資源簡介

第11章 不等式與不等式組
11.2 一元一次不等式
第2課時 一元一次不等式的應用
【學習目標】
1. 會在實際問題中尋找數量關系，并列出相應的一元一次不等式，加強抽象能力. 養成用數學眼光觀察的習慣，進一步滲透模型思想.
2.在利用一元一次不等式解決實際問題的過程中，體會解不等式過程中的化歸思想與類比思想，學會分類討論，培養發散性思維.
【學習重點】一元一次不等式在實際問題中的應用.
【學習難點】在實際問題中建立一元一次不等式的數量關系.
【自主學習】
1. 應用一元一次方程解實際問題的步驟：
那么如何運用一元一次不等式解決實際問題呢？
【合作探究】
探究點一、銷售問題
例1 某商品的進價是 120 元，標價為 180 元，但銷量較小，為了促銷，商場決定打折銷售，為了保證利潤率不低于20%，那么最多可以打幾折出售此商品
分析：本題涉及的數量關系是什么
售價(標價×折扣）－進價≥進價×利潤率
【練一練】1. 某童裝店按每套 90 元的價格購進 40 套童裝，應繳納的稅費為銷售額的 10%. 如果售賣這些童裝要獲得不低于 900 元的純利潤，每套童裝的售價至少是多少元？
探究點二、其他問題
例2 七年級舉辦古詩詞知識競賽，共有 20 道題，每一題答對得 10 分，答錯或不答都扣 5 分. 如果規定初賽成績超過 90 分晉級決賽，那么初賽至少要答對多少道題才能成功晉級？
分析：本問題中涉及的數量關系是：答對的得分－答錯或不答的扣分＞90
例 3 某市去年萬元地區生產總值能耗為 0.320 t 標準煤，如果計劃使今年萬元地區生產總值能耗比去年的下降率不小于 5%，那么這個市今年萬元地區生產總值能耗至多為多少？
萬元地區生產總值能耗是指每萬元地區生產總值所消費的能源總量（折算為標準煤），其下降率是衡量一個地區節能減排成效的重要指標.
分析,本問題中涉及的數量關系是:
________________________________________________.
【練一練】
2. 某次知識競賽中共有 25 道題，對于每一道題，答對了得 4 分，答錯了或者不答扣 2 分，小明同學得分要超過 80 分，他至少要答對幾道題
問題：x 可以取 嗎 為什么 x應該是多少
探究點二、方案問題
例4 某學校期末需要表彰優秀學生，計劃購買一些筆記本和證書，筆記本的單價為 6 元，證書的單價為 0.4 元. 某文具用品商店給出兩種優惠方案：
甲：買一個筆記本，贈送一張證書；
乙：一次購買證書200張以上，超過200張的證書按原價打八折，筆記本不打折.
學校準備購買 80 本筆記本，證書若干張(超過200張)，
請你判斷哪種方案更合算，并說明理由.
問題1：題中有什么未知量 怎么設未知數
問題 2：怎么用含未知數的代數式表示甲、乙兩個方案的費用
問題3：怎么比較兩個方案費用的大小
例5 甲、乙兩超市以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案：在甲超市累計購物超過 100 元后，超出 100 元的部分按九折收費；在乙超市累計購物超過 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收費.顧客到哪家超市購物花費較少？
分析：
累計購物花費 在甲超市花費 在乙超市花費
0＜x≤50
50＜x≤100
x＞100
(1) 當 0＜x≤50 時，在兩家超市購物花費_____，因為_______________.
(2) 當 50＜x≤100 時，在_______超市購物花費少，因為_______________.
(3) 當累計購物超過100元，即 x＞100 時，在甲、乙兩超市購物都能享受優惠.
①若到甲超市購物花費較少，則_________________________________________，
解得 ________. 即________時，到甲超市購物花費較少.
②若到乙超市購物花費較少，則_________________________，解得 ________.
即____________時，到乙超市購物花費較少.
③若到兩超市購物花費相同，則_________________________，解得 ________.
即____________時，到甲、乙兩超市購物花費相同.
【練一練】
3. 為了保護環境，某企業決定購買 10 臺污水處理設備，現有 A，B 兩種型號的設備，其中每臺的價格，月處理污水量如下表. 經預算，該企業購買設備的資金不高于 105 萬元.
A型 B型
價格(萬元/臺) 12 10
處理污水量(噸/月) 240 200
(1) 該企業有多少種購買方案
(2) 若該企業每月產生的污水量為 2040 噸，為了節省資金，應該選擇哪種購買方案
課堂檢測
1. 如圖①，一個最大容量為 500 cm3 的杯子中裝有200 cm3 的水，將四顆相同的玻璃球放入這個杯中，結果水沒有滿，如圖②.設每顆玻璃球的體積為x cm3，根據題意可列不等式為(　　)
A. 200＋4x＜500 B. 200＋4x≤500
C. 200＋4x＞500 D. 200＋4x≥500
2. 為了舉行班級晚會，小明準備去商店購買20個乒乓球作為道具，并買一些乒乓球拍作為獎品.已知乒乓球每個1.5元，球拍每個22元. 如果購買金額不超過 200 元，設購買球拍x個，那么x的最大值為___________.
4. 小宏準備用100元錢買甲、乙兩種飲料共18瓶，已知甲飲料每瓶7元，乙飲料每瓶4元，則小宏最多能買________瓶甲飲料.
5. 某次知識競賽共20道題，每答對一題得10分，答錯或不答都扣5分，娜娜的得分要超過90分，則她至少要答對_________ 道題.
6. 植樹節期間，某單位欲購進A，B兩種樹苗，若購進A種樹苗3棵，B種樹苗5棵，需2100元；若購進A種樹苗4棵，B種樹苗10棵，需3800元.
(1)求購進的A，B兩種樹苗的單價；
(2)若該單位準備用不多于8000元的錢購進這兩種樹苗共30棵，求A種樹苗至少需購進多少棵.
7. 某商品的進價是100元，標價為160元，但銷量較小.為了促銷，商場決定打折銷售，為了保證利潤率不低于20％，那么最多可以打幾折出售此商品？
參考答案
【合作探究】
探究點一、銷售問題
【典型例題】例1 解：設最多可以打 x 折出售此商品，由題意得
180×0.1x－120≥120×20%，解得 x≥8.答：最多可以打 8 折出售此商品.
【練一練】1.解：設每套童裝的售價是 x 元.則 40x－90×40－40x · 10％≥900.解得 x≥125.答：每套童裝的售價至少是 125 元.
探究點二、其他問題
【典型例題】例2 解：設初賽答對了 x 道題.根據“初賽成績超過 90 分”晉級決賽，列得不等式10x－5(20－x)＞90.去括號，得10x－100＋5x＞90.移項，合并同類項，得15x＞190.系數化為 1，得x ＞12 2/3 .由 x 為正整數，可得 x 至少為 13.答：初賽至少要答對 13 道題才能成功晉級.
例3 解：設這個市今年萬元地區生產總值能耗為 x t 標準煤.根據題意，列得不等式
去分母，得0.320－x≥0.320×5%.移項，合并同類項，得－x≥－0.304.系數化為 1，得x≤0.304.答：這個市今年萬元地區生產總值能耗至多為 0.304 t 標準煤.
【練一練】2.解：設小明答對 x 道題，則他答錯或不答的題數為 (25－x) 道.
由題意得 4x－2(25－x)＞80，解得 x＞21 .
問題 不能，因為 x 應為整數而且不能超過 25，所以小明至少要答對 22 道題.
探究點三 、方案問題
例4 問題1 購買證書的數量，設購買證書 m (m＞200) 張.
問題2 選擇方案甲所需費用 y甲為80×6＋0.4×(m－80)＝(0.4m＋448) (元)；
選擇方案乙所需費用y乙為80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×(m－200)＝(0.32m＋496) (元).
問題3 ① 當 y甲＝y乙 時，即 0.4m＋448＝0.32m＋496.移項，得 0.4m－0.32m＝496－448.合并同類項，0.08m＝48.解得m＝600.
② 當 y甲＞y乙 時，0.4m＋448＞0.32m＋496.移項：0.4m－0.32m＞496－448.合并同類項：0.08m＞48.解得m＞600.
③當 y甲＜y乙 時，0.4m＋448＜0.32m＋496.移項：0.4m－0.32m＜496－448.
合并同類項：0.08m＜48. 解得m＜600.
綜上，當購買證書 600 張時，甲、乙兩種方案費用一樣；當購買證書的數量大于 600 張時，方案乙更合算；當購買證書的數量大于 200 張且小于 600 張時，方案甲更合算.
例5 表格填空 x x x 50+0.95(x-50) 100+0.9(x-100) 50+0.95(x-50)
（1） 一樣 都不享受優惠 （2）乙超市有優惠，甲超市沒有
（3）① 100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50) x＞150 x＞150
②100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50) x＜150 100＜x＜150
③ 100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50) x＝150 x＝150
答：綜上所述，當累計購物花費不超過 50 元或等于 150 元時，到兩家超市購物花費相同；當累計購物超過 50 元而不到 150 元時，到乙超市購物花費較少；當累計購物超過150元時，到甲超市購物花費較少.
【練一練】
3.（1）解：設購買 A 型污水處理設備 x 臺，則購買 B 型污水處理設備 (10－x) 臺.由題意，得 12x＋10(10－x)≤105，解這個不等式，得 x≤2.5.因為 x 為設備的臺數，所以 x 為非負整數，即0≤x≤2.5 且 x 為整數，那么 x 的值可以為 0，1，2.當x=0時，10-x=10-0=10，即購買A型 0 臺，B型10 臺.
當x=1時，10-x=10-1=9，即購買A型 1 臺，B型 9 臺.
當x=2時，10-x=10-2=8，即購買A型 2 臺，B型 8 臺.
所以該企業有 3 種購買方案.
（2）解：由題意得 240x＋200(10－x)≥2040， 解得 x≥1.
結合(1) 中 x≤2.5且 x 為整數，可得 x 的值為 1 或 2.
分別計算兩種情況下的購買資金：
當 x＝1 時，購買A 型 1 臺，B 型 9 臺，
購買資金為12×1＋10×9＝12＋90＝102 (萬元).
當 x＝2 時，購買 A 型 2 臺，B 型 8 臺，購買資金為
12×2＋10×8＝24＋80＝104 (萬元).
因為 102<104，所以為了節省資金，應該選擇購買A型1 臺，B型 9 臺的方案.
課堂檢測
1.A 2.A 3. 2×5＋(10－2)x≥72 4. 9 5. 13
6.(1)解：設A種樹苗的單價為x元，B種樹苗的單價為y元，
解得
答：A種樹苗的單價為200元，B種樹苗的單價為300元.
（2）解：設購進A種樹苗a棵，則購進B種樹苗為(30－a)棵，可得200a＋300(30－a)≤8000，解得a≥10.答：A種樹苗至少需購進10棵.
7. 解：設可以打x折出售此商品.由題意得160×x/10 －100≥100×20％，解得x≥7.5.答：最多可以打七五折出售此商品.

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