資源簡(jiǎn)介

6.1 平面向量的概念
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量,掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.(數(shù)學(xué)抽象)
2.會(huì)用有向線段、字母表示向量,了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別.(數(shù)學(xué)抽象)
3.理解零向量、單位向量、平行向量(共線向量)、相等向量及向量的模等概念,會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.在日常生活中有很多量,如面積、質(zhì)量、速度、位移等,這些量有什么區(qū)別
2.對(duì)既有大小又有方向的量,如何形象、直觀地將其表示出來
3.“向量就是有向線段,有向線段就是向量”的說法對(duì)嗎
4.向量的模可以為0嗎 可以為1嗎 可以為負(fù)數(shù)嗎
5.(1)平行向量是否一定方向相同 (2)不相等的向量是否一定不平行 (3)與任意向量都平行的向量是什么向量 (4)若兩個(gè)向量在同一直線上,則這兩個(gè)向量一定是什么向量
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)如果||>||,那么>. ( )
(2)若a,b都是單位向量,則a=b. ( )
(3)力、速度和質(zhì)量都是向量. ( )
(4)零向量的大小為0,方向是任意的. ( )
2.下列說法中,正確的有( )個(gè).
①零向量沒有方向;
②向量的模一定是正數(shù);
③與非零向量a共線的單位向量是唯一的.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列說法錯(cuò)誤的是( ).
A.若a=b,則=
B.若a∥b,則a=b
C.若=0,則a=0
D.若e1,e2為單位向量,則=
4.已知A,B,C是不共線的三點(diǎn),向量m與向量是平行向量,與是共線向量,則m= .
【合作探究】
　向量的概念
問題1:請(qǐng)觀察這三個(gè)物理量,它們有什么區(qū)別
問題2:在數(shù)學(xué)中,將以上兩類物理量進(jìn)行抽象得到數(shù)量和向量,請(qǐng)你試著給出這兩個(gè)量的定義.
問題3:說一說向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系.
向量與數(shù)量
(1)向量:在數(shù)學(xué)中,我們把既有 又有 的量叫作向量.
(2)數(shù)量:把只有 沒有 的量稱為數(shù)量,如年齡、長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等都是數(shù)量.
給出下列物理量:①密度;②溫度;③速度;④身高;⑤功;⑥位移.下列說法正確的是( ).
A.①②③是數(shù)量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是數(shù)量,①③⑤是向量
C.①④是數(shù)量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是數(shù)量,③⑥是向量
【方法總結(jié)】解答與向量的概念有關(guān)的問題時(shí),注意向量的大小、方向兩個(gè)要素即可.
給出下列物理量:①時(shí)間;②摩擦力;③角度;④風(fēng)速;⑤壓強(qiáng);⑥頻率.其中可以看成向量的有( )個(gè).
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
　向量的幾何表示及應(yīng)用
問題1:如何表示向量 你是怎么想到的
問題2:線段AB與線段BA是同一條線段,向量與向量是同一個(gè)向量嗎
問題3:說一說向量和有向線段的關(guān)系是什么.
問題4:我們知道向量是一個(gè)二元概念,它的大小如何表示呢
1.具有 的線段叫作有向線段.通常在有向線段的終點(diǎn)畫上箭頭表示它的方向.有向線段包含三個(gè)要素: 、 、 .
2.向量的大小稱為向量的 (或稱模),記作 .長(zhǎng)度為0的向量叫作零向量,記作0.長(zhǎng)度等于 個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫作單位向量.向量也可以用字母a,b,c,…表示.
某考察團(tuán)到校考察,從學(xué)校的教學(xué)樓出發(fā),向北走了1 500 m到達(dá)圖書館,2 h后又從圖書館向南偏東60°方向走了1 000 m到達(dá)食堂,又從食堂向西走了2 000 m到達(dá)操場(chǎng).請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)谋壤弋媹D,用向量表示考察團(tuán)每次的位移.
【方法總結(jié)】向量的兩種表示方法
(1)幾何表示法:先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn).
(2)字母表示法:為了便于運(yùn)算,可用小寫字母a,b,c表示向量,為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì),可用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量,如,,等.
在如圖所示的方格紙上,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c,使|c|=,并說出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么.
　相等向量與共線向量
　　小明預(yù)習(xí)了向量的概念,對(duì)兩個(gè)向量之間的關(guān)系給出如下猜想:
(1)從大小的角度:類比數(shù)量之間有大于、等于、小于的關(guān)系,猜想向量間也有類似的關(guān)系.
(2)從方向的角度:向量可以用有向線段表示,類比直線之間的位置關(guān)系,猜想向量間也有平行、垂直、相交的關(guān)系.
問題1:小明的猜想都是正確的嗎
問題2:向量平行與線段平行有什么區(qū)別和聯(lián)系
1.平行向量:方向 的非零向量叫作平行向量(也叫作共線向量).
向量a,b平行,記作a∥b.
2.相等向量:長(zhǎng)度 且方向 的向量叫作相等向量.
用有向線段表示的向量a與b相等,記作 .
如圖所示,△ABC的三邊均不相等,E,F,D分別是AC,AB,BC的中點(diǎn).
(1)寫出與共線的向量;
(2)寫出模與的模相等的向量;
(3)寫出與相等的向量.
【方法總結(jié)】相等向量與共線向量的探究方法
(1)尋找共線向量:
①找出與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段;
②以各線段兩端點(diǎn)分別為起點(diǎn)、終點(diǎn),寫出所求的共線向量(每條線段對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量).
(2)尋找相等向量:先找與已知向量共線的向量,再找其中方向與已知向量相同、大小與已知向量相等的向量.
如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心.
(1)與的模相等的向量有多少個(gè)
(2)是否存在與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量 若存在,有幾個(gè)
(3)與共線的向量有幾個(gè)
【合作探究】
1.(改編)小明騎電動(dòng)車,在學(xué)校門口以15 km/h的速度向西走了1 h,小華騎自行車,以5 km/h的速度向東北方向走了1 h,則下列說法正確的是( ).
A.小明的速度大于小華的速度
B.小明的位移大于小華的位移
C.小明騎行的路程大于小華騎行的路程
D.以上都不對(duì)
2.設(shè)O是正方形ABCD的中心,則向量,,,是( ).
A.相等向量 B.平行向量
C.有相同起點(diǎn)的向量 D.模相等的向量
3.(改編)下列關(guān)于向量的命題中,是真命題的是( ).
A.若|a|=|b|,則a=b
B.若|a|=|b|,則a∥b
C.若a=b,b=c,則a=c
D.若a∥b,b∥c,則a∥c
4.如圖所示,小正方形的邊長(zhǎng)為1,則||= ,||= ,||= .
參考答案
6.1　平面向量的概念
自主預(yù)習(xí)·悟新知
預(yù)學(xué)憶思
1.面積、質(zhì)量只有大小,沒有方向;而速度和位移既有大小又有方向.
2.利用有向線段來表示.
3.錯(cuò)誤.理由:①向量只有長(zhǎng)度和方向兩個(gè)要素,與起點(diǎn)無關(guān),只要長(zhǎng)度和方向相同,兩個(gè)向量就是相同的向量;②有向線段有起點(diǎn)、長(zhǎng)度和方向三個(gè)要素,兩條有向線段的起點(diǎn)不同,盡管長(zhǎng)度和方向相同,也是不同的有向線段.
4.向量的?？梢詾?,也可以為1,但不可以為負(fù)數(shù).
5.(1)不一定;(2)不一定;(3)零向量;(4)平行(共線)向量.
自學(xué)檢測(cè)
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.A　【解析】①錯(cuò)誤,零向量有方向,它的方向是任意的;②錯(cuò)誤,|0|=0;③錯(cuò)誤,與非零向量a共線的單位向量有兩個(gè),一個(gè)與a同向,一個(gè)與a反向.故選A.
3.B　【解析】對(duì)于A,若a=b,則一定有=,故A正確;對(duì)于B,若a∥b,則只能說明向量a,b共線,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,=0,由零向量的定義,可得a=0,故C正確;對(duì)于D,由單位向量的定義可知,單位向量的模長(zhǎng)都是1,故D正確.故選B.
4.0　【解析】因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以與不共線,又因?yàn)閙∥且m∥,所以m=0.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設(shè)置
問題1:質(zhì)量是標(biāo)量,只有大小沒有方向;重力、力是矢量,既有大小又有方向.
問題2:數(shù)量:只有大小沒有方向的量叫作數(shù)量.向量:既有大小又有方向的量叫作向量.
問題3:向量有兩個(gè)要素:大小、方向.數(shù)量有一個(gè)要素:大小.
向量的大小是數(shù)量.
新知生成
(1)大小　方向　(2)大小　方向
新知運(yùn)用
例1　D　【解析】密度、溫度、身高、功只有大小沒有方向,是數(shù)量;速度、位移既有大小又有方向,是向量.故選D.
鞏固訓(xùn)練　B　【解析】①③⑤⑥不是向量,②④是向量.故選B.
探究2　情境設(shè)置
問題1:向量可以用一條帶著箭頭的線段表示,這種表示方法是從物理中位移的表示里面抽象出來的.
問題2:不是同一個(gè)向量,因?yàn)槠瘘c(diǎn)不同,方向不同.
問題3:它們都是既有大小又有方向的量,有向線段不等同于向量.有向線段的基本要素是起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度;向量的基本要素是大小和方向.我們用有向線段表示向量,用有向線段的方向表示向量的方向,用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,向量與有向線段起點(diǎn)的具體位置無關(guān).
問題4:可以用有向線段的長(zhǎng)度表示.
新知生成
1.方向　起點(diǎn)　方向　長(zhǎng)度
2.長(zhǎng)度　||　1
新知運(yùn)用
例2　【解析】設(shè)比例尺為1∶50 000,如圖,考察團(tuán)的位移表示如下:
向量表示從教學(xué)樓到圖書館的位移;
向量表示從圖書館到食堂的位移;
向量表示從食堂到操場(chǎng)的位移.
鞏固訓(xùn)練　【解析】向量c如圖所示,由平面幾何知識(shí)可知,向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心,為半徑的圓.
探究3　情境設(shè)置
問題1:不全是正確的,向量沒有大小關(guān)系.數(shù)量有大小而沒有方向,其有正數(shù)、負(fù)數(shù)和0之分,既可以進(jìn)行運(yùn)算,又可以比較大小;向量的模是正數(shù)或0,如圖1、圖2所示,向量a和b不能比較大小,|a|>|b|有意義,而a>b沒有意義,所以不能說a>b.
問題2:任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上,而線段不能.若線段共線,則它們一定在同一條直線上;若線段平行,則它們不能在同一條直線上.
新知生成
1.相同或相反
2.相等　相同　a=b
新知運(yùn)用
例3　【解析】(1)因?yàn)镋,F分別是AC,AB的中點(diǎn),
所以EF∥BC,EF=BC.
又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn),
所以與共線的向量有,,,,,,.
(2)模與的模相等的向量有,,,,.
(3)與相等的向量有,.
鞏固訓(xùn)練　【解析】(1)與的模相等的向量共有23個(gè).
(2)存在.由正六邊形的性質(zhì)可知,BC∥OA∥EF,所以與的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有,,,,共4個(gè).
(3)由(2)知,BC∥OA∥EF,又線段OD,AD與OA在同一條直線上,所以與共線的向量有,,,,,,,,,共9個(gè).
隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)
1.C　【解析】速度、位移是向量,既有大小又有方向,不能比較大小,路程可以比較大小,小明騎行的路程大于小華騎行的路程.
2.D　【解析】
如圖,,,,既不全是相等向量,也不全是平行向量,起點(diǎn)也不全相同,故A,B,C錯(cuò)誤;
而||=||=||=||,故D正確.
故選D.
3.C　【解析】對(duì)于A,若|a|=|b|,則a,b不一定相等,因?yàn)橄蛄考扔写笮?又有方向,|a|=|b|只能說明向量的大小相等,不能說明方向相同,故A為假命題;
對(duì)于B,若|a|=|b|,則a,b不一定平行,故B為假命題;
對(duì)于C,若a=b,b=c,則a=c,故C為真命題;
對(duì)于D,b=0,a,c都是非零向量顯然滿足a∥b,b∥c,但是不一定滿足a∥c,故D為假命題.故選C.
4.3　　2　【解析】由題意可知,||==3,
||==,
||==2.

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