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第4章 平面內的兩條直線
4. 3 平行線的性質
學習目標：
1. 掌握平行線的性質，會運用兩條直線的平行關系判 定角相等或互補；（重點）
2. 能夠根據平行線的性質進行簡單的推理.
一、情境導入
問題1 平面內兩條直線的位置關系有哪幾種？
問題2 兩直線平行的定義是什么？
問題3 上節課你學了平行線的哪些內容？
要點探究
探究點一：平行線的性質
一、 平行線的性質 1
活動 畫兩條平行線 a∥b ，然后畫一條截線 c 與 a 、b相交，標出如圖所示的角. 度量所形成的 8 個角的度數，
把結果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度數
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度數
觀察 ∠1~∠8 中，哪些是同位角？它們的大小之間有什么關系？說出你的猜想.
猜想 兩條平行線被第三條直線所截，同位角________ .
再任意畫一條截線d，同樣度量各個角的度數，你的猜想還成立嗎？
幾何畫板展示：平行線的性質
如果兩直線不平行，上述結論還成立嗎？
一般地，平行線具有如下性質：
性質1 兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.
簡單說成：兩直線平行，同位角相等.
應用格式:
因為 a∥b（已知）， 所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）
例1 如圖，直線 AB ，CD 被直線 EF 所截，AB∥CD， ∠1 ＝100°，試求∠3 的度數.
二、 平行線的性質 2
思考：已知兩直線平行，同位角相等， 那么能否得到內錯角之間的數量關系？
如圖，已知 a∥b ，那么∠2 與∠3 相等嗎？為什么
性質2 兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等.
簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.
應用格式：
因為 a∥b（已知），
所以 ∠2=∠3 （兩直線平行，內錯角相等）.
三、 平行線的性質 3
思考：類似地，已知兩直線平行，能否得到同旁內角 之間的數量關系？如圖，已知 a∥b ，那么 2與 4有什么關系呢？為什么
性質3 兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補.
簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.
應用格式：
因為 a∥b (已知)， 所以∠2 + ∠4 = 180°(兩直線平行，同旁內角互補).
例2 如圖，AD∥BC ，∠B = ∠D ，試問∠A與∠C 相等嗎？為什么？
例3 小明在紙上畫了一個∠A ，準備用量角器測量它的度數時，因不小心將紙片撕破，只剩下如圖的一部 分．如果不能延長 DC、FE 的話，你能幫他設計出多少種方法測出∠A 的度數嗎？
例4 如圖，若 AB∥CD ，你能確定∠B 、∠D 與∠BED 之間的等量關系嗎？說說你的看法.
變式1
如圖，AB∥CD ，探索∠B 、 ∠D 與∠DEB 之間的等量關系
變式2 如圖所示，AB∥CD，則
若有 n 個拐點，你能找到規律嗎？
變式3 如圖，若 AB∥CD， 則
若左邊有 n 個角，右邊有 m 個角，你能找到規律嗎？
二、課堂小結
1. 如圖，已知平行線 AB、CD 被直線 AE 所截.
(1) 從∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度嗎？為什么？
(2) 從∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度嗎？為什么？
(3) 從∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度嗎？為什么？
2. 如圖，一條公路兩次拐彎的前后兩條路互相平行.若第一次拐彎時∠B 是 142°，則第二次拐彎時∠C是多少度？為什么？
3. 如果有兩條直線被第三條直線所截，那么（ ）
A. 內錯角相等 B. 同位角相等
C. 同旁內角互補 D. 以上都不對
4. (1) 如圖1，若 AB∥DE，AC∥DF，試說明∠A =∠D. 請補全下面的解答過程，括號內填寫依據.
解：因為 AB∥DE ( )，
所以∠A =_______ ( ).
因為 AC∥DF ( ) ，
所以∠D =______ ( ).
所以∠A =∠D ( ).
(2) 如圖 2，若 AB∥DE，AC∥DF，試說明∠A +∠D = 180°. 請補全下面的解答過程，括號內填寫依據.
解：因為 AB∥DE ( )，
所以∠A = ______ ( ).
因為 AC∥DF ( ) ，
所以∠D + _______= 180° ( ).
所以∠A +∠D = 180° ( ).
參考答案
復習導入 問題1 相交，重合，平行三種. 問題2 在同一平面內，沒有公共點的兩條直線平行. 問題3 過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行. 平行于同一條直線的兩條直線平行.
探究點一：平行線的性質
活動1 測量角度略（學生自主測量即可） 猜想 相等
例1 解：因為 AB∥CD，
所以∠1＝∠2＝100° (兩直線平行，同位角相等).
又因為∠2 +∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°.
平行線的性質2 思考 解：∠2 =∠3. 理由如下：因為 a∥b(已知)，所以∠1 =∠2(兩直線平行，同位角相等).又因為∠1 =∠3(對頂角相等)，所以∠2 =∠3(等量代換).
平行線的性質3 解： 2 + 4 = 180°. 理由如下： 因為 a∥b (已知)，
所以∠1 =∠ 2 (兩直線平行，同位角相等).
因為∠1 + ∠4 = 180°(平角的定義)， 所以∠2 + ∠ 4 = 180°(等量代換).
例2 解：因為 AD∥BC，所以根據平行線的性質3 可得：∠A +∠B = 180°，∠D +∠C = 180°.
又因為∠B =∠D(已知)，所以∠A =∠C.
例3 言之有理即可（可以從同位角，內錯角同旁內角等方面去思考）
例4 解：過點 E 向右作 EF∥AB．則∠B =∠BEF．因為 AB∥CD，所以 EF∥CD．
所以∠D =∠DEF．所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED，即∠B＋∠D＝∠BED．
變式1 解：過點 E 向左作 EF∥AB．則∠B＋∠BEF＝180°．因為 AB∥CD，所以 EF∥CD．所以∠D＋∠DEF＝180°． 所以∠B＋∠D＋∠DEB＝∠B＋∠D＋∠BEF＋∠DEF＝360°．
變式2 當有一個拐點時：∠A +∠E +∠C = 360°
當有兩個拐點時：∠A +∠E1 +∠E2 +∠C = 540°
當有三個拐點時：∠A +∠E1 +∠E2 +∠E3 +∠C = 720°
當有 n 個拐點時：∠A + ∠ E1 + ∠ E2 +…+ ∠ En + ∠C = 180°(n + 1)
變式3 當左邊兩個角，右邊一個角時：∠A +∠C =∠E
當左邊兩個角，右邊兩個角時：∠A +∠F =∠E +∠D
當左邊三個角，右邊兩個角時：∠A +∠F1 +∠C =∠E1 +∠E2
當左邊有n個角，右邊有m個角時：∠A +∠F1 +∠F2 + … +∠Fn-1=∠E1 +∠E2 + … +∠Em-1 +∠D.
課堂練習
1.解：(1)∠2 = 110°.兩直線平行，內錯角相等.
（2）∠3 = 110°. 兩直線平行，同位角相等.
（3）∠4 = 70°. 兩直線平行，同旁內角互補.
2. 解：∠C = 142°.兩直線平行，內錯角相等.
3. D
4.（1） 已知 ∠CPE 兩直線平行，同位角相等 已知 ∠CPE 兩直線平行，同位角相等
等量代換
（2）已知 ∠CPD 兩直線平行，同位角相等 已知 ∠CPD 兩直線平行，同旁內角互補
等量代換

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