zhì)和判定方法,能正確運(yùn)用正方形的性質(zhì)和判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算 幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺(tái) 起于累土
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
1.正方形的性質(zhì) (1)四個(gè)角是 ; (2)四條邊 ; (3)對(duì)角線 且 ,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角; (4)是軸對(duì)稱圖形,有四條對(duì)稱軸,兩條對(duì)角線及對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線是它的對(duì)稱軸. 1.如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,則圖中的等腰直角三角形有( ) A.4個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.8個(gè)
2.正方形的判定 2.如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直,要使平行四邊形ABCD成為正方形,還需添加的一個(gè)條件是 (只需添加一個(gè)即可).
重點(diǎn)典例研析　　循道而行 方能致遠(yuǎn)
【重點(diǎn)1】正方形的性質(zhì)(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P121習(xí)題19.3T2拓展)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊AB,CD上,且四邊形BEDF為正方形.
(1)求證:AE=CF;
(2)已知平行四邊形ABCD的面積為20,AB=5,求BC的長(zhǎng).
【舉一反三】
如圖,在正方形ABCD中,AC為對(duì)角線,E為AC上一點(diǎn),連結(jié)EB,ED.
(1)試說明△BEC≌△DEC;
(2)延長(zhǎng)BE,交AD于點(diǎn)F,當(dāng)∠BED=120°時(shí),求∠EFD的度數(shù).
【技法點(diǎn)撥】
正方形性質(zhì)應(yīng)用的分析方法
已知條件 分析思路
已知只有正方形時(shí) 從正方形的邊、角入手分析:分析哪些邊相等,哪個(gè)內(nèi)角等于90°.
已知中出現(xiàn)正方形的“對(duì)角線”時(shí) 從正方形的對(duì)角線性質(zhì)入手分析: ①對(duì)角線互相垂直、互相平分,相等,特別注意每條對(duì)角線平分一組內(nèi)角. ②對(duì)角線所在的直線是正方形的對(duì)稱軸.
【重點(diǎn)2】正方形的判定(推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·正方形的判定強(qiáng)化)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)CF.
(1)求證:AD=AF;
(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
【舉一反三】
如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),過點(diǎn)A,D分別作BC與AB的平行線,相交于點(diǎn)E,連結(jié)EC,AD.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證:四邊形ADCE是正方形.
【技法點(diǎn)撥】
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·20分)
1.(3分·抽象能力)矩形和正方形都具有的性質(zhì)是( )
A.對(duì)角線互相平分且相等
B.對(duì)角線互相垂直平分
C.對(duì)角線互相垂直平分且相等
D.對(duì)角線平分一組對(duì)角
2.(3分·運(yùn)算能力)如圖,在正方形紙片ABCD上進(jìn)行如下操作:
第一步:剪去長(zhǎng)方形紙條AEFD;
第二步:從長(zhǎng)方形紙片BCFE上剪去長(zhǎng)方形紙條CFGH.
若長(zhǎng)方形紙條AEFD和CFGH的面積相等,則AB的長(zhǎng)度為( )
A.30 cm B.15 cm
C.16 cm D.90 cm
3.(3分·抽象能力、推理能力)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,下列條件能判斷四邊形ABCD是正方形的是( )
A.AC=DB且DA⊥AB
B.AB=BC且AC⊥BD
C.AB=BC且∠ABD=∠CBD
D.DA⊥AB且AC⊥BD
4.(3分·運(yùn)算能力)如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC是菱形AEFC的一邊,則∠FAB的度數(shù)為 .
5.(8分·推理能力)如圖,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AB,且DE=AB,連結(jié)CE,求證:四邊形BCED是正方形.19.3　正方形
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.掌握正方形的定義,弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系 幾何直觀、抽象能力
2.掌握正方形的性質(zhì)和判定方法,能正確運(yùn)用正方形的性質(zhì)和判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算 幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺(tái) 起于累土
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
1.正方形的性質(zhì) (1)四個(gè)角是　直角　; (2)四條邊　相等　; (3)對(duì)角線　相等　且　互相垂直平分　,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角; (4)是軸對(duì)稱圖形,有四條對(duì)稱軸,兩條對(duì)角線及對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線是它的對(duì)稱軸. 1.如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,則圖中的等腰直角三角形有(D) A.4個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.8個(gè)
2.正方形的判定 2.如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直,要使平行四邊形ABCD成為正方形,還需添加的一個(gè)條件是　∠ABC=90°(或AC=BD)　(只需添加一個(gè)即可).
重點(diǎn)典例研析　　循道而行 方能致遠(yuǎn)
【重點(diǎn)1】正方形的性質(zhì)(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P121習(xí)題19.3T2拓展)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊AB,CD上,且四邊形BEDF為正方形.
(1)求證:AE=CF;
(2)已知平行四邊形ABCD的面積為20,AB=5,求BC的長(zhǎng).
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,
∵四邊形BEDF是正方形,∴BE=DF,
∴AB-BE=CD-DF,∴AE=CF;
(2)∵四邊形BEDF是正方形,∴BF⊥AB,∴BF·AB=20,
∵AB=5,∴BF=4,∵CF=CD-DF=5-4=1,
在Rt△BCF中,CF2+BF2=BC2,∴BC=.
【舉一反三】
如圖,在正方形ABCD中,AC為對(duì)角線,E為AC上一點(diǎn),連結(jié)EB,ED.
(1)試說明△BEC≌△DEC;
(2)延長(zhǎng)BE,交AD于點(diǎn)F,當(dāng)∠BED=120°時(shí),求∠EFD的度數(shù).
【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠ECB=∠ECD=45°,
在△ECB和△ECD中,,
∴△BEC≌DEC(S.A.S.).
(2)∵△BEC≌DEC,∴∠CEB=∠CED,
∵∠BED=120°,∴∠CEB=60°,
∴∠EBC=180°-∠ECB-∠BEC=75°,
∵DF∥BC,∴∠DFE+∠EBC=180°,
∴∠DFE=105°.
【技法點(diǎn)撥】
正方形性質(zhì)應(yīng)用的分析方法
已知條件 分析思路
已知只有正方形時(shí) 從正方形的邊、角入手分析:分析哪些邊相等,哪個(gè)內(nèi)角等于90°.
已知中出現(xiàn)正方形的“對(duì)角線”時(shí) 從正方形的對(duì)角線性質(zhì)入手分析: ①對(duì)角線互相垂直、互相平分,相等,特別注意每條對(duì)角線平分一組內(nèi)角. ②對(duì)角線所在的直線是正方形的對(duì)稱軸.
【重點(diǎn)2】正方形的判定(推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·正方形的判定強(qiáng)化)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)CF.
(1)求證:AD=AF;
(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
【自主解答】(1)∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE,
在△AEF和△DEB中,,∴△AEF≌△DEB(A.S.A.),∴AF=BD,
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,∴AD=BD,∴AD=AF;
(2)四邊形ADCF是正方形.證明如下:
∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn),∴DC=BD.∵AF=BD,∴AF=BD=DC,
∵AF∥BC,∴四邊形ADCF是平行四邊形.
∵AB=AC,AD是中線,∴AD⊥BC,∴ ADCF是矩形,
又∵AD=AF,∴矩形ADCF是正方形.
【舉一反三】
如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),過點(diǎn)A,D分別作BC與AB的平行線,相交于點(diǎn)E,連結(jié)EC,AD.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證:四邊形ADCE是正方形.
【證明】(1)∵AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),
∴BD=CD,AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵AE∥BD,DE∥AB,
∴四邊形AEDB為平行四邊形,∴AE=BD=CD,又∵AE∥DC,
∴四邊形ADCE是平行四邊形,∵∠ADC=90°,∴四邊形ADCE是矩形;
(2)設(shè)AC與DE相交于點(diǎn)O.
∵DE∥AB,∠BAC=90°,∴∠DOC=∠BAC=90°,即AC⊥DE,
又∵由題意知四邊形ADCE是矩形,∴四邊形ADCE是正方形.
【技法點(diǎn)撥】
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·20分)
1.(3分·抽象能力)矩形和正方形都具有的性質(zhì)是(A)
A.對(duì)角線互相平分且相等
B.對(duì)角線互相垂直平分
C.對(duì)角線互相垂直平分且相等
D.對(duì)角線平分一組對(duì)角
2.(3分·運(yùn)算能力)如圖,在正方形紙片ABCD上進(jìn)行如下操作:
第一步:剪去長(zhǎng)方形紙條AEFD;
第二步:從長(zhǎng)方形紙片BCFE上剪去長(zhǎng)方形紙條CFGH.
若長(zhǎng)方形紙條AEFD和CFGH的面積相等,則AB的長(zhǎng)度為(A)
A.30 cm B.15 cm
C.16 cm D.90 cm
3.(3分·抽象能力、推理能力)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,下列條件能判斷四邊形ABCD是正方形的是(D)
A.AC=DB且DA⊥AB
B.AB=BC且AC⊥BD
C.AB=BC且∠ABD=∠CBD
D.DA⊥AB且AC⊥BD
4.(3分·運(yùn)算能力)如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC是菱形AEFC的一邊,則∠FAB的度數(shù)為　22.5°　.
5.(8分·推理能力)如圖,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AB,且DE=AB,連結(jié)CE,求證:四邊形BCED是正方形.
【證明】∵AB=2BC,DE=AB,∴DE=BC,
∵DE⊥AB,∴∠ADE=∠B=90°,∴DE∥BC,
∴四邊形BCED是矩形,∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),∴BD=AB,
∴BD=DE,∴四邊形BCED是正方形.
訓(xùn)練升級(jí),請(qǐng)使用　“課時(shí)過程性評(píng)價(jià) 二十七”

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