資源簡介

第4章 平面內的兩條直線
4. 1 平面內兩條直線的位置關系
第2課時 相交直線所成的角
學習目標：
1. 理解對頂角、同位角、內錯角、同旁內角的概念；
2. 掌握對頂角的性質，能運用它的性質進行角的運 算并解決一些實際問題.（重點、難點）
一、情境導入
你發現了什么？
要點探究
探究點一：對頂角的概念
活動：握緊把手時，隨著兩個把手之間的角逐漸變小， 剪刀刃之間的角也相應變小直到剪開布片.如果把剪刀的構造看作兩條相交的直線，這就關系到兩條相交直線所成的角的問題.
知識要點
對頂角：兩個角有公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的___________，這樣的一對角叫作對頂角. 圖中∠1的對頂角是______.
例1 下列各圖中，∠1 與∠2 是對頂角的是（ ）
探究點二：對頂角的性質
我們已經知道平角為 180。，因而∠1 與∠2 ， ∠2 與∠3 ， ∠3 與∠4 ， ∠4 與∠1 的和均為 180。.
問題：對頂角∠1 與∠3在數量上又有什么關系呢？
猜想：對頂角相等.
思考：你能利用有關知識來推 導∠1 與∠3 的數量關系嗎？
已知：直線 AB 與 CD 相交于 O 點(如圖)，試說明： ∠1 =∠3 ， ∠2 =∠4.
應用格式：因為直線 AB 與 CD 相交于 O 點， 所以∠1 =∠3 ， ∠2 =∠4.
想一想：圖中是對頂角量角器，你能說出用它測量角的原理嗎？
例2 如圖，直線 a ，b 相交， ∠1 = 40。，求∠2 ， ∠3，∠4 的度數.
變式訓練：
1. 如圖，若 ∠1 + ∠3 = 60。，則∠1 ， ∠2 ， ∠3 ， ∠4 各角的度數分別為____、____、____、____.
2. 如圖，若∠ 2 是 ∠ 1 的 3 倍，則∠1，∠2 ，∠3 ，∠4 各個角的度數分別為____、____、____、____.
3. 如圖，若1 : 2 = 2:7 ，則∠1 ，∠2 ，∠3 ， ∠4各角的度數分別為____、____、____、____ .
例3 如圖，直線 AB ，CD ，EF 相交于點 O， ∠1 ＝40°， ∠BOC ＝110°，求∠ 2 的度數.
變式訓練：
1. 如圖，直線 AB ，CD ，EF 相交，若∠1 + ∠5 = 180°，找出圖中與∠1相等的角.
探究點三：同位角、 內錯角、 同旁內角
合作探究
如圖，若再添加一條直線，即直線 EF 分別與兩條 直線 AB 和 CD 相交，構成了幾個角？有什么特點？
一、 同位角的概念
活動1 觀察∠1 與∠5 的位置關系：
① 在直線 EF 的同旁（右邊）
② 在直線AB，CD的同一側（上方）
圖中的同位角還有哪些？
例4 下列圖形中， ∠1和∠2 是同位角的有（ ）
A. (1) ，(2) B. (3) ，(4) C. (1) ，(2) ，(3) D. (2) ，(3) ，(4)
變式圖形：圖中的 ∠1 與∠2 都是同位角.
圖形特征：在形如字母“F”的圖形中有同位角.
例5 如圖，與∠1 是內錯角關系的是（ ）
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
二、 內錯角的概念
活動2 觀察∠3與∠5的位置關系：
① 在直線 EF 的兩側
② 在直線 AB ，CD 之間
圖中的內錯角還有哪些？
變式圖形：圖中的 ∠1 與∠2 都是內錯角.
圖形特征：在形如“Z”的圖形中有內錯角.
三、 同旁內角的概念
活動3 觀察∠4 與∠5 的位置關系：
① 在直線 EF 的同旁
② 在直線 AB ，CD 之間
圖中還有哪些同旁內角？
例6 下列圖形中，∠1和∠2是同旁內角的是（ ）
變式圖形：圖中的 ∠1 與∠2 都是同旁內角.
圖形特征：在形如“U”的圖形中有同旁內角.　
歸納總結
例7 如圖，直線 DE 截 AB ，AC，構成 8 個角，指出所有的同位角，內錯角，同旁內角.
變式： ∠A 與∠8 是哪兩條直線被哪條直線所截得的角 它們是什么關系的角 ∠A 與∠5 呢？∠A 與∠4 呢？
練一練
識別哪些角是同位角、內錯角、同旁內角
例8 如圖，直線 AB ，CD 被直線 MN 所截，同位角 ∠1 與∠2 相等，那么內錯角∠2 與∠3相等嗎
二、課堂小結
1. 下列各圖中， ∠1 ， ∠2 是對頂角嗎？
2. 如圖， ∠DAB 和∠ABC 的位置關系是（ ）
A. 同位角 B. 同旁內角
C. 內錯角 D. 以上結論都不對
3. 如圖， ∠1和 ∠2 不能構成同位角的圖形是（ ）
4. 如圖，直線 AB ，CD ，EF 相交于點 O.
(1) 寫出∠AOC ，∠BOE 的補角；
(2) 寫出∠DOA ，∠EOC 的對頂角；
(3) 如果∠AOC= 50°，求∠BOD ，∠COB 的度數.
5. 看圖填空：
(1) 如圖 1 ，若 ED ，BF 被 AB 所截，則∠1 與 _____ 是同 位角；
(2) 如圖 2 ，若 ED ，BC 被 AF 所截，則∠3 與 _____ 是內錯角；
(3) 如圖 3 ， ∠1 與∠3 是 AB 和 AF 被______所截構成的 _____ 角；
(4) 如圖 4 ， ∠2 與∠4 是 _____ 和 _____ 被BC所截構成的_____.
6. 如圖，直線 AB，CD相交于點O，∠EOC = 70°， OA平分∠EOC ，求∠BOD的度數.
7. 根據地圖顯示填空：
學校與游樂場所在的角形成一對（ ）角；
學校與超市所在的角形成一對（ ）角；
學校與飛機場所在的角形 成一對（ ）角.
拓展題：觀察下列各圖，尋找對頂角 (不含平角) .
(1) 如圖 1，圖中共有_______對對頂角；
(2) 如圖 2，圖中共有_______對對頂角；
(3) 如圖 3，圖中共有_______對對頂角；
(4) 研究(1)~(3)小題中直線條數與對頂角的對數之間的關系，若有 n 條直線相交于一點，則可形成_______對對頂角；
(5) 若有 10 條直線相交于一點，則可形成_______對對頂角.
參考答案
情境導入
直線與直線相交于一點，并形成了四個角
探究點一：對頂角的概念
知識要點 反向延長線 ∠3
例1 D
探究點二：對頂角的性質
思考 解：因為直線 AB 與 CD 相交于 O 點，所以∠1 + ∠2 = 180。，
∠2 + ∠3 = 180。.所以∠1=∠3(同角的補角相等). 同理可得∠2=∠4.
想一想 對頂角相等
例2 解： 因為直線 a 與 b 相交于一點， ∠1 = 40°，
所以∠3 =∠1 = 40°，∠2 = 180°-∠1 = 140°.所以∠4 =∠2 = 140°.
變式訓練 1. 30° 150° 30° 150° 2. 45° 135° 45° 135°
3. 40° 140° 40° 140°
例3 解：因為∠1 ＝40°，∠BOC ＝110°(已知)，所以∠BOF= ∠BOC -∠1
= 110°－40°＝70°. 因為∠BOF= ∠2 (對頂角相等)， 所以∠2 ＝70°(等量代換).
變式訓練
解：∠1 =∠3 (對頂角相等). 因為∠5 + ∠8 = 180°，且∠1 + ∠5 = 180°，所以∠8 =∠1.
因為∠8 =∠6 (對頂角相等) ，所以∠6 =∠1.綜上可知，與∠1 相等的角有∠3 ，∠8 ，∠6.
探究點三：同位角、 內錯角、 同旁內角
例4 A 例5 B 例6 A
例7 解：兩條直線 AB，AC 被直線 DE所截，所以8個角中，同位角有：∠1 與∠8 ， ∠2 與∠5 ， ∠3 與∠6， ∠4 與∠7；內錯角有： ∠1 與∠6，∠4 與∠5；
同旁內角有：∠1 與∠5， ∠4 與∠6.
變式 解： ∠A 與∠8 是直線 AB，DE 被 直線 AC 所截形成的內錯角.
∠A 與∠5 是直線 AB，DE 被直線 AC 所截形成的同旁內角.
∠A 與∠4 是直線 AC，DE 被直線 AB 所截形成的同位角.
練一練 同位角 同位角 同位角 同位角 無
同位角 無 內錯角 無 同旁內角
8. 解：因為∠1=∠3(對頂角相等)， ∠1 = ∠2(已知)，所以∠2= ∠3(等量代換).
課堂練習
1. 不是 是 不是 2. C 3. D
4. 解：(1)∠AOC 的補角是∠AOD 和∠COB；∠BOE 的補角是∠EOA 和∠BOF.
(2)∠DOA 的對頂角是∠COB； ∠EOC的對頂角是∠DOF.
(3)∠BOD =∠AOC = 50°，∠COB = 180°-∠AOC = 130°.
5.（1）∠2 （2）∠4 （3）DE 內錯 （4）AB AF 同位
6. 解：因為OA平分∠EOC，所以∠AOC= ∠EOC= 35°. 所以∠BOD =∠AOC= 35°.
7. 同位 同旁內 內錯
拓展題 （1）2 （2） 6 （3） 12 （4） n(n-1) （5） 90

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