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第5章 軸對稱與旋轉
5.2 旋轉
學習目標：
1. 掌握旋轉的有關概念及基本性質；（重點）
2. 能夠根據旋轉的基本性質解決實際問題；
3. 掌握旋轉作圖的方法與步驟.
一、情境導入
這些運動有什么共同的特點？
要點探究
探究點一：旋轉的概念
問題 觀察下面的現象，它有什么特點？
思考:怎樣來定義這種圖形變換？
鐘表的指針在不停地轉動，從 12 時到 4 時，時針轉動了______度.
把時針當成一個圖形，那么它可以繞著中心固定點轉動一定角度.
風車風輪的每個葉片在風的吹動下轉動到新的位置.
把葉片當成一個平面圖形，那么它可以繞著平面內中心固定點轉動一定角度.
知識要點
把圖形 (Ⅰ) 上的每一個點與定點的連線繞點O按同一個方向旋轉角α，得到圖形 (Ⅱ) .圖形的這種變換叫作旋轉.這個定點 O 叫作旋轉中心.角 α 叫作旋轉角.
原位置的圖形 (Ⅰ) 叫作原像，新位置的圖形 (Ⅱ) 叫作圖形 (Ⅰ) 在旋轉下的像.圖形 (Ⅰ) 上的每一個點 P 與它在旋轉下的像點 P′ 叫作在這個旋轉下的對應點.
轉動的方向分為順時針與逆時針.
例1 △ABD 經過旋轉60°后到△ACE 的位置.
(1) 旋轉中心是哪一點
(2) 旋轉了多少度 順時針還是逆時針
(3) 如果M是AB的中點，經過上述旋轉后，點M轉到什么位置
填一填：
若葉片 A 繞 O 順時針旋轉到葉片 B，則旋轉中心是______，旋轉角是_________，
旋轉角等于____°，其中的對應點有_______、_______、_______、_______、_______、_______.
描述圖形的旋轉運動時，
旋轉的三要素：旋轉中心，旋轉方向，旋轉角度.
溫馨提示：
① 旋轉的范圍是“平面內”，其中“旋轉中心，旋轉方向，旋轉角度”被稱為旋轉的三要素；② 旋轉變換不改變圖形形狀和大小.
例2 如圖，點 A、B、C、D 都在方格紙的格點上，若△AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉到△COD 的位置，則旋轉的角度為 (　 　)
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
探究點二：旋轉的性質
觀察△ABC 如何運動到△A′B′C 的位置？
展示動畫：
根據上圖填空：
旋轉中心是點_____；圖中對應點有______________________________________________；
圖中對應線段有_______________________________；每對對應線段的長度關系是_____；
圖中旋轉角等于 ____°.
觀察下圖，你能找到相等的角和線段嗎？
知識要點
旋轉的性質
1. 對應點到旋轉中心的距離相等；
2. 兩組對應點分別與旋轉中心的連線所成的角相等，都等于旋轉角；
3. 旋轉中心是唯一不動的點；
4. 旋轉保持任意兩點間距離不變，保持角的大小不變.
例3 如圖，將△ABC 按逆時針方向旋轉 45°，得到△AB′C′ .
（1）圖中哪一點是旋轉中心？
（2）∠B′AB 和∠C′AC 有什么關系？它們的度數是多少？
（3）AB 與 AB′ ，AC 與 AC′ 有什么關系？
（4）BC 與 B′C′ 有什么關系？
（5）∠BAC 和∠B′AC′ 有什么關系？
探究點二 簡單的旋轉作圖
畫一畫：如圖，畫出線段 AB 繞點 A 按順時針方向旋轉 60°后的線段．
畫一畫 畫出如圖所示的四邊形ABCD以 O為中心，旋轉角為 60°的旋轉圖形．
方法歸納
旋轉作圖的基本步驟：
（1）明確旋轉三要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度；
（2）找出關鍵點；
（3）作出關鍵點的對應點；
（4）作出新圖形；
（5）寫出結論.
平移和旋轉的異同：
① 相同：都是一種位置變換，變換后不改變形狀和大小.
② 不同：
圖形變換 運動方向 運動量的衡量
平移 直線 移動一定距離
旋轉 順時針或逆時針 轉動一定的角度
二、課堂小結
1. 下列現象中屬于旋轉的有 ( )
① 地下水位逐年下降；② 傳送帶的移動；③ 方向盤的轉動； ④ 水龍頭開關的轉動；
⑤ 鐘擺的運動； ⑥ 蕩秋千運動.
A. 2 個 B. 3 個 C. 4 個 D. 5 個
2. 下列說法正確的是 ( )
A. 旋轉改變圖形的形狀和大小 B. 平移改變的是圖形的位置
C. 圖形可以向某方向旋轉一定距離 D. 由平移得到的圖形也一定可由旋轉得到
3. △A′OB′ 是△AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉得到的. 已知∠AOB = 20°，∠A′OB = 24°，AB = 3，OA = 5，則 A′B′ =______，OA′ =______，旋轉角等于______°.
第3題圖 第4題圖
4. 如圖所示，AB 是長為 4 的線段，且 CD⊥AB 于 O.你能借助旋轉的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法.
拓展訓練
將一個直角三角板繞 30° 角的頂點順時針旋轉，使一直角邊與原斜邊在同一條直線上(如圖所示). 你知道旋轉角是多少嗎？連接 BB′，△ABB′ 有什么特征嗎？
參考答案
情境導入 都是一個繞點的旋轉運動
探究點一：旋轉的概念
思考 120
例1 解：(1)旋轉中心是點 A.(2)旋轉了 60°，逆時針.(3)點 M 轉到了 AC 的中點上.
填一填 O ∠AOB 60 A與B B與C C與D D與E E與F F與A
例2 C
探究點二：旋轉的性質
C 點 A 與點 A′，點 B 與點 B′，點 M 與點 M′，點 N 與點 N′
CA 與 CA′、CB 與 CB′、AB 與 A′B′ 相等 45
∠AOA' =∠BOB' =∠COC' AO = A'O，BO = B'O，CO = C'O
例3 （1）點 A 是旋轉中心. （2） B 與 B′， C 與 C′ 是對應點. 因為兩組對應點分別與旋轉中心的連線所成的角相等，且等于旋轉角，所以∠B′AB =∠C′AC = 45°.
（3）因為對應點到旋轉中心的距離相等，所以AB = AB′，AC = AC′.
（4）因為旋轉保持任意兩點間距離不變，所以 BC = B′C′.
（5）因為保持對應角的大小不變，所以∠BAC =∠B′AC′.
探究點三：簡單的旋轉作圖
畫一畫 作法：(1) 如圖，以 AB 為一邊按順時針方向畫∠BAX，使得∠BAX = 60°；
(2) 在射線 AX 上取點 C，使得 AC = AB. 則線段 AC 即為所求．
畫一畫
課堂練習
1. C 2. B 3. 3 5 44
4. 將陰影部分繞著圓心旋轉到同一個區域，構成四分之一個圓.
5. 150° △ABB′中的兩條邊AB與 AB′相等

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