資源簡介

專題強化練3　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
(分值：100分）
1~6題每題8分，共48分
1.如圖所示，在第Ⅰ象限內有垂直紙面向里的勻強磁場，一對質量與電荷量都相等的正、負粒子在紙面內分別以相同速率沿與x軸成30°角的方向從原點射入磁場，不計粒子重力，則正、負粒子在磁場中運動的時間之比為（　　）
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.1∶1
2.如圖所示，平行線PQ、MN之間有方向垂直紙面向里的無限長勻強磁場，電子從P點沿平行于PQ且垂直于磁場方向射入磁場，當電子速率為v1時與MN成60°角斜向右下方射出磁場；當電子速率為v2時與MN成30°角斜向右下方射出磁場（出射點都沒畫出），v1∶v2等于（　　）
A.1∶（2-） B.（2-）∶1
C.2∶1 D.∶1
3.（多選）（2023·樂山市高二開學考）如圖所示，在紙面內半徑為R的圓形區域中充滿了垂直于紙面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一點電荷從圖中A點以速度v0垂直磁場射入，經磁場偏轉后恰能從點A'射出且速度方向剛好改變了90°。已知AA'為區域磁場的一條直徑，不計點電荷的重力，下列說法正確的是（　　）
A.該點電荷帶負電
B.該點電荷在磁場中做圓周運動的半徑為R
C.該點電荷的比荷為=
D.該點電荷在磁場中的運動時間為t=
4.（多選）如圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強磁場，比荷相同的兩個帶電粒子沿AB方向射入磁場，分別從AC邊上的P、Q兩點射出，不計粒子重力，則（　　）
A.從P點射出的粒子速度大
B.從Q點射出的粒子速度大
C.從P點射出的粒子在磁場中運動的時間長
D.兩粒子在磁場中運動的時間一樣長
5.（多選）（2024·長沙市高二月考）如圖所示，長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，板間距離也為l，極板不帶電。現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力），從兩極板間邊界中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是（　　）
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度6.（多選）如圖所示，寬度為d的有界勻強磁場，磁感應強度為B，MM'和NN'是它的兩條邊界線，現有質量為m、電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場射入，粒子重力不計，要使粒子不能從邊界NN'射出，粒子入射速率v的最大值可能是（　　）
A. B.
C. D.
7、8題每題10分，9題14分，共34分
7.如圖所示的扇形區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B，AO與OB垂直，圓弧的半徑為R。一個質量為m、電荷量為q的帶負電的粒子從圓心O點以大小為的速度射入磁場，結果粒子剛好從AB弧的中點C射出，不計粒子的重力，則下列說法正確的是（　　）
A.粒子在磁場中運動的時間為
B.粒子從O點射入時速度與BO邊的夾角為30°
C.只改變粒子射入磁場時速度的方向，使粒子從AC段圓弧射出，則粒子在磁場中運動時間變長
D.只改變粒子射入磁場時速度的方向，使粒子從CB段圓弧射出，則粒子在磁場中運動時間變短
8.（多選）（2022·湖北卷）在如圖所示的平面內，分界線SP將寬度為L的矩形區域分成兩部分，一部分充滿方向垂直紙面向外的勻強磁場，另一部分充滿方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小均為B，SP與磁場左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k，不計重力。若離子從P點射出，設出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對應θ角的可能組合為（　　）
A.kBL，0° B.kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
9.（14分）（2023·內江市高二期末）如圖，在平面直角坐標系xOy的第四象限內，有垂直紙面向里的勻強磁場，現有一質量為m=5.0×10-8 kg、電荷量為q=1.0×10-6 C的帶正電粒子，從靜止開始經U0=10 V的電壓加速后，從圖中P點沿圖示方向進入磁場時速度方向與y軸負方向夾角為37°，已知OP=30 cm，粒子重力不計，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。則：
（1）（3分）帶電粒子到達P點時速度v的大小是多少？
（2）（7分）若磁感應強度大小為B=2 T，粒子從x軸上的Q點（未畫出）離開磁場，則OQ間的距離是多少？
（3）（4分）若粒子不能從x軸上方射出，那么，磁感應強度B的最小值是多少？
10.（18分）（2023·浙江省高二期末）如圖所示，有帶電粒子從y軸的M點以初速度v平行于x軸正方向射入磁感應強度為B、磁場方向垂直坐標平面向外的勻強磁場區域，最后粒子從x軸上N點射出磁場區域。已知M點坐標為（0，2a），N點的坐標為（a，0），sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，粒子的重力不計。求：
（1）（4分）帶電粒子的比荷；
（2）（4分）帶電粒子在磁場中運動的時間；
（3）（5分）若要使帶電粒子從坐標原點離開磁場，可以控制磁場的強弱，則應該使磁場的磁感應強度為多少？
（4）（5分）若磁場只分布在一個矩形區域內，磁感應強度大小和帶電粒子從N點出去的方向不發生變化，求矩形區域的最小面積。
答案精析
1.B　［由洛倫茲力提供向心力有qvB=，又T=，解得T=，則正、負粒子在磁場中的運動周期相等，正、負粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示，
正粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角為120°，負粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角為60°，故時間之比為2∶1，B正確。］
2.B　［設電子射出磁場時速度方向與MN之間的夾角為θ，做勻速圓周運動的半徑為r，兩平行線之間的距離為d，由幾何關系可知cos θ=
解得r=，電子做勻速圓周運動，有qvB=，則v=∝r，
聯立可得v1∶v2=（2-）∶1，故B正確。］
3.AC　［根據點電荷偏轉方向由左手定則判定該點電荷帶負電，故A正確；
如圖所示，點電荷在磁場中做勻速圓周運動，根據幾何關系作出軌跡圖，設軌跡圓的半徑為r，可得r=2Rsin 45°=R，故B錯誤；
根據qv0B=m，聯立解得=，故C正確；該點電荷在磁場中的運動時間為t==，故D錯誤。］
4.BD　［作出兩帶電粒子各自的運動軌跡，如圖所示，
根據圓周運動特點知，兩粒子分別從P、Q點射出時，速度方向與AC邊的夾角相等，故可判定兩粒子從P、Q點射出時，半徑RP5.AB　［
如圖所示，帶電粒子剛好打在極板右邊緣時，有=（r1-）2+l2，得r1=l，又r1=，所以v1=；粒子剛好打在極板左邊緣時，有r2==，則v2=，綜合上述分析可知，選項A、B正確。］
6.BD　［設帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑為R，粒子在磁場中做圓周運動時由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可得qvB=m，解得R=。帶電粒子速率越大，軌跡半徑越大，當軌跡恰好與邊界NN'相切時，粒子恰好不能從邊界NN'射出，對應的速率最大。若粒子帶負電，臨界軌跡如圖甲所示，由幾何知識得R+Rcos 45°=d，
解得R=（2-）d，
對應的速率v=。
若粒子帶正電，臨界軌跡如圖乙所示，
由幾何知識得：R-Rcos 45°=d，
解得R=（2+）d
對應的速率v=，故選B、D。］
7.A　［粒子在磁場中運動的半徑r==R，則由幾何關系可知，粒子在磁場中轉過的角度為60°，運動的時間為t=T=T=，選項A正確；
由幾何關系可知粒子從O點射入時速度與BO邊的夾角為75°，選項B錯誤；只改變粒子射入磁場時速度的方向，使粒子從AC段圓弧射出，粒子軌跡對應弦長仍為扇形半徑，大小不變，則粒子在磁場中轉過的角度仍為60°，粒子在磁場中運動時間不變，選項C錯誤；同理，只改變粒子射入磁場時速度的方向，使粒子從CB段圓弧射出，則粒子在磁場中轉過的角度仍為60°，粒子在磁場中運動時間不變，選項D錯誤。］
8.BC　［若離子通過下部分磁場直接到達P點，如圖，
根據幾何關系則有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，根據對稱性可知出射速度與SP成30°角向上，故出射方向與入射方向的夾角為θ=60°。
當離子在兩個磁場均運動一次時，如圖，因為兩個磁場的磁感應強度大小均為B，則根據對稱性有R=L，根據洛倫茲力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此時出射方向與入射方向相同，即出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。通過以上分析可知當離子從下部分磁場射出時，需滿足v==kBL（n=1，2，3…），此時出射方向與入射方向的夾角為θ=60°；當離子從上部分磁場射出時，需滿足v==kBL（n=1，2，3…），此時出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。故B、C正確，A、D錯誤。］
9.（1）20 m/s　（2）0.90 m　（3） T
解析　（1）對帶電粒子的加速過程，由動能定理qU0=mv2，代入數據得v=20 m/s。
（2）帶電粒子在勻強磁場中僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，有qvB=m，得R=，代入數據得R=0.50 m
過P點作速度v的垂線交x軸于O1點，而=0.50 m=R，故O1P為軌跡圓弧半徑，O1為軌跡圓弧圓心，O1O為軌跡圓弧的半徑，故粒子到達Q點時速度方向垂直于x軸，軌跡如圖甲所示。由幾何關系可知OQ=R+Rsin 53°，故OQ=0.90 m。
（3）帶電粒子不從x軸射出（如圖乙），由幾何關系得OP≥R'+R'sin 37°，R'=，
由以上兩式并代入數據得B'≥ T，磁感應強度B的最小值是 T。
10.（1）　（2）　（3）
（4）a2
解析　（1）設粒子做圓周運動的半徑為r，運動軌跡如圖所示
由幾何關系可知r2=a2+（2a-r）2
解得r=
根據qvB=m可得=
（2）由幾何關系可知，OO'=2a-=a，
則cos θ=，解得θ=53°，
故粒子在磁場中運動軌跡對應的圓心角為127°
粒子在磁場中運動的時間
t=·=
（3）若要使帶電粒子從坐標原點離開磁場，則粒子運動的半徑為r'=a
根據qvB'=m可得B'=
（4）面積最小時為圖中虛線圍成的矩形，設∠OMN=α，因tan α=
則矩形區域的最小面積
S=2rcos α（r-rsin α）=a2。專題強化3　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
［學習目標］　1.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中的運動（重點）。2.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題（難點）。3.了解多解的成因，會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題（難點）。
一、帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
1.直線邊界（帶電粒子進入磁場具有對稱性）
從某一磁場的直線邊界射入的粒子，再從這一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等，如圖所示。
2.平行邊界（運動軌跡常存在臨界條件）
3.圓形邊界
（1）在圓形磁場區域內，沿半徑方向射入的粒子，必沿半徑方向射出，如圖甲所示。
（2）在圓形磁場區域內，不沿半徑方向射入的粒子，入射速度方向與半徑的夾角為θ，出射速度方向與半徑的夾角也為θ，如圖乙所示。
4.多邊形邊界
（1）矩形邊界
（2）三角形邊界
如圖所示是等邊三角形ABC區域內某帶正電的粒子垂直AB方向進入磁場的臨界軌跡示意圖，粒子能從AC間射出的兩個臨界軌跡如圖甲、乙所示。
例1　（2023·宿遷市高二期末）如圖所示，在邊界PQ上方有垂直紙面向里的勻強磁場，一對比荷（電荷量與質量之比）相同的正、負離子同時從邊界上的O點沿與PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁場中，不計離子重力，則正、負離子（　　）
A.在磁場中的運動時間相同
B.在磁場中運動的位移相同
C.出邊界時兩者的速度相同
D.正離子出邊界點到O點的距離更大
例2　（2021·全國乙卷）如圖，圓形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，質量為m、電荷量為q（q>0）的帶電粒子從圓周上的M點沿直徑MON方向射入磁場。若粒子射入磁場時的速度大小為v1，離開磁場時速度方向偏轉90°；若射入磁場時的速度大小為v2，離開磁場時速度方向偏轉60°，不計重力，則為（　　）
A. B.
C. D.
例3　（多選）（2023·樂山市高二期末）如圖所示，正方形abcd區域內存在垂直于紙面向外的勻強磁場，a處有比荷相等的甲、乙粒子，甲粒子沿ad方向射入磁場后從c點射出，乙粒子沿與ab成45°的方向射入磁場后垂直于bc射出，不計粒子重力和粒子間的相互作用力，則（　　）
A.甲、乙兩個粒子的速率之比為1∶
B.甲、乙兩個粒子的速率之比為∶1
C.甲、乙兩個粒子在磁場中的運動時間之比為1∶2
D.甲、乙兩個粒子在磁場中的運動時間之比為2∶1
二、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
解決帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題的關鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態，根據勻強磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關系求解。
（1）剛好穿出或剛好不能穿出勻強磁場的條件是帶電粒子在勻強磁場中運動的軌跡與邊界相切。
（2）當以一定的速率垂直射入勻強磁場時，運動的弧長越長、圓心角越大，則帶電粒子在有界勻強磁場中的運動時間越長。
（3）比荷（電荷量與質量之比）相同的帶電粒子以不同的速率v進入磁場時，圓心角越大的，運動時間越長。
例4　（多選）（2023·焦作市高二期中）如圖所示，在真空區域內，有寬度為l的勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場的邊界。一質量為m、帶電荷量為+q（q>0）的粒子，先后兩次沿著與MN夾角為θ=60°的方向垂直于磁感線射入勻強磁場中。第一次粒子以速度v1射入磁場，粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場；第二次粒子以速度v2射入磁場，粒子剛好垂直PQ射出磁場，不計粒子的重力，v1、v2均為未知量。下列說法正確的是（　　）
A.兩次粒子射入磁場的速度大小之比為3∶1
B.兩次粒子射入磁場的速度大小之比為1∶3
C.兩次粒子在磁場中運動的時間之比為4∶1
D.兩次粒子在磁場中運動的時間之比為8∶1
三、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題
多解的原因：
（1）磁場方向不確定形成多解；
（2）帶電粒子電性不確定形成多解；
（3）臨界狀態不唯一形成多解；
（4）運動的往復性形成多解。
解決此類問題，首先應畫出粒子的可能軌跡，然后找出圓心、半徑的可能情況。
例5　（多選）（2024·河北省正定中學高二期末）如圖所示，位于A點的離子源在紙面內沿垂直OQ的方向向上射出一束負離子，重力忽略不計。為把這束負離子約束在OP之下的區域，可加垂直紙面的勻強磁場。已知O、A兩點間的距離為s，負離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強磁場的磁感應強度B應滿足（　　）
A.垂直紙面向里，B>
B.垂直紙面向里，B>
C.垂直紙面向外，B>
D.垂直紙面向外，B>
例6　如圖所示，邊長為l的等邊三角形ACD內、外分布著方向相反的勻強磁場，磁感應強度大小均為B。頂點A處有一粒子源，能沿∠CAD的角平分線方向發射不同速度的粒子，粒子質量均為m，電荷量均為+q，不計粒子重力。則粒子以下列哪一速度發射時不能通過D點（　　）
A. B.
C. D.
答案精析
例1　C　［兩離子在磁場中的運動周期為T=，則知兩個離子圓周運動的周期相等。根據左手定則分析可
知，正離子逆時針偏轉，負離子順時針偏轉，作出兩離子的運動軌跡，如圖所示
兩離子重新回到邊界時，正離子的速度偏向角為2π-2θ，軌跡的圓心角也為2π-2θ，運動時間t1=T
同理，負離子運動時間t2=T
正、負離子在磁場中運動時間不相等，故A錯誤；
根據洛倫茲力提供向心力，
則有qvB=，得r=
由題意可知r相同，根據幾何知識可得，重新回到邊界的位置與O點距離s=2rsin θ，r、θ相同，則s相同，故兩離子在磁場中運動的位移大小相同，方向不同，故B、D錯誤；
兩離子在磁場中均做勻速圓周運動，速度沿軌跡的切線方向，根據圓的對稱性可知，重新回到邊界時速度大小與方向相同，故C正確。］
例2　B　［如圖所示，設圓形磁場區域的半徑為R，粒子以v1射入磁場時的軌跡半徑為r1
根據幾何關系r1=R，
以v2射入磁場時的軌跡半徑r2=R。
根據洛倫茲力提供向心力有qvB=，
可得v=，所以==，故選B。］
例3　AD　［依題意，設正方形磁場邊界寬度為L，畫出粒子運動軌跡如圖所示，利用幾何知識可得R甲=L
R乙=L
結合qvB=m
可得v=
則==
故A正確，B錯誤；
根據幾何知識可得，甲、乙兩個粒子在磁場中運動軌跡所對應的圓心角分別為θ1=90°
θ2=45°
結合qvB=m=mR
即T=
可知兩粒子在磁場中運動的周期相同，結合t=T
可得甲、乙兩個粒子在磁場中的運動時間之比為==
故C錯誤，D正確。］
例4　BD　［第一次粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場的運動軌跡如圖，根據幾何關系
l=R1+R1cos θ
得R1=
又qv1B=m
得v1==
第二次剛好垂直PQ射出磁場，運動軌跡如圖，根據幾何關系R2=
又qv2B=m
得v2==
所以==，故A錯誤，B正確；
粒子在磁場中運動周期T==
兩次粒子在磁場中運動周期相等，根據幾何關系，第一次在磁場中偏轉角為240°，第二次在磁場中偏轉角為30°，兩粒子運動時間之比等于在磁場中偏轉角之比，所以兩次粒子在磁場中運動的時間之比為8∶1，故C錯誤，D正確。］
例5　BC　［當所加勻強磁場方向垂直紙面向里時，由左手定則可知負離子向右偏轉，負離子被約束在OP之下的區域的臨界條件是離子的運動軌跡與OP相切，如圖（大圓弧），
由幾何知識知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故R2=s，所以當離子運動軌跡的半徑小于s時滿足約束條件；由牛頓第二定律可得qvB=，所以應滿足B>，選項A錯誤，B正確。當所加勻強磁場方向垂直紙面向外時，由左手定則可知負離子向左偏轉，負離子被約束在OP之下的區域的臨界條件是離子的運動軌跡與OP相切，如圖（小圓弧），由幾何知識知R1=，所以當離子運動軌跡的半徑小于時滿足約束條件，由牛頓第二定律得qvB=，所以應滿足B>，選項C正確，D錯誤。］
例6　C　［
粒子帶正電，且經過D點，其可能的軌跡如圖所示，所有圓弧所對的圓心角均為60°，當粒子運動的半徑為r=（n=1，2，3…）時；粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動且過D點，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qvB=m，解得v==（n=1，2，3…），故選C。］(共61張PPT)
DIYIZHANG
第一章
專題強化3　帶電粒子在有界勻強
磁場中的運動
1.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中的運動(重點)。
2.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題(難點)。
3.了解多解的成因，會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題(難點)。
學習目標
一、帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
二、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
專題強化練
內容索引
三、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題
帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
一
1.直線邊界(帶電粒子進入磁場具有對稱性)
從某一磁場的直線邊界射入的粒子，再從這一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等，如圖所示。
2.平行邊界(運動軌跡常存在臨界條件)
3.圓形邊界
(1)在圓形磁場區域內，沿半徑方向射入的粒子，必沿半徑方向射出，如圖甲所示。
(2)在圓形磁場區域內，不沿半徑方向射入的粒子，入射速度方向與半徑的夾角為θ，出射速度方向與半徑的夾角也為θ，如圖乙所示。
4.多邊形邊界
(1)矩形邊界
(2)三角形邊界
如圖所示是等邊三角形ABC區域內某帶正電的粒子垂直AB方向進入磁場的臨界軌跡示意圖，粒子能從AC間射出的兩個臨界軌跡如圖甲、乙所示。
(2023·宿遷市高二期末)如圖所示，在邊界PQ上方有垂直紙面向里的勻強磁場，一對比荷(電荷量與質量之比)相同的正、負離子同時從邊界上的O點沿與PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁場中，不計離子重力，則正、負離子
A.在磁場中的運動時間相同
B.在磁場中運動的位移相同
C.出邊界時兩者的速度相同
D.正離子出邊界點到O點的距離更大
例1
√
兩離子在磁場中的運動周期為T=，
則知兩個離子圓周運動的周期相等。根據左手定則分析可知，正離子逆時針偏轉，負離子順時針偏轉，作出兩離子的運動軌跡，如圖所示
兩離子重新回到邊界時，正離子的速度偏向角為2π-2θ，軌跡的圓心角也為2π-2θ，運動時間t1=T
同理，負離子運動時間t2=T
正、負離子在磁場中運動時間不相等，故A錯誤；
根據洛倫茲力提供向心力，則有qvB=
得r=
由題意可知r相同，根據幾何知識可得，重新回到
邊界的位置與O點距離s=2rsin θ，
r、θ相同，則s相同，故兩離子在磁場中運動的位
移大小相同，方向不同，故B、D錯誤；
兩離子在磁場中均做勻速圓周運動，速度沿軌跡的切線方向，根據圓的對稱性可知，重新回到邊界時速度大小與方向相同，故C正確。
(2021·全國乙卷)如圖，圓形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，質量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子從圓周上的M點沿直徑MON方向射入磁場。若粒子射入磁場時的速度大小為v1，離開磁場時速度方向偏轉90°；若射入磁場時的速度大小為v2，離開磁場時速度方向偏轉60°，不計
重力，則為
A. B. C. D.
例2
√
如圖所示，
設圓形磁場區域的半徑為R，粒子以v1射入磁場時的軌跡半徑為r1
根據幾何關系r1=R，
以v2射入磁場時的軌跡半徑r2=R。
根據洛倫茲力提供向心力有qvB=，
可得v===，故選B。
(多選)(2023·樂山市高二期末)如圖所示，正方形abcd區域內存在垂直于紙面向外的勻強磁場，a處有比荷相等的甲、乙粒子，甲粒子沿ad方向射入磁場后從c點射出，乙粒子沿與ab成45°的方向射入磁場后垂直于bc射出，不計粒子重力和粒子間的相互作用力，則
A.甲、乙兩個粒子的速率之比為1∶
B.甲、乙兩個粒子的速率之比為∶1
C.甲、乙兩個粒子在磁場中的運動時間之比為1∶2
D.甲、乙兩個粒子在磁場中的運動時間之比為2∶1
例3
√
√
依題意，設正方形磁場邊界寬度為L，畫出粒子運動軌跡如圖所示，利用幾何知識可得R甲=L
R乙=L
結合qvB=m
可得v=
則==
故A正確，B錯誤；
根據幾何知識可得，甲、乙兩個粒子在磁場中運動軌跡所對應的圓心角分別為θ1=90°
θ2=45°
結合qvB=m=mR
即T=
可知兩粒子在磁場中運動的周期相同，結合t=T
可得甲、乙兩個粒子在磁場中的運動時間之比為==
故C錯誤，D正確。
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帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
二
解決帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題的關鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態，根據勻強磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關系求解。
(1)剛好穿出或剛好不能穿出勻強磁場的條件是帶電粒子在勻強磁場中運動的軌跡與邊界相切。
(2)當以一定的速率垂直射入勻強磁場時，運動的弧長越長、圓心角越大，則帶電粒子在有界勻強磁場中的運動時間越長。
(3)比荷(電荷量與質量之比)相同的帶電粒子以不同的速率v進入磁場時，圓心角越大的，運動時間越長。
　(多選)(2023·焦作市高二期中)如圖所示，在真空區域內，有寬度為l的勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場的邊界。一質量為m、帶電荷量為+q(q>0)的粒子，先后兩次沿著與MN夾角為θ=60°的方向垂直于磁感線射入勻強磁場中。第一次粒子以速度v1射入磁場，粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場；第二次粒子以速度v2射入磁場，粒子剛好垂直PQ射出磁場，不計粒子的重力，v1、v2均為未知量。下列說法正確的是
A.兩次粒子射入磁場的速度大小之比為3∶1
B.兩次粒子射入磁場的速度大小之比為1∶3
C.兩次粒子在磁場中運動的時間之比為4∶1
D.兩次粒子在磁場中運動的時間之比為8∶1
例4
√
√
第一次粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場的運動軌跡如圖，
根據幾何關系l=R1+R1cos θ
得R1=
又qv1B=m
得v1==
第二次剛好垂直PQ射出磁場，運動軌跡如圖，根據幾何關系R2=
又qv2B=m
得v2==
所以==，故A錯誤，B正確；
粒子在磁場中運動周期T==
兩次粒子在磁場中運動周期相等，根據幾何關系，第一次在磁場中偏轉角為240°，第二次在磁場中偏轉角為30°，兩粒子運動時間之比等于在磁場中偏轉角之比，所以兩次粒子在磁場中運動的時間之比為8∶1，故C錯誤，D正確。
返回
三
帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題
多解的原因：
(1)磁場方向不確定形成多解；
(2)帶電粒子電性不確定形成多解；
(3)臨界狀態不唯一形成多解；
(4)運動的往復性形成多解。
解決此類問題，首先應畫出粒子的可能軌跡，然后找出圓心、半徑的可能情況。
　(多選)(2024·河北省正定中學高二期末)如圖所示，位于A點的離子源在紙面內沿垂直OQ的方向向上射出一束負離子，重力忽略不計。為把這束負離子約束在OP之下的區域，可加垂直紙面的勻強磁場。已知O、A兩
點間的距離為s，負離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，
則所加勻強磁場的磁感應強度B應滿足
A.垂直紙面向里，B>
B.垂直紙面向里，B>
C.垂直紙面向外，B>
D.垂直紙面向外，B>
例5
√
√
當所加勻強磁場方向垂直紙面向里時，由左手定
則可知負離子向右偏轉，負離子被約束在OP之下
的區域的臨界條件是離子的運動軌跡與OP相切，
如圖(大圓弧)，由幾何知識知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故
R2=s，所以當離子運動軌跡的半徑小于s時滿足約束條件；由牛頓第
二定律可得qvB=，所以應滿足B>，選項A錯誤，B正確。
當所加勻強磁場方向垂直紙面向外時，由左手
定則可知負離子向左偏轉，負離子被約束在OP
之下的區域的臨界條件是離子的運動軌跡與OP
相切，如圖(小圓弧)，由幾何知識知R1=
時滿足約束條件，由牛頓第二定律得qvB=，所以應滿足B>，選項C正確，D錯誤。
　如圖所示，邊長為l的等邊三角形ACD內、外分布著方向相反的勻強磁場，磁感應強度大小均為B。頂點A處有一粒子源，能沿∠CAD的角平分線方向發射不同速度的粒子，粒子質量均為m，電荷量均為+q，不計粒子重力。則粒子以下列哪一速度發射時不能通過D點
A. B.
C. D.
例6
√
返回
粒子帶正電，且經過D點，其可能的軌跡如圖
所示，所有圓弧所對的圓心角均為60°，當粒
子運動的半徑為r=(n=1，2，3…)時；粒子在
勻強磁場中做勻速圓周運動且過D點，洛倫茲力提供向心力，由牛頓
第二定律得qvB=m，解得v==(n=1，2，3…)，故選C。
四
專題強化練
1.如圖所示，在第Ⅰ象限內有垂直紙面向里的勻強磁場，一對質量與電荷量都相等的正、負粒子在紙面內分別以相同速率沿與x軸成30°角的方向從原點射入磁場，不計粒子重力，則正、負粒子在磁場中運動的時間之比為
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.1∶1
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基礎強化練
√
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由洛倫茲力提供向心力有qvB=，又T=，解得
T=，則正、負粒子在磁場中的運動周期相等，正、
負粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示，正粒子在磁場
中的運動軌跡對應的圓心角為120°，負粒子在磁場中
的運動軌跡對應的圓心角為60°，故時間之比為2∶1，B正確。
2.如圖所示，平行線PQ、MN之間有方向垂直紙面向里的無限長勻強磁場，電子從P點沿平行于PQ且垂直于磁場方向射入磁場，當電子速率為v1時與MN成60°角斜向右下方射出磁場；當電子速率為v2時與MN成30°角斜向右下方射出磁場(出射點都沒畫出)，v1∶v2等于
A.1∶(2-) B.(2-)∶1
C.2∶1 D.∶1
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設電子射出磁場時速度方向與MN之間的夾角為θ，做勻速圓周運動的半徑為r，兩平行線之間的距離為d，由幾何關系可知cos θ=
解得r=，電子做勻速圓周運動，有
qvB=，則v=∝r，
聯立可得v1∶v2=(2-)∶1，故B正確。
3.(多選)(2023·樂山市高二開學考)如圖所示，在紙面內半徑為R的圓形區域中充滿了垂直于紙面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一點電荷從圖中A點以速度v0垂直磁場射入，經磁場偏轉后恰能從點A'射出且速度方向剛好改變了90°。已知AA'為區域磁場的一條直徑，不計點電荷的重力，下列說法正確的是
A.該點電荷帶負電
B.該點電荷在磁場中做圓周運動的半徑為R
C.該點電荷的比荷為=
D.該點電荷在磁場中的運動時間為t=
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√
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根據點電荷偏轉方向由左手定則判定該點電荷帶負電，故A正確；
如圖所示，點電荷在磁場中做勻速圓周運動，根據幾何關系作出軌跡圖，
設軌跡圓的半徑為r，可得r=2Rsin 45°=R，故B錯誤；
根據qv0B=m=，故C正確；
該點電荷在磁場中的運動時間為t==，故D錯誤。
4.(多選)如圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強磁場，比荷相同的兩個帶電粒子沿AB方向射入磁場，分別從AC邊上的P、Q兩點射出，不計粒子重力，則
A.從P點射出的粒子速度大
B.從Q點射出的粒子速度大
C.從P點射出的粒子在磁場中運動的時間長
D.兩粒子在磁場中運動的時間一樣長
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√
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作出兩帶電粒子各自的運動軌跡，如圖所示，根據圓周
運動特點知，兩粒子分別從P、Q點射出時，速度方向與
AC邊的夾角相等，故可判定兩粒子從P、Q點射出時，半
徑RP誤，B正確；
由T==得，兩粒子在磁場中做圓周運動的周期相等，根據圖示，可知兩軌跡對應的圓心角相等，由t=T可知兩粒子在磁場中的運動時間相
等，C錯誤，D正確。
5.(多選)(2024·長沙市高二月考)如圖所示，長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，板間距離也為l，極板不帶電。現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)，從兩極板間邊界中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度1
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√
√
如圖所示，帶電粒子剛好打在極板右邊緣時，有=(r1-
)2+l2，得r1=l，又r1=，所以v1=；粒子剛好打在極板左邊緣時，有r2==，則v2=，綜合上述分析可
知，選項A、B正確。
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6.(多選)如圖所示，寬度為d的有界勻強磁場，磁感應強度為B，MM'和NN'是它的兩條邊界線，現有質量為m、電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場射入，粒子重力不計，要使粒子不能從邊界NN'射出，粒子入射速率v的最大值可能是
A. B.
C. D.
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√
√
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設帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑為R，粒子在磁場
中做圓周運動時由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二
定律可得qvB=m，解得R=。帶電粒子速率越大，
軌跡半徑越大，當軌跡恰好與邊界NN'相切時，粒子恰
好不能從邊界NN'射出，對應的速率最大。若粒子帶負電，臨界軌跡如圖甲所示，由幾何知識得R+Rcos 45°=d，
解得R=(2-)d，對應的速率v=。
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若粒子帶正電，臨界軌跡如圖乙所示，
由幾何知識得：R-Rcos 45°=d，
解得R=(2+)d
對應的速率v=，故選B、D。
7.如圖所示的扇形區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B，AO與OB垂直，圓弧的半徑為R。一個質量為m、電荷量為q的帶負電的粒子從圓心O點以大小為的速度射入磁場，結果粒子剛好從AB弧的中點C射出，不計粒子的重力，則下列說法正確的是
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能力綜合練
A.粒子在磁場中運動的時間為
B.粒子從O點射入時速度與BO邊的夾角為30°
C.只改變粒子射入磁場時速度的方向，使粒子從AC段圓弧射出，則粒子
在磁場中運動時間變長
D.只改變粒子射入磁場時速度的方向，使粒子從CB段圓弧射出，則粒子
在磁場中運動時間變短
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粒子在磁場中運動的半徑r==R，則由幾何關系可知，
粒子在磁場中轉過的角度為60°，運動的時間為t=T
=T=，選項A正確；
由幾何關系可知粒子從O點射入時速度與BO邊的夾角為75°，選項B錯誤；
只改變粒子射入磁場時速度的方向，使粒子從AC段圓弧射出，粒子軌跡對應弦長仍為扇形半徑，大小不變，則粒子在磁場中轉過的角度仍為60°，粒子在磁場中運動時間不變，選項C錯誤；
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同理，只改變粒子射入磁場時速度的方向，使粒子從CB段圓弧射出，則粒子在磁場中轉過的角度仍為60°，粒子在磁場中運動時間不變，選項D錯誤。
8.(多選)(2022·湖北卷)在如圖所示的平面內，分界線SP將寬度
為L的矩形區域分成兩部分，一部分充滿方向垂直紙面向外的
勻強磁場，另一部分充滿方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感
應強度大小均為B，SP與磁場左右邊界垂直。離子源從S處射
入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與
SP成30°角。已知離子比荷為k，不計重力。若離子從P點射出，設出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對應θ角的可能組合為
A.kBL，0° B.kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
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√
√
若離子通過下部分磁場直接到達P點，如圖，
根據幾何關系則有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，
根據對稱性可知出射速度與SP成30°角向上，
故出射方向與入射方向的夾角為θ=60°。
當離子在兩個磁場均運動一次時，如圖，
因為兩個磁場的磁感應強度大小均為B，
則根據對稱性有R=L，根據洛倫茲力提供向心力，
有qvB=m，可得v==kBL，此時出射方向與入射方向
相同，即出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。
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通過以上分析可知當離子從下部分磁場射出時，需滿足v==kBL(n=1，2，3…)，此時出射方向與入射方向的夾角為θ=60°；當離子從上部分磁場射出時，需滿足v==kBL(n= 1，2，3…)，此時出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。故B、C正確，A、D錯誤。
9.(2023·內江市高二期末)如圖，在平面直角坐標系xOy的第四象限內，有垂直紙面向里的勻強磁場，現有一質量為m=
5.0×10-8 kg、電荷量為q=1.0×10-6 C的帶正電粒子，從靜止開始經U0=10 V的電壓加速后，從圖中P點沿圖示方向進入磁場時速度方向與y軸負方向夾角為37°，已知OP=30 cm，粒子重力不計，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。則：
(1)帶電粒子到達P點時速度v的大小是多少？
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答案　20 m/s　
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對帶電粒子的加速過程，由動能定理qU0=mv2，
代入數據得v=20 m/s。
(2)若磁感應強度大小為B=2 T，粒子從x軸上的Q點(未畫出)離開磁場，則OQ間的距離是多少？
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答案　0.90 m　
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帶電粒子在勻強磁場中僅在洛倫茲力作用下做勻速
圓周運動，有qvB=m，得R=，
代入數據得R=0.50 m
過P點作速度v的垂線交x軸于O1點，而=0.50 m=R，
故O1P為軌跡圓弧半徑，O1為軌跡圓弧圓心，
O1O為軌跡圓弧的半徑，故粒子到達Q點時速度方向垂直于x軸，軌跡如圖甲所示。由幾何關系可知OQ=R+Rsin 53°，故OQ=0.90 m。
(3)若粒子不能從x軸上方射出，那么，磁感應強度B的最小值是多少？
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答案　 T
帶電粒子不從x軸射出(如圖乙)，由幾何關系得
OP≥R'+R'sin 37°，R'=，
由以上兩式并代入數據得B'≥ T，
磁感應強度B的最小值是 T。
10.(2023·浙江省高二期末)如圖所示，有帶電粒子從y軸
的M點以初速度v平行于x軸正方向射入磁感應強度為B、
磁場方向垂直坐標平面向外的勻強磁場區域，最后粒子
從x軸上N點射出磁場區域。已知M點坐標為(0，2a)，N
點的坐標為(a，0)，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，粒子的重力不計。求：
(1)帶電粒子的比荷；
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尖子生選練
答案　　
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設粒子做圓周運動的半徑為r，運動軌跡如圖所示
由幾何關系可知r2=a2+(2a-r)2
解得r=
根據qvB=m=
(2)帶電粒子在磁場中運動的時間；
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答案　　
由幾何關系可知，OO'=2a-=a，
則cos θ=，解得θ=53°，
故粒子在磁場中運動軌跡對應的圓心角為127°
粒子在磁場中運動的時間t=·=
(3)若要使帶電粒子從坐標原點離開磁場，可以控制磁場的強弱，則應該使磁場的磁感應強度為多少？
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答案　　
若要使帶電粒子從坐標原點離開磁場，
則粒子運動的半徑為r'=a
根據qvB'=m可得B'=
(4)若磁場只分布在一個矩形區域內，磁感應強度大小和帶電粒子從N點出去的方向不發生變化，求矩形區域的最小面積。
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答案　a2
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面積最小時為圖中虛線圍成的矩形，
設∠OMN=α，因tan α=
則矩形區域的最小面積
S=2rcos α(r-rsin α)=a2。
返回

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