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第4章 平面內的兩條直線
4. 5 垂 線
第2課時 垂線段與點到直線的距離
學習目標：
1. 理解垂線的畫法；
2. 知道垂線段和點到直線的距離的概念，會運用并 解決問題. （重點、難點）
一、情境導入
在灌溉時，要把河中的水引到農 田 P 處，如何挖掘能使渠道最短？請畫出圖來，并說明理由.
要點探究
探究點一：垂線的畫法及基本事實
問題：
(1) 畫已知直線 l 的垂線能畫幾條
(2) 過直線 l 上的一點 A 畫 l 的垂線，這樣的垂線能畫幾條
(3) 過直線 l 外的一點 B 畫 l 的垂線，這樣的垂線能畫幾條
如圖，已知直線 l ，作 l 的垂線.
1. 放
2. 靠
3. 畫
問題：這樣畫 l 的垂線可以畫幾條？
如圖，已知直線 l 和 l 上的一點 A ，作 l 的垂線.
問題：這樣畫 l 的垂線可以畫幾條？
如圖，已知直線 l 和 l 外的一點 A ，作 l 的垂線.
根據以上操作，你能得出什么結論？
垂線的基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
注意：
1.“過一點” 中的點，可以在已知直線上，也可以 在已知直線外；
2.“有且只有” 中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
例1 過點 P 畫出射線 AB 或線段 AB 的垂線．
總結: 過一點畫射線或線段的垂線，是指過該點畫射線或線段所在的直線的垂線.
探究點二：點到直線的距離
如圖，從 A 點向已知直線 l 畫一條垂直的線段和幾條不垂直的線段.
說一說：
1. 線段 AB，AC，AD ，AE誰最短？
2.你能用一句話表示這個結論嗎？
直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短. 簡單說成：垂線段最短.
從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.
特別規定：
線段 AD 的長度叫作點 A 到直線 l 的距離.
試一試： 在灌溉時，要把河中的水引到農田 P 處，如何挖掘能使渠道最短？請畫出圖來，并說明理由.
例2 如圖，在△ABC中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足為點D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求：
(1) 點 A 到直線 BC的距離；
(2) 點 B 到直線 AC 的距離是多少
二、課堂小結
1. 垂線的畫法
2. 垂線的性質
(1) 在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知 直線垂直；
(2) 垂線段最短.
3. 點到直線的距離
1.過點 P 向線段 AB 所在直線作垂線，正確的是（ ）
2.如圖，AC丄BC ， ∠CDB = 90。，線段AC、BC 、CD 中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能確定
3. P 是直線 AB 外一點，過點 P 作 PO丄AB ，垂足為 O， 若 C 為直線 AB 上任意一點，則線段 PC 與線段 PO 的大小關系是（ ）
A. PC ＞ PO B. PC ＜ PO C. PC ≥ PO D. PC ≤ PO
第2題圖 第4題圖
4. 下列說法正確的是（ ）
A. 線段 AB 叫作點 B 到直線 AC 的距離
B. 線段 AB 的長度叫作點 A 到直線 AC 的距離
C. 線段 BD 的長度叫作點 D 到直線 BC 的距離
D. 線段 BD 的長度叫作點 B 到直線 AC 的距離
5. 一輛汽車在直線形的公路 AB 上由 A 向 B 行駛，C、D 是分別位于公路 AB 兩側的加油站.
（1）設汽車行駛到公路 AB 上點 M 的位置時，距離加油站 C 最近；行駛到點 N 的位置時，距離加油站 D 最近，請在圖中分別畫出點 M、N 的位置；
（2）當汽車從 A 出發向 B 行駛時，在公路 AB 的哪一段路上距離 C、D 兩加油站都越來越近？在哪一段路上距離加油站 D 越來越近，而離加油站 C 卻越來越遠？
拓展提升
如圖，平原上有 A，B，C，D 四個村莊，為解決當地缺水問題，政府準備修建一個蓄水池.
（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池 H 點的位置，使它到四個村莊距離之和最??；
（2）計劃把河水引入蓄水池 H 中，怎樣開渠最短？并說明根據.
參考答案
情境導入 過P點作河道的垂線即可
探究點一：垂線的畫法及基本事實
問題 （1）無數條 （2） 1條 （3） 1條 作圖略
例1
探究點二：點到直線的距離
1. AD 2. 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中， 垂線段最短. 簡單說成：垂線段最短.
例2 （1） 解：因為∠ABC= 90。，所以 AB丄 BC ，點 B 為垂足，所以線段 AB 即為點 A到直線 BC 的垂線段，因為AB = 5 ，所以點 A 到直線 BC 的距離為5.
（2） 解：因為 BD丄AC ，垂足為 D，所以線段 BD 的長度即為點 B 到直線 AC 的距離.
因為 S△ABC= BC ·AB = AC ·BD，所以 ，所以點 B 到直線 AC 的距離為 。
課堂練習
1. C 2. C 3. C 4. D
5. （1）
（2）解：在公路 AB 的 AM 段距離 C、D 兩加油站都越來越近，在 MN 段距離加油站 D 越來越近，而距離加油站 C 卻越來越遠.
拓展提升
解：（1）因為兩點之間線段最短，
所以連接 AD，BC 交于 H ，則 H 為蓄水池位置，它到四個村莊的距離之和最小.
（2）過 H 作 HG⊥EF ，垂足為 G .
“過直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池 H 中開渠最短的根據.

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