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第1章 整式的乘法
1.11.2 乘法公式
1.2.2 完全平方公式
第1課時 完全平方公式
學習目標：
1.理解并掌握完全平方公式的推導過程、結(jié)構特點.（重點）
2.會運用公式進行簡單的運算.(難點)
一、復習導入
1. 由下面的兩個圖形你能得到哪個公式？
2.公式的結(jié)構特點： .
情境導入
一塊邊長為 a 米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加 b 米. 形成四塊實驗田，以種植不同的新品種 (如圖). 用不同的形式表示實驗田的總面積，并進行比較. 你發(fā)現(xiàn)了什么？
要點探究
探究點一：完全平方公式
計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
(1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = .
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = .
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = .
根據(jù)上面的規(guī)律，你能直接寫出下面式子的結(jié)果嗎？
(x＋y)2 = .
(x－y)2 = .
知識要點
完全平方公式
(x＋y)2 = x2 + 2xy + y2；
(x－y)2 = x2－2xy + y2 .
簡記為：
“首平方，尾平方，積的 2 倍放中央”
兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的 2 倍. 這兩個公式叫作完全平方公式.
公式特征：
1. 積為二次三項式；
2. 積中的兩項為兩數(shù)的平方；
3. 另一項是兩數(shù)積的 2 倍，且與乘式中間的符號相同；
4. 公式中的字母 x，y 可以表示數(shù)、單項式或多項式.
想一想：
設 a ，b 都是正數(shù)，將完全平方公式1中的 x 用a 代入， y 用 6 代入，可得
(a ± b) = a ± 2ab + b .
你能根據(jù)圖 1 和圖 2 的面積解釋完全平方公式嗎
典例精析
例1 運用完全平方公式計算：
(1) ( a + )2；
(2) (3m＋n)2.
(3) (2x－3)2 .
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一個完全平方式，求 m 的值.
方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的 2 倍，就構成了一個完全平方式．注意積的 2 倍的符號可正可負，避免漏解．
二、課堂小結(jié)
1. 若 a2 + ab + b2 + A = (a－b)2 ，則 A =（ ）
A．－3ab B．－ab C．0 D．a(chǎn)b
2.下面各式的計算是否正確？如果不正確，結(jié)果應當怎樣改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2
(2) (x－y)2 = x2－y2
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2
3. 運用完全平方公式計算：
(1) (6a + 5b)2；
(2) (4x－3y)2；
(3) (2m－1)2；
(4) (－2m－1)2.
參考答案
一、復習導入
1.
平方差公式：(x + y)(x－y) = x2－y2.
2.公式的結(jié)構特點：
左邊是兩個二項式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差.
情境導入
直接求：總面積 = (a + b)(a + b)
間接求：總面積 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
要點探究
探究點一：完全平方公式
(1) p2 + 2p + 1
(2) m2 + 4m + 4
(3) p2－2p + 1
(4) m2－4m + 4
(x＋y)2 = x2 + 2xy + y2 .
(x－y)2 = x2－2xy + y2 .
典例精析
例1
= a2 + a + .
(2) 將完全平方公式1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代入，可得
(3m＋n )2 ＝ (3m)2＋2 3m n＋n2 =9m2＋6mn＋n2 .
(3) (2x－3)2 = (2x)2－2×(2x)×3 + 32 = 4x2－12x + 9.
例2 解：因為36x2＋(m＋1)xy＋25y2
=(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
所以(m＋1)xy = ±2×6x·5y.
所以m＋1 =±60.
所以 m＝59 或 m＝－61.
二、課堂小結(jié)
當堂檢測
1. A
2.答：(1) × x2 + 2xy + y2
(2) × x2－2xy + y2
(3) × x2－2xy + y2
(4) × 4x2 + 4xy + y2
3. (1) (6a + 5b)2= 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x－3y)2 = 16x2－24xy + 9y2.
(3) (2m－1)2 = 4m2－4m + 1.
(4) (－2m－1)2 = 4m2 + 4m + 1.

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