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第2章 實數
2.1 平方根
第1課時 平方根和算術平方根
學習目標：
1.了解平方根及算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根.（重點）
2.會求非負數的平方根與算術平方根.（難點）
一、情境導入
某家庭在裝修兒童房時需鋪地墊 10.8 m2，剛好用去正方形的地墊 30 塊. 你能算出每塊地墊的邊長是多少嗎？
要點探究
探究點一：平方根
學校要舉行美術作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25 dm2 的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？
請你說一說解決問題的思路．
填一填:
（1）若正方形畫布的面積如下，請填表：
正方形的面積/dm2 1 9 16 36 4/25
正方形的邊長/dm
（2）你能指出它們的共同特點嗎？
問題 如果一個數的平方等于9，那么這個數是多少？
想一想：3 和 -3 有什么特征？
根據上面的研究過程填表：
x2 1 16 36 49 4/25
x
根據上述問題，即要找出一個數，使它的平方等于給定的數. 由此我們抽象出下述概念：
總結：
如果有一個數 r，使得 r2 = a，那么 r叫作 a 的一個平方根，也叫作二次方根.
思考：除了 2 和 －2 以外，4 的平方根還有其他的數嗎.
歸納總結：如果 r 是正數 a 的一個平方根，那么 a 的平方根有且只有兩個：r 與 -r.
我們把正數 a 的正平方根記作，讀作“根號a”；正數 a 的負平方根記作，讀作“負根號 a”.這樣，正數 a 的平方根可以用 “”來表示.
說一說 零的平方根是多少？負數有平方根嗎？
知識要點：求一個非負數的平方根的運算，叫作開平方.開平方與平方互為逆運算.
典例精析 例1分別求下列各數的平方根：36， ，1.21.
練一練 ① 的平方根是_______； ② (－16)2 的平方根是_______.
例2 已知一個正數的兩個平方根分別是 2a－2和 a－4，則 a 的值是________．
探究點二：算術平方根的概念及性質
我們把正數 a 的正平方根 叫作 a 的算術平方根.
思考：正數、負數、0 的算術平方各有幾個？
算術平方根的性質：算術平方根具有雙重非負性
練一練：
判斷下列說法是否正確.
①25 的算術平方根是 5 （ ）；
②25 的平方根是 5 （ ）；
③5 是 25 的平方根 （ ）.
注意區分“平方根”與“算術平方根”的意義.
典例精析
例3 分別求下列各數的算術平方根：
（1）100； （2） ； （2）0.49.
例4 若 |m - 1| += 0，求 m + n 的值.
練一練
1.若 |a + 3| = 0 ，則 a = ；
2.若(m-7)2=0，則m = ；
3.若= 0，則 a = ；
4.若|a - 3|+ = 0 ，則代數式(a + b)2025 =___.
平方根與算術平方根的聯系與區別：
聯系：1. 包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.
2. 只有非負數才有平方根和算術平方根.
3. 0 的平方根是 0，算術平方根也是 0.
區別：1. 個數不同：一個正數有兩個平方根， 但只有一個算術平方根.
2. 表示法不同：平方根表示為±，而算術平方根表示為 .
二、課堂小結
1.分別求 64，6.25 的平方根，并用式子表示.
2. 分別求 81，0.16 的算術平方根.
3. 判斷下列說法是否正確.
4. 已知一個自然數的算術平方根是 a，則按從小到大排該自然數的后一個自然數的算術平方根是（ ）
A. a + 1 B. C. a2 + 1 D.
5.已知 3(x - 1)2 = 363 ，求 x 的值．
參考答案
情境導入
解： 每塊正方形地墊的面積是 10.8÷30 = 0.36 (m2).即邊長×邊長 = 0.36.由于 0.62 = 0.36，因此面積為 0.36 m2 的正方形地墊的邊長是 0.6 m.
探究點一：平方根
填一填 (1) 1 3 4 6 2/5 (2) 都是已知一個數的平方，求這個數的問題.
問題 由于（±3）2 = 9，所以這個數是 3 或 -3. 互為相反數
填表 ±1 ±4 ±6 ±7 ±2/5
思考 因為邊長大于 2 的正方形，它的面積一定大于 4，所以，比 2 大的數都不是 4 的平方根.
說一說 由于 02 = 0，而非零數的平方不等于 0，因此零的平方根就是 0 本身.
由于同號兩數相乘得正數，且 02 = 0，即在迄今為止我們所認識的數中，任何一個數的平方都不會是負數，因此負數沒有平方根.
例1 ±6 ±5/3 ±1.1 練一練 ±5/4 ±16
例2 2
探究點二：算術平方根的概念及性質
思考 正數的算術平方根是一個正數，0 的算術平方根還是 0，負數沒有算術平方根.
練一練 √ × √ 例3 10 4/5 0.7
例4 解：因為 | m - 1| ≥0，≥0，又 | m - 1| += 0，
所以 | m - 1 | = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3. 所以 m + n = 1 + (-3) = -2.
做一做 -3 7 5 -1
課堂練習
1. 64 的平方根是 8 與 -8， =±8 ，6.25 的平方根是 2.5 與 -2.5 ，± =-2.5
2. 解：81的算術平方根是 9， =9 ， 0.16 的算術平方根是 0.4，=0.4 .
3 正確 正確 不正確，是4 不正確，是±4
4. D
5. 解：因為 3(x - 1)2 = 363，所以 (x - 1)2 = 121，x - 1=± ，x - 1=11或x - 1=--11，所以 x = 12 或 x =－10.

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