資源簡介

6.2 課時2 向量的減法運算
【學習目標】
1.理解相反向量的含義、向量減法的意義及向量減法法則.(數學抽象)
2.掌握向量減法的幾何意義.(直觀想象)
3.能熟練地進行向量的加、減綜合運算.(數學運算)
【自主預習】
1.實數a的相反數為-a,向量a與-a的關系應叫作什么
2.向量的減法可否轉化為向量的加法
3.向量減法的三角形法則是什么
4.若a,b是不共線向量,|a+b|與|a-b|的幾何意義分別是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. ( )
(2)向量與是相反向量. ( )
(3)a-b=b-a. ( )
(4)兩個相等向量之差等于0. ( )
2.-++=( ).
A. B. C. D.
3.(多選題)下列各向量運算的結果與相等的有( ).
A.+ B.-
C.- D.-
4.如圖,已知向量a,b,求作a-b.
【合作探究】
　向量的減法運算
如圖所示,已知向量a,b.
問題1:根據向量的加法,如何求作a-b
問題2:不借助向量的加法法則,你能直接作出a-b嗎
1.與向量a長度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量,記作-a.
2.求兩個向量差的運算叫作向量的減法,向量的減法可以轉化為向量的加法進行:減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量,即a-b=a+(-b).
3.向量減法的幾何意義
如圖所示,已知向量a,b,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a-b,
即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量,這就是向量減法的幾何意義.
一、有關向量減法的作圖
如圖所示,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.
【方法總結】求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行,如作向量a-b,可以先作向量-b,然后作向量a+(-b).
(2)可以直接用向量減法的三角形法則,即把兩向量的起點重合,則差向量為連接兩個向量的終點并指向被減向量的終點的向量.
如圖所示,O為△ABC內一點,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
二、向量減法法則的應用
(1)化簡:(-)+(-)= .
(2)如圖,P,Q是△ABC的邊BC上的兩點,且=,則化簡+--的結果為( ).
A.0 B. C. D.
【方法總結】(1)做向量減法運算的常用方法
(2)向量加減法化簡過程中的兩種形式
①首尾相連且為和;
②起點相同且為差.
解題時要注意觀察是否有這兩種形式,同時要注意逆向應用
如圖,已知O為平行四邊形ABCD內一點,=a,=b,=c,則= .
　向量減法幾何意義的應用(知識拓展)
問題1:以向量加法的平行四邊形法則為基礎,能否構造一個圖形將a+b和a-b放在這個圖形中
問題2:已知向量a,b,那么|a|-|b|與|a-b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關系
問題3:在什么條件下,|a-b|=|a|+|b|
(1)在四邊形ABCD中,=,若|-|=|-|,則四邊形ABCD是( ).
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不確定
(2)已知||=6,||=9,求|-|的取值范圍.
【方法總結】用向量法解決平面幾何問題的步驟:(1)將平面幾何問題中的量抽象成向量;(2)化為向量問題,進行向量運算;(3)將向量問題還原為平面幾何問題.
若平面四邊形ABCD滿足+=,BD⊥AC,則該四邊形一定是( ).
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
已知任意兩個向量a和b,則下列式子恒成立的有 .
①|a+b|≥|a|+|b|;②|a-b|≥|a|-|b|;③|a-b|≤|a|+|b|;④|a-b|≤|a|-|b|.
【合作探究】
1.在平行四邊形ABCD中,-=( ).
A. B. C. D.
2.在邊長為1的等邊△ABC中,|-|的值為( ).
A.1 B.2 C. D.
3.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,則|a-b|= .
4.化簡下列各式:
(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
參考答案
課時2　向量的減法運算
自主預習·悟新知
預學憶思
1.相反向量.
2.可以.向量的減法可以轉化為向量的加法,減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.
3.如
果把兩個向量a,b的起點放在一起,那么這兩個向量的差a-b是以向量b的終點為起點,向量a的終點為終點的向量.
這種求差向量的方法叫向量減法的三角形法則,簡記為“共起點,連終點,指被減”.
4.如
圖所示,設=a,=b.根據向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則,有=a+b,=a-b.因為四邊形OACB是平行四邊形,所以|a+b|,|a-b|分別是以OA,OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　【解析】原式=(+)+(+)=+0=.
3.AD　【解析】由題意知,A,D正確.
4.【解析】(1)如圖:
(2)如圖:
(3)如圖:
(4)如圖:
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:先作出-b,再按三角形法則或平行四邊形法則作出a+(-b).
問題2:
能.如圖,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a-b,即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
新知運用
例1　【解析】(法一:幾何意義法)如圖1所示,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=a+b-c.
(法二:定義法)如圖2所示,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=-c,連接OC,則=a+b-c.
鞏固訓練　【解析】(法一)以OB,OC為鄰邊作 OBDC,連接OD,AD,
則=+=b+c,=-=b+c-a.
(法二)作==b,
連接AD,則=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
例2　(1)　(2)A　【解析】(1)原式=++-=+-=.
(2)+--=(-)+(-)=+=-=0.
鞏固訓練　a+c-b　【解析】由已知得=,
則=+=+=+-=a+c-b.
探究2　情境設置
問題1:能.如
圖所示,在平行四邊形ABCD中,=a,=b,則a+b=,a-b=.
問題2:它們之間的大小關系為||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
問題3:a,b至少有一者為0或a,b均為非零向量且方向相反.
新知運用
例3　(1)B　【解析】(1)∵=,∴四邊形ABCD為平行四邊形,又∵|-|=|-|,∴||=||,即平行四邊形ABCD的對角線相等,∴四邊形ABCD為矩形.
(2)∵|||-|||≤|-|≤||+||,
且||=9,||=6,∴3≤|-|≤15.
當與同向時,|-|=3;
當與反向時,|-|=15.
∴|-|的取值范圍為[3,15].
鞏固訓練1　B　【解析】因為+=,所以=-=,
即AB=DC,AB∥DC,
所以平面四邊形ABCD為平行四邊形.
因為BD⊥AC,即平行四邊形的對角線互相垂直,
所以平面四邊形ABCD為菱形.
故選B.
鞏固訓練2　②③　【解析】①根據向量加法的三角形法則,得|a+b|≤|a|+|b|,則①不恒成立;
②根據向量減法的三角形法則,得|a-b|≥|a|-|b|,故②恒成立,④不恒成立;
③根據向量減法的三角形法則,得|a-b|≤|a|+|b|,故③恒成立.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】-==.
2.D　【解析】如圖,作菱形ABCD,則|-|=|-|=||=.
3.13　【解析】∵||=12,||=5,∠AOB=90°,
∴||2+||2=||2,∴||=13.
∵=a,=b,∴a-b=-=,
∴|a-b|=||=13.
4.【解析】(1)(-)-(-)=+-(+)=-=+=.
(2)(++)-(--)=(+)-(++)=-(+)=-=0。6.2 課時3 向量的數乘運算
【學習目標】
1.掌握向量數乘的定義并理解其幾何意義.(直觀想象)
2.理解向量數乘的運算律.(數學抽象)
3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.(直觀想象、邏輯推理)
4.理解并掌握向量共線定理及其判定方法.(邏輯推理)
【自主預習】
1.向量數乘的定義是什么 λa的方向和長度是如何規定的
2.向量的數乘運算滿足哪三條運算律
3.向量共線定理是怎樣表述的
4.向量的線性運算是指哪三種運算
5.若a=m-n,b=-2m+2n,則a,b有何關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)實數λ與向量a的積還是向量. ( )
(2)3a與a的方向相同,-3a與a的方向相反. ( )
(3)若ma=mb,則a=b. ( )
(4)在向量共線定理中,條件a≠0可以去掉. ( )
2.下列運算中,正確的個數是( ).
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如圖,已知AM是△ABC的邊BC上的中線,若=a,=b,則=( ).
A.(a-b) B.-(a-b)
C.(a+b) D.-(a+b)
4.對平面內任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是( ).
A.a=b　　　B.a=-b　　　C.b=λa　　　D.a=λb
【合作探究】
　向量的數乘運算
一物體做勻速直線運動,前進1秒鐘產生的位移對應的向量為a,在同一方向上前進3秒鐘產生的位移對應的向量是3a嗎 在其反方向上運動3秒鐘產生的位移對應的向量又是多少
問題1:請回答情境中的問題.
問題2:從長度和方向上分析,向量3a,-3a與a具有怎樣的關系
問題3:λa的幾何意義是什么
向量數乘的定義
一般地,我們規定實數λ與向量a的積是一個 ,這種運算叫作向量的數乘,記作 ,λa的長度和方向規定如下:
(1)|λa|= .
(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向 ;當λ<0時,λa的方向與a的方向 .
已知在平行四邊形ABCD中,E為邊AD的中點,AC與BE相交于點F,若=x+y,則( ).
A.x=,y=- B.x=,y=-
C.x=,y=- D.x=,y=-
【方法總結】利用向量數乘的幾何意義,畫出圖形并結合圖形的性質求解.
在平行四邊形ABCD中,E為BC的中點,記=a,=b,則=( ).
A.a+b B.a+b
C.a-b D.a-b
　向量數乘的運算律
已知向量a,有以下三個結論:
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
問題:請通過作圖判斷以上結論是否成立.
1.向量數乘的運算律:設λ,μ為任意實數,則
(1)λ(μa)= ;
(2)(λ+μ)a= ;
(3)λ(a+b)= .
特別地,有(-λ)a= = ,
λ(a-b)= .
2.線性運算:向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算,向量線性運算的結果仍是向量.對于任意向量a,b以及任意實數λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= .
(1)若a=2b+c,則3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=( ).
A.-a B.-b
C.-c D.以上都不對
(2)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,則x= .
【方法總結】(1)向量線性運算的基本方法是類比法:向量的數乘運算類似于代數多項式的運算,例如,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”是指向量,實數看作向量的系數.
(2)向量也可以通過列方程來求解,把所求向量當作未知數,利用解方程的方法求解,同時在運算過程中注意多觀察,恰當地運用運算律,簡化運算.
若向量a,b滿足(3a-2c)+4c-b+(a+6b)=0,則c= .
　向量共線定理及其應用
問題1:引入向量的數乘運算后,你能發現實數與向量的積與原向量之間的位置關系嗎
問題2:對于向量a,b,如果有一個實數λ,使b=λa(a≠0),那么a與b共線嗎
問題3:如果向量b與非零向量a共線,b=λa成立嗎 此時的λ是否唯一
問題4:為什么要強調a≠0
　　向量a(a≠0)與b共線的充要條件:存在唯一一個實數λ,使b=λa.
設a,b是不共線的兩個向量.
(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求證:A,B,C三點共線.
(2)若8a+kb與ka+2b共線,求實數k的值.
【方法總結】(1)一般來說,要判定A,B,C三點是否共線,只需看是否存在實數λ,使得=λ(或=λ).
(2)已知不共線的向量a,b滿足λa+μb=0,則必有λ=μ=0.
設向量e1,e2不共線,=e1+2e2,=2e1+8e2,=e1-2e2.
(1)求證:A,B,D三點共線.
(2)試確定實數k,使ke1+4e2和e1+ke2共線.
【合作探究】
1.(a+2b)+2(a-b)=( ).
A.2a B.3a C.-b D.0
2.(改編)(多選題)已知平面向量a,b不共線,=4a+6b,=-a+3b,=a-3b,則( ).
A.A,B,C三點共線 B.A,B,C三點不共線
C.B,C,D三點共線 D.B,C,D三點不共線
3.已知向量a與b不共線,且3a-λb與λa-2b共線,則λ= .
4.設向量a,b不共線.
(1)若=a+2b,=-3(a-b),=-2a-13b,求證:A,B,D三點共線.
(2)若ka+12b與3a+kb共線,求k的值.
參考答案
課時3　向量的數乘運算
自主預習·悟新知
預學憶思
1.規定實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫作向量的數乘.λa的長度與方向規定如下:(1)|λa|=|λ||a|.(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反;當λ=0時,λa=0.
2.設λ,μ為實數,則(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.
3.向量a(a≠0)與b共線的充要條件:存在唯一一個實數λ,使b=λa.
4.向量的加法運算、減法運算和數乘運算.
5.因為b=-2a,所以a與b平行.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.C　【解析】根據向量數乘運算和加減運算規律知①②正確;③中,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,所以③錯誤.所以運算正確的個數為2.
3.C　【解析】因為M是BC的中點,所以=(a+b).
4.D　【解析】對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是a=λb.故選D.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:類比數的運算,前進3秒鐘產生的位移是3a,反向運動3秒鐘產生的位移是-3a.
問題2:3a的長度是a的長度的3倍,它的方向與向量a的方向相同.-3a的長度是a的長度的3倍,它的方向與向量a的方向相反.
問題3:λa的幾何意義是將表示向量a的有向線段,沿著a的方向或a的反方向伸長至原來的倍或壓縮至原來的|λ|.
新知生成
向量　λa　(1)|λ||a|　(2)相同　相反
新知運用
例1　C　【解析】如
圖所示,∵AD∥BC,E為邊AD的中點,△AEF∽△CBF,∴==,
∴AF=AC,
∴=+=-+,
∴x=,y=-.
鞏固訓練　C　【解析】=+=+=a,?、?br/>=+=-=b,?、?br/>①-②得=a-b,①+②得2=a+b,
所以=+=a-b+a+b=a-b.
探究2　情境設置
問題:各式均是成立的(如圖1、圖2).
圖1
圖2
新知生成
1.(1)(λμ)a　(2)λa+μa　(3)λa+λb　λ(-a)　-(λa)　λa-λb
2.λμ1a±λμ2b
新知運用
例2　(1)C　(2)4b-3a　【解析】(1)原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c.
(2)由已知,得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
鞏固訓練　-6a-6b　【解析】因為(3a-2c)+4c-b+(a+6b)=a-c+c-4b+a+6b=2a+2b+c=0,所以c=-2a-2b,即c=-6a-6b.
探究3　情境設置
問題1:實數與向量的積與原向量共線.
問題2:由向量數乘的定義得λa的方向與a的方向相同或者相反,因此λa與a共線,即a與b共線.
問題3:如果向量b與非零向量a共線,那么向量b的長度與非零向量a的長度之間存在μ倍的關系,且μ唯一,即|b|=μ|a|.當a與b同方向時,有b=μa;當a與b反方向時,有b=-μa.因此,存在唯一的λ,使b=λa成立.
問題4:當a=0時,不論λ取何值,λa都為0,此時,如果|b|=0,那么λ有無數個值;如果|b|≠0,那么λ無解.因此當a=0時,無法說明λ存在且唯一這個特點.
新知運用
例3　【解析】(1)∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,
且=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,
∴與共線,又直線AB,BC有公共點B,∴A,B,C三點共線.
(2)易知ka+2b≠0,∵8a+kb與ka+2b共線,
∴存在實數λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a與b不共線,∴
解得λ=±2,∴k=2λ=±4.
鞏固訓練　【解析】(1)因為=e1+2e2,=2e1+8e2,=e1-2e2,
所以=+=3e1+6e2=3(e1+2e2)=3,所以∥,
因為直線AB,BD有公共點B,所以A,B,D三點共線.
(2)易知e1+ke2≠0,因為ke1+4e2和e1+ke2共線,所以存在實數λ,使得ke1+4e2=λ(e1+ke2),
因為向量e1,e2不共線,所以解得k=±2.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】原式=a+2b+2a-2b=3a.
2.BC　【解析】因為=4a+6b,=-a+3b,
顯然不存在實數t,使得=t,
所以A,B,C三點不共線,故A錯誤,B正確;
因為=-a+3b,=a-3b,所以=-,即存在實數m,使得=m,
又直線BC與CD有公共點C,
所以B,C,D三點共線,故C正確,D錯誤.
故選BC.
3.±　【解析】易知λa-2b≠0,因為3a-λb與λa-2b共線,所以存在唯一的實數μ,使3a-λb=μ(λa-2b),即3a-λb=λμa-2μb,
因為向量a與b不共線,所以解得λ=±.
4.【解析】(1)因為=+=-3(a-b)-2a-13b=-5a-10b=-5(a+2b)=-5,
又直線AB與BD有公共點B,所以A,B,D三點共線.
(2)易知3a+kb≠0,因為ka+12b和3a+kb共線,
所以存在實數λ,使得ka+12b=λ(3a+kb),
又向量a,b不共線,
所以解得k=±6.6.2 課時1 向量的加法運算
【學習目標】
1.掌握向量加法的運算法則及運算律.(數學抽象、數學運算)
2.理解向量加法的運算法則、運算律的幾何意義.(直觀想象)
【自主預習】
1.如何使用向量加法的三角形法則
2.(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立嗎
3.當向量a與b共線時,a+b=b+a仍然成立嗎
4.|a+b|與|a|,|b|之間有什么關系
5.向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區別與聯系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)a+0=a. ( )
(2)|a+b|=|a|+|b|. ( )
(3)兩個向量的和可能是數量. ( )
(4)=++. ( )
2.++=( ).
A. B.
C. D.
3.在四邊形ABCD中,=+,則( ).
A.四邊形ABCD一定是矩形
B.四邊形ABCD一定是菱形
C.四邊形ABCD一定是正方形
D.四邊形ABCD一定是平行四邊形
4.已知向量a表示“向東航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,則a+b表示 .
【合作探究】
　向量的加法及幾何意義
物理中有共點力平衡,用兩個力F1和F2拉的效果和用一個力F拉的效果是一樣的.
問題1:F能不能稱為F1和F2的合力呢
問題2:它們之間有什么關系
1.向量加法的定義
求兩個向量和的運算,叫作向量的加法.
2.向量求和的法則
向量求和的法則 三角形 法則 已知非零向量a,b,在平面內任取一點A,作=a,=b,則向量叫作a與b的和,記作a+b,即a+b=+=. 這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則
平行四邊 形法則 如圖,有以同一點O為起點的兩個已知向量a,b,以OA,OB為鄰邊作 OACB,則以O為起點的向量就是向量a與b的和.把這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則
位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型,力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型.
一、求作向量的和
(1)如圖1,利用向量加法的三角形法則作出a+b;
(2)如圖2,利用向量加法的平行四邊形法則作出a+b.
【方法總結】應用三角形法則和平行四邊形法則應注意的問題
(1)三角形法則可以推廣到n個向量求和,作圖時要求“首尾相連”,即n個首尾相連的向量的和是第一個向量的起點指向第n個向量的終點的向量;
(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和,作圖時要求兩個向量的起點重合;
(3)求作三個或三個以上的向量的和時,用三角形法則更簡單.
如圖所示,已知向量a,b,c不共線,作向量a+b+c.
二、向量加法的實際應用
河水自西向東流動的速度大小為10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在靜水中的速度大小為10 km/h,求小船的實際航行速度.
【方法總結】應用向量解決實際問題的基本步驟
(1)建模:用向量表示有關量,將所要解答的實際問題轉化為向量問題.
(2)運算:應用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則,對有關向量進行運算,解答向量問題.
(3)還原:根據向量的運算結果,結合向量共線、相等等概念還原實際問題.
如圖,用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B處所受力的大小.(繩子的重量忽略不計)
　向量的模的性質
問題:兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎
1.對于零向量與任意向量a,我們規定a+0=0+a=a.
2.|a+b|,|a|,|b|之間的關系
一般地,|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a,b方向相同時,等號成立.
證明:對于任意給定的向量a,b,均有|a+b|≤|a|+|b|.
【方法總結】本題考查利用圖形證明有關結論,證明時需注意:(1)平面中兩個向量的位置關系有共線與不共線兩種,共線又有同向共線和反向共線兩種,各種情況都得考慮;(2)不能忽視等號成立的條件,否則會由于證明過程不全面而出現錯誤.
已知非零向量a,b,|a|=8,|b|=5,則|a+b|的最大值為 .
　向量的運算律
實數的加法滿足交換律,向量的加法是否也滿足呢
問題:根據圖中的平行四邊形ABCD,驗證向量加法是否滿足交換律.(注:=a,=b)
向量加法的運算律
(1)交換律:a+b=b+a.
(2)結合律:(a+b)+c=a+(b+c).
注意:由于向量的加法滿足交換律與結合律,因此,多個向量的加法運算就可以按照任意的次序與組合來進行.
例如,(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)=(a+d)+(b+c).
化簡:
(1)(+)+(+);
(2)++++.
【方法總結】向量加法運算律的意義和應用原則
(1)意義:向量加法的運算律為多個向量相加提供了運算依據,讓多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
(2)應用原則:運用向量加法的交換律和結合律時,構造向量間的“首尾相接”是基本原則.
如圖,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,化簡下列各式:
(1)++;
(2)+++.
【合作探究】
1.下列等式不正確的是( ).
①a+(b+c)=(a+c)+b;
②+=0;
③=++.
A.②③ B.② C.① D.③
2.如圖,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,對角線AC與BD相交于點O,則+++=( ).
A. B.
C. D.
3.(多選題)已知a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則( ).
A.a∥b,且a與b的方向相同
B.a,b是共線向量
C.a+b=0
D.a,b無論什么關系均可
4.某小船發動機突然發生故障停止轉動,失去動力的小船在水中漂行,此時,風向是北偏東30°,風速大小是30 km/h,水的流向是正東方向,流速大小是30 km/h.若不考慮其他因素,小船在水中漂行的速度的方向是北偏東 ,大小是 km/h.
參考答案
6.2　平面向量的運算
課時1　向量的加法運算
自主預習·悟新知
預學憶思
1.先把兩個向量首尾順次相接,然后連接前一個向量的起點和后一個向量的終點,并指向后一個向量的終點,就得到兩個向量的和向量.
2.成立.
3.成立.
4.當a與b同向共線時,a+b與a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.當a與b反向共線時,若|a|>|b|,則a+b與a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,則a+b與b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|.當a與b不共線時,|a+b|<|a|+|b|.
5.向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別:①三角形法則中強調“首尾相連”,平行四邊形法則中強調的是“共起點”;②三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和,而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和.聯系:當兩個向量不共線時,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統一的.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.C　【解析】根據平面向量加法的交換律,得++=(+)+=+=.
3.D　【解析】由=+知,=,所以A,B,C,D四點構成的四邊形一定是平行四邊形.
4.向東南方向航行3 km　【解析】根據題意,向量a表示“向東航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,則a+b表示“向東南方向航行3 km”.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:F能稱為F1和F2的合力.
問題2:F=F1+F2.
新知運用
例1　【解析】(1)如圖3,設=a,因為a與b有公共點A,所以過A點作=b,連接OB,則=a+b.
(2)如圖4,設=a,過O點作=b,以OA,OB為鄰邊作 OACB,連接OC,則=+=a+b.
鞏固訓練　【解析】(法一:三角形法則)如圖1,在平面內作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=a+b+c.
(法二:平行四邊形法則)如圖2,在平面內作=a,=b,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB,則=a+b,再作=c,以OD,OC為鄰邊作平行四邊形ODEC,則=a+b+c.
例2　【解析】設
a,b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度,如圖,過平面內一點O作=a,=b,以OA,OB為鄰邊作矩形OACB,連接OC,則a+b=,即表示小船的實際航行速度.
由題意得|a+b|=||====20,
tan∠AOC==,∴∠AOC=60°,
∴小船沿北偏東30°的方向航行,實際航行的速度大小為20 km/h.
鞏固訓練　【解析】如圖所示,設,分別表示A,B處所受的力,物體的重力用表示,則+=.
由題意可得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°,
則||=||cos 30°=10×=5,||=||cos 60°=10×=5.
故A處所受的力為5 N,B處所受的力為5 N.
探究2　情境設置
問題:不是,向量相加的結果是向量,而模相加的結果是數量.
新知運用
例3　【解析】(1)若a,b中有一個為0,則結論顯然成立.
(2)若a,b都不是0,設=a,=b,則=a+b.
①當a,b不共線時,由三角形的性質知,
||<||+||,即|a+b|<|a|+|b|,如圖1;
②當a,b共線且同向時,||=||+||,即|a+b|=|a|+|b|,如圖2;
③當a,b共線且反向時,易知|a+b|<|a|+|b|.
綜上,|a+b|≤|a|+|b|.
鞏固訓練　13　【解析】因為|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a,b方向相同時,等號成立,所以|a+b|的最大值為13.
探究3　情境設置
問題:∵=+,∴=a+b.
∵=+,∴=b+a,∴a+b=b+a.
故向量加法滿足交換律.
新知運用
例4　【解析】(1)(法一)(+)+(+)=(+)+(+)=+=.
(法二)(+)+(+)=+(++)=+0=.
(2)++++=(+)+(++)=+=0.
鞏固訓練　【解析】(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】②錯誤,+=0;①③正確.
2.B　【解析】+++=+++=++=+=.
3.AB　【解析】當兩個非零向量a與b不共線時,a+b的方向與a,b的方向都不相同,則|a+b|<|a|+|b|;當向量a與b同向時,a+b的方向與a,b的方向都相同,則|a+b|=|a|+|b|;當向量a與b反向且|a|<|b|時,a+b的方向與b的方向相同(與a的方向相反),則|a+b|=|b|-|a|.故選AB.
4.60°　30　【解析】如圖,風速大小是30 km/h,即||=30,
水的流速大小是30 km/h,即||=30,則小船速度的大小為||,
由題可知,四邊形OACB為菱形,且∠AOB=60°,
所以∠BOC=30°,
所以小船在水中漂行的速度的方向是北偏東60°,大小為30 km/h.6.2 課時4 向量的數量積
【學習目標】
1.了解向量數量積的物理背景,即物體在力F的作用下產生位移s所做的功.(數學抽象)
2.掌握向量數量積的定義及投影向量.(數學運算)
3.會用兩個向量的數量積求兩個向量的夾角以及判斷兩個向量是否垂直.(邏輯推理、數學運算)
4.掌握向量數量積的運算律及常用的公式.(數學運算)
【自主預習】
1.什么是向量的夾角
2.數量積的定義是什么
3.對于兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,其數量積a·b何時為正數 何時為負數 何時為零
4.投影向量是如何定義的 a在b上的投影向量與b在a上的投影向量是否相同
5.向量數量積的運算有哪些運算律
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個非零向量的夾角是唯一確定的. ( )
(2)若非零向量a與b共線,則=0°. ( )
(3)(a·b)·c=a·(b·c). ( )
(4)(a·b)2=a2·b2.( )
2.設e1和e2是互相垂直的單位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,則a·b=( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.(多選題)已知兩個單位向量e1,e2的夾角為θ,則下列結論正確的是( ).
A.e1在e2上的投影向量為cos θ e2
B.=
C.(e1+e2)⊥(e1-e2)
D.e1·e2=1
4.已知向量a,b均為單位向量,a·b=,則a與b的夾角為 .
【合作探究】
　兩向量的夾角與向量數量積的定義
如圖,在物理學中,一個物體在力F的作用下產生位移s,那么力F所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F與s的夾角.
問題1:能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結果
問題2:如圖,把向量看成力F,看成位移s,向量,的夾角是否為θ 若不是,又是什么
問題3:向量數量積的運算結果與向量線性運算的結果有什么不同
1.兩向量的夾角
(1)定義:已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作=a,=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a與b的夾角.
(2)①當θ=0時,a與b ;
②當θ=π時,a與b ;
③當θ=時,a與b ,記作a⊥b.
2.平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,把數量|a||b|·cos θ叫作向量a與b的數量積(或內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.特別地,零向量與任何向量的數量積等于 .
注意:
(1)“·”是數量積的運算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”.
(2)數量積的結果為數量,不是向量.
(3)兩個非零向量的數量積的正負由這兩個向量的夾角θ的大小決定:當θ是零角或銳角時,數量積為正;當θ是鈍角或平角時,數量積為負;當θ是直角時,數量積等于零.
已知|a|=2,|b|=3.
(1)若向量a,b的夾角為,求a·b;
(2)若a·b=-1,求向量a,b夾角的余弦值.
【方法總結】求向量的數量積時,若已知向量的模及其夾角,則可直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.運用此法計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角,兩向量的夾角可以直接確定的條件是兩向量的起點必須重合,否則,要先通過平移使兩向量起點重合,再利用公式求解.
已知正三角形ABC的邊長為2,求:
(1)·;(2)·;(3)·.
　投影向量
如圖,線段AB在直線l上的投影如下.
問題1:圖中的線段A1B1叫作什么
問題2:設直線AB與直線l的夾角為θ,那么|A1B1|與|AB|,θ之間有怎樣的關系
1.如圖,設a,b是兩個非零向量,=a,=b,過的起點A和終點B,分別作所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到,這種變換為向量a向向量b投影,叫作向量a在向量b上的 .
2.如圖,在平面內任取一點O,作=a,=b,設與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為θ,過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則= .
特別地,當θ=0時,=|a|e;
當θ=π時,=-|a|e;
當θ=時,=0.
(1)已知|a|=,b為單位向量,a與b的夾角為135°,則a在b上的投影向量的模為( ).
A.- B.-1 C.1 D.
(2)已知|a|=6,e為單位向量,a與e的夾角為,則向量a在向量e上的投影向量為 .
【方法總結】關于平面向量數量積的幾何意義的兩點注意事項
(1)向量a在b所在直線上的投影是一個向量,向量a在b所在直線上的投影向量的模是一個實數;
(2)向量a在向量b上的投影向量的模是|a|·|cos|,向量b在向量a上的投影向量的模是|b|·|cos|,二者不能混為一談.
如圖所示,已知向量a與b,其中|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角θ=150°.
(1)求a·b;
(2)畫圖說明b在a上的投影向量;
(3)求向量b在a上的投影向量的模.
　向量數量積的性質
已知兩個非零向量a,b,θ為a與b的夾角,e為與b方向相同的單位向量.
問題1:根據數量積公式,計算a·e,a·a.
問題2:若a·b=0,則a與b有什么關系
問題3:兩個非零向量的數量積是否可為正數、負數和零 其數量積的符號由什么來決定
設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b =0.
(3)當a與b同向時,a·b= ;
當a與b反向時,a·b= .
特別地,a·a=|a|2或|a|= .
(4)|a·b| |a||b|.
一、求向量的模
已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|= .
二、求向量的夾角
已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,求a與b的夾角.
三、向量的垂直
已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,m與n夾角的余弦值為,若n⊥(tm+n),則實數t的值為( ).
A.4 B.-4 C. D.-
【方法總結】(1)求解向量模的問題就是要靈活應用a2=|a|2,即|a|=,勿忘記開方.
(2)求向量的夾角,主要是利用公式cos θ=求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關系,然后代入求解.
(3)解決有關垂直向量的問題時,利用a⊥b a·b=0(a,b為非零向量).
(2020年全國Ⅰ卷)設a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|= .
已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,(a+2b)⊥(3a-b),求向量a與b夾角的大小.
已知非零向量a,b滿足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)當a·b=-時,求向量a與a+2b的夾角θ的值.
【合作探究】
1.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,=,則a·(a+b)=( ).
A.-2 B.-1
C.0 D.2
2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夾角為30°,則a與b的數量積為( ).
A.2 B.
C.2 D.4
3.(原創)已知單位向量e1,e2,若(2e1-e2)⊥e2,則e1,e2的夾角為 .
4.已知a·b=16,若向量a在b上的投影向量為4b,求|b|.
參考答案
課時4　向量的數量積
自主預習·悟新知
預學憶思
1.已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作=a,=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a與b的夾角.
2.已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,把數量|a||b|cos θ叫作向量a與b的數量積(或內積).
3.當0°≤θ<90°時,a·b>0;當90°<θ≤180°時,a·b<0;當θ=90°時,a·b=0.
4.如
圖,在平面內任取一點O,作=a,=b,過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則就是向量a在向量b上的投影向量.由投影向量的定義可知向量a在向量b上的投影向量與向量b在向量a上的投影向量不相同.
5.(1)a·b=b·a(交換律);
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結合律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　【解析】因為|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.
3.ABC　【解析】因為兩個單位向量e1,e2的夾角為θ,
所以|e1|=|e2|=1,e1在e2上的投影向量為|e1|cos θ e2=cos θ e2,故A正確;
==1,故B正確;
(e1+e2)·(e1-e2)=-=0,
故(e1+e2)⊥(e1-e2),故C正確;
e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故D錯誤.
4.　【解析】設a與b的夾角為θ,由題意知|a|=|b|=1,則cos θ==,又∵0≤θ≤π,∴θ=.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:能.
問題2:不是.向量,的夾角為π-θ.
問題3:數量積的運算結果是一個實數,向量線性運算的結果是一個向量.
新知生成
1.(2)①同向?、诜聪颉、鄞怪?br/>2.0
新知運用
例1　【解析】(1)因為|a|=2,|b|=3,向量a,b的夾角為,
所以a·b=2×3×cos =3.
(2)設向量a,b的夾角為θ,由向量數量積的定義,得cos θ===-,
故向量a,b夾角的余弦值為-.
鞏固訓練　【解析】(1)∵與的夾角為60°,
∴·=||||cos 60°=2×2×=2.
(2)∵與的夾角為120°,
∴·=||||cos 120°=2×2×-=-2.
(3)∵與的夾角為60°,
∴·=||||cos 60°=2×2×=2.
探究2　情境設置
問題1:線段A1B1叫作線段AB在直線l上的投影線段.
問題2:|A1B1|=|AB|cos θ.
新知生成
1.投影向量
2.|a|cos θ e
新知運用
例2　(1)C　(2)-3e　【解析】(1)因為|a|=,b為單位向量,a與b的夾角為135°,
所以a在b上的投影向量的模為|a||cos|=·|cos 135°|=×-=1.故選C.
(2)因為|a|=6,=,
所以向量a在向量e上的投影向量為|a|cos·e=6×-·e=-3e.
鞏固訓練　【解析】(1)a·b=|a||b|cos θ=3×4×cos 150°=12×=-6.
(2)如圖所示,作=a,=b,過點B作直線OA的垂線,垂足為B1,即b在a上的投影向量.
(3)因為|b|cos θ=4×-=-2,所以向量b在a上的投影向量的模為2.
探究3　情境設置
問題1:a·e=|a||e|cos θ=|a|cos θ,
a·a=|a||a|cos 0°=|a|2.
問題2:∵a·b=0,a≠0,b≠0,∴cos θ=0,即θ=90°,故a⊥b.
問題3:可以為正數、負數和零,其符號由兩個非零向量的夾角的大小決定.
當0°≤θ<90°時,兩個非零向量的數量積為正數;
當θ=90°時,兩個非零向量的數量積為零;
當90°<θ≤180°時,兩個非零向量的數量積為負數.
新知生成
(2)a·b　(3)|a||b|　-|a||b|　　(4)≤
新知運用
例3　2　【解析】　(法一)|a+2b|=====2.
(法二:數形結合法)由|a|=|2b|=2知,以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB,如圖,則|a+2b|=||.又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.
例4　【解析】∵(a+2b)·(a-b)=|a|2-2|b|2+a·b=-2,|a|=|b|=2,∴a·b=2.
設a與b的夾角為θ,則cos θ==,
又∵θ∈[0,π],∴θ=.
例5　B　【解析】由題意知,cos===,
所以m·n=|n|2=n2.
易知n·(tm+n)=0,
所以tm·n+n2=0,即tn2+n2=0,所以t=-4.
鞏固訓練1　　【解析】因為a,b為單位向量,所以|a|=|b|=1,
所以|a+b|====1,
解得2a·b=-1,
所以|a-b|===.
鞏固訓練2　【解析】設a與b的夾角為θ,
由已知得(a+2b)·(3a-b)=3a2+5a·b-2b2=3+10cos θ-8=0,
所以cos θ=,又0°≤θ≤180°,
所以θ=60°,即a與b的夾角為60°.
鞏固訓練3　【解析】(1)因為(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,
即|a|2-|b|2=,
所以|b|2=|a|2-=1-=,故|b|=.
(2)因為|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2=1-1+1=1,所以|a+2b|=1.
又因為a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=,
所以cos θ==,
又θ∈[0,π],所以θ=.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×-=0.
2.D　【解析】a與b的數量積為|a||b|cos 30°=4.故選D.
3.　【解析】設e1,e2的夾角為θ,因為(2e1-e2)⊥e2,且==1,
所以(2e1-e2)·e2=2e1·e2-=2cos θ-=2×1×1×cos θ-12=0,所以cos θ=.因為θ∈[0,π],所以e1與e2的夾角為.
4.【解析】設a,b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cos θ=16.因為向量a在b上的投影向量為|a|cos θ=4b,所以|a|cos θ=4|b|,即4|b|2=16,所以|b|=2.

展開更多......

收起↑