資源簡介

第11章 不等式與不等式組
11.2 一元一次不等式
第1課時 一元一次不等式的解法
【學習目標】
1. 通過解決實際問題，理解一元一次不等式的概念,培養抽象概括能力，發展數學模型思想.
2. 通過類比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法，培養知識遷移能力，發展類比推理能力.
3. 會利用數軸解一元一次不等式，并在數軸表示一元一次不等式解集，繼續滲透數形結合思想，發展幾何直觀.
【學習重點】解一元一次不等式的步驟，把解集表示在數軸上.
【學習難點】正確運用不等式的性質解一元一次不等式.
【自主學習】
什么叫作一元一次方程 結合一元一次方程和不等式的定義思考并探究什么叫一元一次不等式.
【合作探究】
探究點一、一元一次不等式的概念
某次知識競賽中共有 10 道題，對于每一道題，答對了得 10 分，答錯了或者不答扣 5 分，已知某同學答對了 x 道題，得了 70 分.
問題1：請寫出情境中 x 所滿足的關系式.
問題 2：這個關系式我們稱之為什么 什么是一元一次方程
追問：如果把某同學得了 70 分改成至少得 70 分，其他條件不變. 你又能得出什么關系式 這個關系式叫什么
活動：請同學們觀察下列不等式：
① x－2＜3； ② x+1/2＜3； ③1一3(x＋1)＞5； ④ x＋1≤2x.
問題1：上述不等式中各含有幾個未知數 未知數的次數都是幾次 不等號兩邊的式子有什么特點
問題2：你能依據一元一次方程的概念說出什么叫一元一次不等式嗎
一元一次不等式的概念：
只含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是１的不等式，叫作一元一次不等式.
特點： ① 不等式兩邊都是整式；
② 每個不等式都只含有一個未知數；
③ 未知數的次數都是 1.
思考：它與一元一次方程的定義有什么共同點和不同點？
例1 已知是關于 x 的一元一次不等式，則 a 的值是_______．
例2 下列不等式是一元一次不等式嗎 為什么？
(1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0；
(3) (4) x(x - 1) < 2x.
探究點二、解一元一次不等式
活動：你能否仿照解方程的步驟去解不等式
解方程： 解不等式：
4x - 1 = 5x + 15. 4x - 1 < 5x + 15.
問題1：解不等式移項是根據什么性質 不等號變不變
問題 2：解不等式系數化為 1 是根據什么性質 不等號變不變
追問：你覺得解不等式在哪些地方容易出錯 和同學討論歸納一下.
思考：解方程和解不等式有何異同點
解方程和解不等式異同點
一元一次不等式 一元一次方程
相同點 解法 步驟 ①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化為1 (解不等式時，去分母、系數化為1時，若兩邊都乘 (或除以) 同一個負數，不等號的方向改變)
不同點 依據 不等式的性質 等式的性質
解的個數 有無數個解 只有一個解
解(集)的形式 xa(x≥a) x=a
【典型例題】
例3 解下列不等式，并在數軸上表示解集：
(1) 3(x－1)＜x－2； (2)
想一想: 對比例1中第 (1) 小題和第 (2) 小題的解題過程，系數化為 1 時應注意些什么？
例4 當 y 為何值時，式子 的值不大于式子 的值？并求出滿足條件的 y 的最大整數值.
課堂檢測
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)
A. x＜y B. a2＋b2＞0 C. 1/x ＞1 D. 3/4 x－4/3 ＜0
2. 不等式2x＋1≤5的解集，在數軸上表示正確的是(　　)
3. 不等式1－2x＜5－x的負整數解有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
4. 若(m－2)x2m＋1－1＞5是關于x的一元一次不等式，則該不等式的解集為_____.
5. 解下列不等式，并把解集在數軸上表示出來：
(1)3x－1＜2x＋1； (2)－3(x－1)≥2x－3； (3)2x 1/3 ≤3x 1/2 .
6. 已知關于x，y的方程組 的解滿足不等式x＋y＜3，求實數a的取值范圍.
參考答案
【自主學習】
一元一次方程指只含有一個未知數、未知數的最高次數為 1 且兩邊都為整式的等式
【合作探究】
探究點一、一元一次不等式的概念
問題1 10x－5(10－x)＝70
問題2 一元一次方程；只含有一個未知數，未知數的次數為 1 且兩邊都為整式的等式叫作一元一次方程.
追問 10x－5(10－x)≥70.一元一次不等式
活動 問題1 含有一個未知數，且未知數次數是 1 的不等式，不等號兩邊的式子都是整式.
問題2 只含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是１的不等式，叫作一元一次不等式.
思考 想同點：都是對未知數的次數和個數來進行定義的，不同點：一個為等式，另一個為不等式。（言之有理即可）
【典型例題】例1 1 例2 （1）是（2）是（3）不是（4）不是
探究點二、解一元一次不等式
解方程 解：移項，得4x - 5x = 15 + 1.合并同類項，得-x = 16.系數化為 1，得x = -16.
解不等式：解：移項，得4x - 5x < 15 + 1.合并同類項，得-x < 16.系數化為 1，得x > -16.
問題1 性質1. 不變 問題2 不等式的性質 2、3. 是否變號視情況而定.
追問 符號問題、變號問題等
【典型例題】例3
(1) 解：去括號，得 3x－3＜x－2.移項，得 3x－x＜－2+3.合并同類項，得2x＜1.系數化為 1，得 x＜1/2 .這個不等式的解集在數軸上的表示如圖.
（2）解：去分母，得 3(x－5)＋2×12≥2(5x＋1).去括號，得 3x－15＋24≥10x＋2.移項，得 3x－10x≥2＋15－24.合并同類項，得 －7x≥－7.系數化為 1，得 x≤1.
想一想 要看未知數系數的符號：若未知數的系數是正數，則不等號的方向不變；若未知數的系數是負數，則不等號的方向改變；
例4 解：依題意，得 5y+4/6≤7/8 1 y/3，去分母，得4(5y＋4)≤21－8(1－y)，
去括號，得20y＋16≤21－8＋8y，移項得 20y－8y≤21－8－16，合并同類項得12y≤－3，把 y 的系數化為1，y≤－1/4，∴ 滿足條件的y最大整數值是－1.
課堂檢測
1.D 2.C 3.C 4. x＜－3
5.(1) x＜2 (2) x≤6/5 (3) x≥1/5
6. 解：解方程組得
∵x＋y＜3，∴2a＋1＋2a－2＜3.∴4a＜4.∴a＜1.