資源簡(jiǎn)介

第4章 平面內(nèi)的兩條直線
4. 6 兩條平行線之間的距離
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握公垂線段的概念及其性質(zhì)；
2. 會(huì)求平行線間的距離. （重點(diǎn)）
一、情境導(dǎo)入
連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離.
從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫作點(diǎn)到直線的距離.
展示三個(gè)視頻，借助數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活中的活動(dòng).
某火車(chē)站一位鐵路護(hù)路工人因有事出差，為了保證火車(chē)安全行駛，假設(shè)由你來(lái)頂替他工作你應(yīng)該怎樣確定兩條鐵軌是平行的呢？
要點(diǎn)探究
探究點(diǎn)一：兩條平行線間的距離
活動(dòng)1：請(qǐng)各位同學(xué)用直尺量一量自己的數(shù)學(xué)課本，它的寬度是多少？
你的直尺與課本的兩邊成什么角度？量在課本的哪個(gè)位置？大家量得的結(jié)果是一樣的嗎？
概念聚焦：
與兩條平行直線都垂直的直線，叫作這兩條平行直線的公垂線，這時(shí)連接兩個(gè)垂足的線段，叫作這兩條平行直線的公垂線段．
練一練
1. 如圖 (1)，已知 m∥n，_____為公垂線；
2. 如圖 (2)，已知 a∥b，_____為公垂線段.
合作探究
活動(dòng)2：請(qǐng)任意畫(huà)兩條互相平行的直線a、 b, 在直線 a上, 任意取兩點(diǎn)A, B. 然后量出點(diǎn)A、B到直線b的距離, 并加以比較, 你能得到什么結(jié)果
活動(dòng)3：把一把三角尺的一條直角邊沿著直線 b 移動(dòng)，請(qǐng)觀察三角尺的另一條直角邊與直線 a交點(diǎn)處的刻度，問(wèn)：刻度有改變嗎？
通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
概念學(xué)習(xí)
兩條平行線的所有公垂線段都_____________.
幾何語(yǔ)言：
因?yàn)?a∥b，AC，BD 是 a，b 的公垂線段，
所以 AC = BD.
定義：兩條平行線的公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩條平行線間的距離.
由上述結(jié)論可以進(jìn)一步猜測(cè)：
平行線 l1 與 l2 之間的距離等于 l1 上任一點(diǎn)到直線 l2 的距離.
思考：你可以說(shuō)明這個(gè)猜想是正確的嗎？
例1 如圖，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為點(diǎn) E，F(xiàn)，那么線段 AE 與 CF相等嗎
例2 如圖，已知 AD∥BC，判斷S△ABC與S△DBC是否相等，并說(shuō)明理由.
練一練：
如圖，MN∥AB，P，Q 為直線 MN 上的任意兩點(diǎn)，△PAB 和△QAB 的面積有什么關(guān)系？為什么？
例3 如圖，設(shè) a ，b ，c 是三條互相平行的直線. 已知 a 與 b 的距離為 5 ，b 與 c 的距離為 2 ， 求 a 與 c 的距離.
變式：設(shè) a 、b 、c 是三條互相平行的直線，已知 a 與 b的距離為 5 ，b 與 c 的距離為 2 ，求 a 與 c 的距離.
二、課堂小結(jié)
1. 兩平行線的公垂線段有多少條 （ ）
A. 1 條 B. 2 條 C. 無(wú)數(shù)條 D. 一條也沒(méi)有
2. 點(diǎn) P，M 分別在直線 AB 和直線 CD 上，且 AB∥CD， 點(diǎn) P 到 CD 的距離為 5 cm ，則點(diǎn) M 到AB 的距離 ( )
A. 大于 5 cm B. 小于 5 cm C. 等于 5 cm D. 不能確定
3. 如圖，a⊥c，b⊥c，c 交 a，b 于A、B 兩點(diǎn)，d 交 a，b 于 C、D 兩點(diǎn)，且 d 與 c 不平行，則 AB_______CD（填“＞”“=” “＜”）.
4. 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD 的寬 AD 的長(zhǎng)度是 2 cm，點(diǎn) P 到 AB 的距離是 1.6 cm，那么點(diǎn) P 到CD的距離是________.
第3題圖 第4題圖
5. 如圖，已知直線 MN∥PQ ，BC = 4 cm ，若△ABC的面積為 6 cm , 則平行線 MN，PQ 的距離是______ cm.
第5題圖 第7題圖
6. 已知 a∥b∥c ，a 與 b 之間的距離為 3 cm ，b 與 c 之間的距離為 4 cm ，則a與c之間的距離為_(kāi)_________ cm.
7.如圖是山坡上兩棵樹(shù),你能量出他們之間的距離嗎
拓展提升
1.如圖1，MN∥AB，P、Q 為直線 MN 上的任意兩點(diǎn)，△PAB 和△QAB 的面積相等嗎？為什么？
2. 如圖2，MN∥AB，P 是MN上的一動(dòng)點(diǎn)，S△PAB = a cm2. P 沿 MN 的方向每次移動(dòng) 1 cm，當(dāng)它移動(dòng)10 cm時(shí)得到點(diǎn)P1，那么△P1AB 的面積是多少？
參考答案
情境導(dǎo)入 B C A 可以測(cè)量不同位置的兩條鐵軌之間的距離
探究點(diǎn)一：兩條平行線間的距離
活動(dòng)一 測(cè)量結(jié)果可以自行統(tǒng)計(jì)，注意可以把直尺放在課本上任何一個(gè)位置，但必須保持直尺與課本的兩邊互相垂直，量得的結(jié)果是一樣的.
練一練
1. b 2. CD
活動(dòng)2 AC = DB
活動(dòng)3 刻度沒(méi)有發(fā)生改變 概念學(xué)習(xí) 相等
思考 證明：如圖，線段 AB 是兩條平行線 l1 與 l2 的公垂線段，從而線段 AB的長(zhǎng)度是直線 l1 與 l2 之間的距離.又線段 AB 的長(zhǎng)度是點(diǎn) A 到直線 l 的距離，因此，平行線 l1 與 l2 之間的距離等于直線 l1 上的點(diǎn) A 到直線 l 的距離.
例1 解：因?yàn)?AB∥DC，DE⊥AB，所以 DE⊥DC.又AB∥DC，BF⊥CD，于是 BF⊥AB. 因而DE∥FB.又 DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，從而線段 DF，EB 都是平行線 DE 與 FB 的公垂線段.故 DF = EB. 又AB = DC，所以 AB - EB = DC - DF，即 AE = CF.
例2 解：相等. 理由如下： 因?yàn)?AD∥BC，所以△ABC 與 △DBC 的高相等.
因?yàn)?△ABC 與 △DBC 的底都是 BC，所以 △ABC 與 △DBC 是同底等高三角形. 所以 S△ABC= S△DBC.
練一練 解 △PAB 與△QAB 面積相等. 理由如下： 作 PM⊥AB，QN⊥AB.
因?yàn)?MN∥AB，所以 PM = QN. S△PAB = , S△QAB = .
所以 S△PAB = S△QAB.
例3 解：在 a 上任取一點(diǎn) A，過(guò) A 作 AC⊥a，分別與 b，c 相交于 B，C 兩點(diǎn)，
因?yàn)?a，b，c 是三條互相平行的直線，所以AB⊥b，AC⊥a.因此，線段AB，BC，AC分別是平行線a 與 b，b 與 c，a 與 c 的公垂線段.又AC = AB + BC = 5 + 2 = 7，因此，a 與 c 的距離是 7.
變式 解：有兩種情況：(1) 如圖 1，由 AB = 5 ，BC = 2 ，得 AC = 7 .
(2) 如圖 2，由 AB = 5 ，BC = 2 ，得 AC = 3 .綜上可知，a 與 c 的距離為 7 或 3 .
課堂練習(xí)
1. C 2.C 3.＜ 4. 3.6 5. 3 6. 7 或 1
7. 拓展提升 相等 a cm2

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