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第4章 平面內(nèi)的兩條直線
4. 5 垂 線
第1課時 垂線
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1. 理解垂線的概念、性質(zhì)；（重點(diǎn)）
2. 會運(yùn)用垂線的性質(zhì)解決問題. （難點(diǎn)）
一、情境導(dǎo)入
觀察下面圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們 有什么特殊的位置關(guān)系？
日常生活中，如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見，你能再舉出其他例子嗎？
要點(diǎn)探究
探究點(diǎn)一：垂線的概念
在相交線的模型中，固定 木條 a ，轉(zhuǎn)動木條b ，當(dāng) b 的位置變化時，a 、b 所成 的角 α 也會發(fā)生變化.
問題 如圖，直線 AB 與 CD 交于點(diǎn) O ，當(dāng)∠AOC = 90。
時， ∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 等于多少度？為什么？
知識要點(diǎn)
1.垂直的定義：
在同一平面內(nèi)的兩條直線相交所成的四 個角中，若有一個角是直角(此時可知 其余三個角也是直角) ，則稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫作垂足.
若兩條直線相交所成的四個角中沒有直角， 則稱其中一條直線為另一條直線的斜線.
如圖，直線CD是AB的斜線，同樣，直線AB也是CD的斜線.
2.垂直的表示法：
如果直線 AB與直線CD垂直，那么可記作：AB丄CD（或 CD丄AB）.
如果用l 、m 表示這兩條直線，那么直線 l 與直線 m 垂直可記作：l 丄m （或 m丄l）.
其中 O 點(diǎn)是這兩條互相垂直的直線的垂足.
3.垂直概念的延伸
如圖，當(dāng)直線 AB 與 CD 相交于 O 點(diǎn)， AB丄CD ，垂足為 O.
符號語言：
①判定：因?yàn)椤螦OD = 90°（已知）， 所以 AB丄CD（垂直的定義）
反之，若直線 AB丄CD ，垂足為 O ，那么∠AOD= 90。.
符號語言：
②性質(zhì)：因?yàn)锳B丄CD（已知），
所以∠AOD = 90°(垂直的定義). (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90 °).
典例精析
例1 (1) 如圖1，若直線 m、n 相交于點(diǎn) O，∠1 = 90°，則__________；
(2) 若直線 AB 、CD 相交于點(diǎn) O ，且 AB丄CD ，那么 ∠BOD =_________；
(3) 如圖2，BO⊥AO，∠BOC 與∠BOA 的度數(shù)之比為 1∶5，則∠COA =_______°，∠BOC 的補(bǔ)角為________°.
活動1：你能借助三角尺在一張白紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？
活動2：如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？
折一折，試一試
你能用紙折出兩條互相垂直的直線嗎
例2 如圖，直線 BC 與 MN 交于點(diǎn) O，AO⊥BC，∠BOE =∠NOE，若∠EON = 20°，求∠AOM和∠NOC 的度數(shù)．
思考：在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線,這兩條直線平行嗎？為什么？
猜想：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.
(1) 在同一平面內(nèi)，b⊥a，c⊥a，試說明：b∥c.
(2) 如圖，在同一平面內(nèi)，如果直線 a∥b，l⊥a，那么 l⊥b 嗎
在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.
幾何語言：
因?yàn)?b 丄a ，c丄a (已知)，
所以 b∥c (同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行).
反之，在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線也垂直于另一條直線.
例3 如圖的簡易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1＝60°，求∠2的度數(shù)．
例4 如圖，在△ABC 中，CD⊥AB于點(diǎn) D，∠1 = ∠2，求∠BEF的度數(shù).
例5 如圖，為了說明示意圖中的平安大街與長安街是互相平行的，在地圖上量得∠1=90。，你能通過度量圖中已標(biāo)出的其他的角來驗(yàn)證這個結(jié)論嗎？說出你的理由.
二、課堂小結(jié)
1. 垂線的定義
當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是 直角時，這兩條直線互相垂直，
其中一條直線叫另 一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足.
2. 垂線的性質(zhì)
在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行.在同一平面內(nèi)，如果一直線
垂直于兩條平行線中 的一條，那么這條直線也垂直于另一條.
1. 兩條直線相交所成的四個角中，下列條件中能 判定兩條直線垂直的是( )
A.有兩個角相等 B.有兩對角相等
C.有三個角相等 D.有四對補(bǔ)角
2.找出圖中互相垂直的線段：
3. 如圖，AB丄CD ，垂足為 O ，EF 為過點(diǎn) O 的一條直線，
則∠1 與∠2 的關(guān)系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余
C. 互補(bǔ) D. 互為對頂角
4.如圖，已知直線 AB、CD 都經(jīng)過 O點(diǎn)，OE 為射線，若∠1＝35°，∠2＝55°，則 OE 與 AB 的位置關(guān)系是___________.
參考答案
探究點(diǎn)一：垂線的概念
問題 由對頂角和平角的性質(zhì) ，可知當(dāng) ∠AOC ＝90°時，∠BOD =∠AOD =∠BOC= 90°.
例1 （1） m丄n （2） 90 （3） 72 162
活動1 畫圖過程見課件展示動畫
活動2 答案不唯一，合理即可
例2 解：因?yàn)椤螧OE = ∠NOE ， ∠EON＝20°，所以∠BON＝2∠EON＝40°. 所以∠NOC ＝180°-∠BON = 180°－40。＝140°. ∠MOC = ∠BON＝40°.因?yàn)锳O丄BC ，所以∠AOC ＝90°.所以∠AOM = ∠AOC-∠MOC ＝90°－40°＝50°. 綜上可知， ∠AOM ＝50°， ∠NOC ＝140°.
思考 b⊥a，c⊥a b∥c
驗(yàn)證猜想 （1） 解法1：如圖，因?yàn)?b⊥a，c⊥a（已知），所以∠1 = ∠2 = 90°(垂直的定義).所以 b∥c (同位角相等，兩直線平行).
解法2：如圖，因?yàn)?b⊥a，c⊥a (已知)，所以∠1 =∠2 = 90° (垂直的定義).
所以 b∥c (內(nèi)錯角相等，兩直線平行).
（2） 解：因?yàn)?l⊥a，所以∠1 = 90°.因?yàn)?a∥b，所以 ∠2 = ∠1= 90°(兩直線平行，同位角相等)，因此 l⊥b.
例3 解：因?yàn)?BD，AE 都垂直于 CG，所以 BD∥AE（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）.從而∠2＝∠1＝60°（兩直線平行，同位角相等）.
例4 解：因?yàn)?CD⊥AB，所以∠BDC = 90°.又因?yàn)椤? = ∠2，所以 DC∥EF (同位角相等，兩直線平行).所以∠BEF=∠BDC = 90°(兩直線平行，同位角相等).
例5 解：方法1：測出∠3 = 90°，理由是同位角相等，兩直線平行.
方法2：測出∠2 = 90°，理由是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
方法3：測出∠5 = 90°，理由是內(nèi)錯角相等，兩直線平行.
方法4：測出∠2，∠3，∠4，∠5 中任意一個角為 90°，理由是同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行.
課堂練習(xí)
1. C 2. AO⊥CO BO⊥DO 3. B 4. 垂直

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