資源簡介

8.2 立體圖形的直觀圖
【學習目標】
1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.(邏輯推理)
2.會用斜二測畫法畫常見的柱體、錐體、臺體、球體以及簡單組合體的直觀圖.(直觀想象)
【自主預習】
1.直觀圖與立體圖形一定相同嗎
2.空間幾何體的直觀圖中實線和虛線分別表示什么意思
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段,原來互相垂直的線段仍互相垂直. ( )
(2)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段,原來平行的線段仍平行. ( )
(3)菱形的直觀圖為菱形. ( )
(4)梯形的直觀圖不是梯形. ( )
3.水平放置的正方形ABCD的直觀圖如圖所示,在直觀圖中,A'B'與C'D'有何關系 A'D'與B'C'呢 在原圖與直觀圖中,AB與A'B'相等嗎 AD與A'D'呢
4.正方體ABCD-A1B1C1D1的直觀圖如圖所示,在此圖形中各個面都畫成正方形了嗎
2.某一平面圖形的直觀圖如圖所示,則此平面圖形可能是圖中的( ).
A　　　　 　B　　 　　C　　 　　D
3.如圖,在平面直角坐標系中,已知A(1,0),B(-1,2),C(-1,0),D(1,-2),則四邊形ABCD的直觀圖的面積為( ).
A.4
B.3
C.2
D.
4.畫出如圖所示的水平放置的正方形的直觀圖(畫在原圖上).
【合作探究】
　用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖
問題1:矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀 根據這個例子,你能得出什么結論
問題2:你能畫水平放置的正方形的直觀圖嗎
問題3:你能總結一下畫水平放置的正方形的直觀圖的規則嗎
1.斜二測畫法
我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的 畫法.
2.平面圖形直觀圖的畫法及要求
畫水平放置的正五邊形的直觀圖.
【方法總結】畫平面圖形的直觀圖的技巧:(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,選取恰當的坐標系是關鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上,以便于畫點;(2)畫平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變),與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點,然后連接成線段.
畫出下圖所示的水平放置的直角梯形的直觀圖.
　空間幾何體的直觀圖的畫法
已知正六棱錐P-ABCDEF.
問題1:如何畫正六棱錐的直觀圖呢
問題2:空間幾何體的直觀圖唯一嗎
空間幾何體的直觀圖的畫法
(1)與畫平面圖形的直觀圖相比,只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的 軸,直觀圖中與之對應的是 軸;
(2)平面 表示水平平面,平面 和 表示豎直平面;
(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中 和 都不變;
(4)去掉輔助線,將被遮擋的部分改為 ,成圖.
畫正六棱柱(底面是正六邊形,側棱垂直于底面)的直觀圖.(底面邊長尺寸不作要求,側棱長為1.5 cm)
【方法總結】畫空間幾何體的直觀圖的基本原則:(1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時,圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應分別畫成平行于x'軸、y'軸、z'軸的線段;(2)平行于x軸、z軸(或在x軸、z軸上)的線段在直觀圖中長度保持不變,平行于y軸的線段長度變為原來的.
某簡單組合體由上、下兩部分組成,下部分是一個圓臺(上底面面積大于下底面面積),上部分是一個圓錐,并且圓錐的底面與圓臺的上底面重合,用斜二測畫法畫出這個組合體的直觀圖.
　直觀圖的還原與計算
如圖,△A'B'C'是用斜二測畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖.
問題1:能否判斷△ABC的形狀
問題2:若C'A'=4,C'B'=2,則△A'B'C'與△ABC的面積分別是多少
問題3:探究平面多邊形的面積S1與其用斜二測畫法畫出的直觀圖的面積S2之間的關系.
1.直觀圖的還原技巧
由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x'軸、y'軸平行的直線或線段,且平行于x'軸的線段還原時長度不變,平行于y'軸的線段還原時變為直觀圖中相應線段長的2倍,由此確定圖形的各個頂點,順次連接即可.
2.直觀圖與原圖形面積之間的關系
若一個平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S',則有S'=S.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.
如圖,△A'B'C'是用斜二測畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖,D'是B'C'的中點,且A'D'∥y'軸,B'C'∥x'軸,A'D'=2,B'C'=2,那么下列結論正確的是( ).
A.AD>AC
B.S△ABC=4
C.S△A'B'C'=2
D.∠ABC=
【方法總結】平面多邊形與其直觀圖的面積之間的用關系
若一個平面多邊形的面積為S原,用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為S直,則S直=S原.
用斜二測畫法得到的一個水平放置的平面圖形OABC的直觀圖為如圖所示的直角梯形O'A'B'C',梯形O'A'B'C'的上底長是下底長的,若原平面圖形OABC的面積為3,則O'A'的長為( ).
A.2 B. C. D.
【隨堂檢測】
1.關于斜二測畫法所得的直觀圖,以下說法正確的是( ).
A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形
B.正方形的直觀圖為平行四邊形
C.梯形的直觀圖不是梯形
D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形
2.如圖,△O'A'B'是利用斜二測畫法所得的水平放置的△OAB的直觀圖,A'O'=6,B'O'=2,則線段AB的長度為( ).
A.2 B.4 C.2 D.4
3.利用斜二測畫法所得的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示,已知A'C'=3,B'C'=2,則AB邊上的中線的實際長度為 .
4.用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4,3,2的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.
參考答案
8.2　立體圖形的直觀圖
自主預習·悟新知
預學憶思
1.不一定相同.空間幾何體的直觀圖是在平行投影下畫出的平面圖形.
2.在用斜二測畫法畫立體圖形時,實線表示看得見的部分,虛線表示看不見(被遮擋)的部分.
3.A'B' C'D',A'D' B'C',A'B'=AB,A'D'=AD.
4.沒有都畫成正方形.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.C　【解析】由斜二測畫法的概念知,C正確.
3.D　【解析】依
題意,四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BC=2,BC∥Oy.
如圖,△A'B'C'是△ABC的直觀圖,A'C'=AC=2,B'C'=BC=1,B'C'∥O'y',
所以四邊形ABCD的直觀圖的面積S=2S△A'B'C'=2×·A'C'·B'C'×sin 45°=.
4.【解析】該正方形的直觀圖如圖中虛線部分所示.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:平行四邊形.若一個矩形垂直于投影面,投影線不垂直于投影面,則矩形的平行投影是一個平行四邊形.
問題2:能.如圖所示.
已知圖形　　　　　直觀圖　　
問題3:能.規則:畫軸,橫不變,縱減半,平行關系不改變.
新知生成
1.平行投影
新知運用
例1　【解析】(1)建立如圖1所示的平面直角坐標系xOy,再建立如圖2所示的坐標系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在圖1中作BG⊥x軸于點G,EH⊥x軸于點H,在坐標系x'O'y'中作O'H'=OH,O'G'=OG,O'A'=OA,O'F'=OF.過F'作C'D'∥x'軸,且C'F'=CF,F'D'=FD.在坐標系x'O'y'中,過點G'作G'B'∥y'軸,且G'B'=GB,過點H'作H'E'∥y'軸,且H'E'=HE.連接A'B',B'C',C'D',D'E',E'A',如圖2所示.
(3)擦去輔助線,得五邊形A'B'C'D'E'為正五邊形ABCDE的直觀圖,如圖3所示.
鞏固訓練　【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底邊OB所在直線為x軸,垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標系,如圖1所示.
　　　　圖1　　　　　　　　圖2　　　　　　　圖3
(2)畫相應的x'軸和y'軸,使∠x'O'y'=45°,在x'軸上截取O'B'=OB,在y'軸上截取O'D'=OD,過點D'作x'軸的平行線l,在l上沿x'軸正方向取點C'使得D'C'=DC,連接B'C',如圖2所示.
(3)擦去輔助線,所得四邊形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直觀圖,如圖3所示.
探究2　情境設置
問題1:先畫正六棱錐P-ABCDEF的底面的直觀圖,再畫正六棱錐的高的直觀圖,然后連接得圖形.
問題2:不唯一.作直觀圖時,由于選軸的不同,畫出的直觀圖也不同.
新知生成
(1)z　z'　(2)x'O'y'　y'O'z'　x'O'z'　(3)平行性　長度　(4)虛線
新知運用
例2　【解析】(1)畫軸.如圖1,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)畫底面.根據x軸、y軸,畫正六邊形的直觀圖ABCDEF.
(3)畫側棱.過A,B,C,D,E,F各點分別作z軸的平行線,在這些平行線上分別截取線段AA',BB',CC',DD',EE',FF',使其都等于1.5 cm.
(4)成圖.順次連接A',B',C',D',E',F',并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到了正六棱柱的直觀圖,如圖2.
鞏固訓練　【解析】畫直觀圖時,我們可以先畫出下部分的圓臺,再畫出上部分的圓錐.
(1)畫軸.如圖1,畫x軸、y軸、z軸,使∠xOy=45°.
(2)畫圓臺的兩底面.利用斜二測畫法,畫出底面圓O,在z軸上截取OO',使OO'等于圓臺的高度,過O'作Ox的平行線O'x',Oy的平行線O'y',利用x'軸與y'軸畫出上底面圓O'(與畫圓O一樣).
(3)畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P,使PO'等于圓錐的高度.
(4)成圖.連接PA',PB',A'A,B'B,并擦去輔助線,將被遮擋的部分改為虛線,整理得到幾何體的直觀圖,如圖2.
探究3　情境設置
問題1:能.根據斜二測畫法規則知,∠ACB=90°,故△ABC為直角三角形.
問題2:△A'B'C'的面積S△A'B'C'=×4×2sin =2.原圖形△ABC是等腰直角三角形,其面積S△ABC=×4×4=8.
問題3:先研究三角形,它的直觀圖仍為三角形,且底邊長度不變,高變為原來的sin 45°=,所以S2=S1.　(*)對于四邊形、五邊形等多邊形,可以分解成(n-2)個三角形,每個小三角形的面積與其直觀圖的面積都滿足(*),所以它們的面積總和仍舊滿足S2=S1.
新知運用
例3　B　【解析】根據題意,可知原平面圖形為等腰三角形,其中AD⊥BC,AD=2A'D'=4,BC=B'C'=2.
因為△ADC是直角三角形,∠ADC=90°,所以AD原平面圖形的面積S△ABC=BC·AD=×2×4=4,選項B正確;
S△A'B'C'=S△ABC=×4=,選項C錯誤;
在Rt△ABD中,AD=4BD,且AD⊥BD,tan∠ABC=4>1,所以∠ABC>,選項D錯誤.
鞏固訓練　D　【解析】設O'A'=x,可得O'B'=x,則OB=2O'B'=2x,BC=B'C'=,OA=O'A'=x,且OB為原圖形中梯形的高,所以平面圖形OABC的面積S=x+×2x=3,解得x=.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】由斜二測畫法的規則可知,只有B正確.
2.C　【解析】由題意得,△OAB是直角三角形,兩條直角邊分別為OA,OB,且OA=6,OB=4,
所以AB====2.
3.2.5　【解析】由直觀圖知,原平面圖形為Rt△ACB,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,計算得AB=5,故所求中線的長為2.5.
4.【解析】(1)畫軸.如圖1,畫x軸、y軸、z軸,三條軸相交于點O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)畫底面.以O為中點,在x軸上取線段MN,使MN=4;在y軸上取線段PQ,使PQ=.分別過點M和點N作y軸的平行線,過點P和點Q作x軸的平行線,設它們的交點分別為A,B,C,D,則四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.
(3)畫側棱.過點A,B,C,D分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取長為2的線段AA',BB',CC',DD'(其中點A',B',C',D'在平面ABCD的上方).
(4)成圖.順次連接A',B',C',D',并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),可得到長方體的直觀圖,如圖2.

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