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第2章 實(shí)數(shù)
2.1 平方根
第2課時(shí) 無(wú)理數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1. 理解無(wú)理數(shù)的概念，能正確地判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù).（重點(diǎn)）
2. 能快速地利用計(jì)算器求一個(gè)無(wú)理數(shù)的近似值．（難點(diǎn)）
一、情境導(dǎo)入
播放視頻“無(wú)理數(shù)的引用”
觀察與思考 將一個(gè)長(zhǎng)為 4 cm，寬為 2 cm的長(zhǎng)方形紙片剪拼成一個(gè)正方形. 最后得到的這個(gè)正方形的面積是多少呢？它的邊長(zhǎng)是整數(shù)嗎？
要點(diǎn)探究
探究點(diǎn)一：無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)
活動(dòng)：把兩個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的小正方形通過(guò)剪、拼，設(shè)法得到一個(gè)大正方形，你會(huì)嗎？
還有好多方法哦！課余時(shí)間再動(dòng)手試一試，比比誰(shuí)找的多！
問(wèn)題1：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為 a，則 a 滿(mǎn)足什么條件？
追問(wèn)1：a 是一個(gè)什么樣的數(shù)？a 可能是整數(shù)嗎？
從“數(shù)”的角度：
因?yàn)? a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，
所以 12 < a2 < 22.
所以 1< a < 2，故 a 不是整數(shù).
追問(wèn)2：a 可能是分?jǐn)?shù)嗎？
① a 是分母為 2 的分?jǐn)?shù)嗎？
② a 是分母為 3 的分?jǐn)?shù)嗎？
③ a 是分母為 4 的分?jǐn)?shù)嗎？
④ a 是分母為多少的分?jǐn)?shù)？
歸納：a 既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以 a 不是有理數(shù).
思考
(1)分別根據(jù)上述結(jié)果,估計(jì)2的算術(shù)平方根 的大致范圍;
(2)若將 寫(xiě)成一個(gè)小數(shù),則它是一個(gè)怎樣的小數(shù)
知識(shí)要點(diǎn)：
事實(shí)上， = 1.414213562··· ，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，
從而它不是一個(gè)有理數(shù).像這樣，若一個(gè)數(shù)是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)或可以表示成一個(gè)無(wú)
限不循環(huán)小數(shù)，則把這個(gè)數(shù)叫作無(wú)理數(shù).
類(lèi)似于有理數(shù)分類(lèi)，無(wú)理數(shù)也分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù).
議一議 下面的說(shuō)法正確嗎 如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1) 無(wú)限小數(shù)都是有理數(shù)； (2) 無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；
(3) 帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)； (4) 無(wú)理數(shù)都是帶根號(hào)的數(shù).
練一練
1. 把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：
，0.3737737773…（每?jī)蓚€(gè)3之間依次增加一個(gè)7）
有理數(shù)集合：
無(wú)理數(shù)集合：
歸納總結(jié)
我們常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)的有以下三種形式：
(1) 化簡(jiǎn)后含有 π 的數(shù)；
(2) 開(kāi)不盡方的數(shù)開(kāi)方所得結(jié)果；
(3) 有規(guī)律但不循環(huán)的數(shù)，如1.01001000100001…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)0）
……
典例精析
例1 設(shè) n 為正整數(shù)，且 n ＜ ＜n＋1，則 n 的值為( 　)
A．5 B．6 C．7 D．8
練一練：寫(xiě)出一個(gè)比－3大的無(wú)理數(shù)：_________.
探究點(diǎn)二：用計(jì)算器求算術(shù)平方根
問(wèn)題：怎么用小數(shù)近似地表示一個(gè)無(wú)理數(shù)呢？
問(wèn)題：怎么求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根或它的近似值呢？
例2 用計(jì)算器求下列各式的值.
（1） （2） （精確到小數(shù)點(diǎn)后面第三位）
練一練
2 . 用計(jì)算器比較下面兩數(shù)的大小：
（1）； （2）
總結(jié)：
由于(±)2 = a，則對(duì)于任意一個(gè)非負(fù)數(shù) a，先開(kāi)平方，然后再平方，最后的結(jié)
果仍等于 a.
做一做 2 = a 成立嗎？ 若不成立，請(qǐng)舉例說(shuō)明.
二、課堂小結(jié)
1.下列各數(shù)： ， ， 1， (相鄰兩個(gè) 3 之間 0 的個(gè)數(shù)逐次加 1)中，無(wú)理數(shù)的有( )
A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5 個(gè)
2. 下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的為（ ）
A. 3.14 B. C. 0.305305530555… D.
3. 判斷題：
(1) 有限小數(shù)是有理數(shù). ( )
(2) 無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù). ( )
(3) 無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù). ( )
(4) 有理數(shù)是有限小數(shù). ( )
4. 以下各正方形的邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)的是（ ）
A.面積為 25 的正方形
B.面積為 的正方形
C.面積為 8 的正方形
D.面積為 1.44 的正方形
5.用計(jì)算器求下列各式的值：
（1） （ 2 ）
6. 面積為6 cm2的正方形，它的邊長(zhǎng)是多少？用計(jì)算器求邊長(zhǎng)的近似值（精確到 0.001 cm） .
7. 用計(jì)算器分別求 的近似值(精確到0.001).
8. 借助計(jì)算器求下列各式的值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
=
=
=
= （n個(gè)3，n個(gè)4）
利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)出結(jié)果：
=
參考答案
觀察與思考 正方形的面積為 8 cm2，由于 22 = 4，32 = 9，又 4＜8＜9，且面積較大的正方形的邊長(zhǎng)也較大，因此面積為 8 cm2 的正方形的邊長(zhǎng)不是整數(shù).
探究點(diǎn)一：無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)
活動(dòng) （答案不唯一，圖形合理即可）
問(wèn)題1 因?yàn)?S大正方形 = 2，所以 a2 = 2.
追問(wèn)1 因?yàn)閍2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故a不是整數(shù).
思考 （1）解：由于12<2，2<22，所以1<<2.由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5.
同理可得，1.41<<1.42，1.414<<1.415，1.4142<<1.4143.
（2）解：若將 寫(xiě)成一個(gè)小數(shù)，則由(1)可以猜測(cè)它應(yīng)該比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)不斷增加的小數(shù).
議一議 答：(1) 不正確. 如√2 = 1.414213562··· ，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，屬于無(wú)理數(shù)
(2) 正確. (3) 不正確. 如 √4 = 2 屬于有理數(shù) (4) 不正確. 如 π
練一練
有理數(shù)集合： ，
無(wú)理數(shù)集合：0.3737737773…
例1 D 練一練
探究點(diǎn)二：用計(jì)算器求算術(shù)平方根
問(wèn)題 例如 π = 3.141592653…，用四舍五入法，分別取到小數(shù)點(diǎn)后面第二位，第三位，…，得到 π≈3.14，π≈3.142，…，我們稱(chēng) 3.14，3.142 分別是 π 的精確到小數(shù)點(diǎn)后面第二位，第三位的近似值.
問(wèn)題 可以借助計(jì)算器或者用兩個(gè)數(shù)的平方來(lái)求算術(shù)平方根的近似值.
例2 32 ≈2.828
練一練 3.236067978. (2) 3.339148045.
＞
做一做 當(dāng) a≥0 時(shí)， = a 成立.當(dāng) a＜0 時(shí)， = a 不成立.
課堂練習(xí)
1.D 2.D 3. √ × √ × 4.C
5. (1) = 56 (2) = 1.24
6. 正方形的面積是 6 cm2，因此它的邊長(zhǎng)為cm 用計(jì)算器計(jì)算：顯示 2.4494897，
所以 ≈ 2.449 .
7. ≈1.414 1.732 ≈2.236 3.317 ≈0.762
8. =5555

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