資源簡介

6.3 課時3 平面向量數乘運算的坐標表示
【學習目標】
1.掌握平面向量數乘運算的坐標表示.(數學運算)
2.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.(數學抽象)
3.能根據平面向量的坐標判斷向量是否共線.(邏輯推理)
【自主預習】
1.若a=(x,y),則λa的坐標是什么
2.兩向量共線的充要條件是什么
3.如何利用向量的坐標表示a,b兩個向量共線
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,則=. ( )
(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,則a∥b. ( )
(3)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),且x1y2-x2y1=0,則a∥b. ( )
(4)向量a=(1,2)與向量b=(4,8)共線. ( )
2.已知向量a=(8,-2),b=(m,1),若a=λb,則實數m的值是( ).
A.-4　　　B.-1　　　C.1　　　D.4
3.與a=(12,5)平行的單位向量為( ).
A.,-
B.-,-
C.,或-,-
D.,-或-,
4.已知向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),若向量2a+b與c共線,則λ= .
【合作探究】
　平面向量數乘運算的坐標表示
問題1:根據向量坐標表示的定義,已知向量a=(x,y),你能推導出λa的坐標嗎
問題2:已知向量a=(-2,3),b=(1,-4),如何求a-b
平向量數乘運算的坐標表示
(1)符號表示:已知a=(x,y),則λa=λ(x,y)=(λx,λy).
(2)文字描述:實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.
已知向量a=(3,4),b=(1,2),則3a-2b= .
已知向量a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
　平面向量共線的坐標表示
設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根據共線向量定理,當a與b共線時,存在唯一實數λ,使a=λb.
問題1:根據向量數乘運算的坐標表示,你能發現a與b的坐標之間的關系嗎
問題2:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),如何判斷A,B,C三點之間的關系
平面向量共線的坐標表示
設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
(1)a,b共線的充要條件是存在實數λ,使a=λb.
(2)如果用坐標表示,向量a,b共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.
簡記:縱橫交錯積相減.
一、向量共線的判定
下列各組向量中,共線的是( ).
A.a=(-2,3),b=(4,6)
B.a=(2,3),b=(3,2)
C.a=(1,-2),b=(7,14)
D.a=(-3,2),b=(6,-4)
【方法總結】向量共線的判定應充分利用向量共線定理或向量共線的坐標表示進行判斷,特別是利用向量共線的坐標表示進行判斷時,要注意坐標之間的搭配.
已知A(1,-3),B8,,且A,B,C三點共線,則C的坐標可以是( ).
A.(-9,1)　　　B.(9,-1)
C.(9,1)　　　D.(-9,-1)
二、利用向量共線的坐標表示求參數
(1)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,則λ= .
(2)已知點P(-1,2),線段PQ的中點M的坐標為(1,-1).若向量與向量a=(λ,1)共線,則λ= .
【方法總結】利用向量平行的條件處理求值問題的思路
(1)利用向量共線定理a=λb(b≠0)列方程組求解.
(2)利用向量平行的坐標表達式直接求解.
提醒:當兩向量中存在零向量時,無法利用坐標表示求值.
(1)已知非零向量a=(m2-1,m+1)與向量b=(1,-2)平行,則實數m的值為( ).
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相異三點A,B,C共線,則實數k= .
　線段分點的坐標
問題1:設點P1,P2的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),如何求線段P1P2的中點P的坐標
問題2:設點P1,P2的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),P是線段P1P2的一個三等分點,則點P的坐標是什么
問題3:設點P1,P2的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),當=λ(λ≠-1)時,點P的坐標是什么
1.設不重合的兩點分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),當=λ(λ≠-1)時,點P的坐標是,.
2.若=λ(λ≠0),則
(1)當0<λ<1時,點P在線段P1P2上;
(2)當λ=1時,點P與點P2重合;
(3)當λ>1時,點P在線段P1P2的延長線上;
(4)當λ<0時,點P在線段P1P2的反向延長線上.
已知點A(3,-4)與點B(-1,2),點P在直線AB上,且||=2||,求點P的坐標.
【方法總結】求點的坐標時需注意的問題:(1)設P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P是線段P1P2的中點,則利用中點坐標公式計算;(2)求線段P1P2上或其延長線上的點的坐標時,不必過分強調公式的記憶,可以轉化為向量問題后列出方程組求解,同時要注意分類討論.
若過點P1(2,3),P2(6,-1)的直線上的一點P使||∶||=3∶1,求點P的坐標.
【合作探究】
1.已知向量=(2,4),=(0,2),則=( ).
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
2.已知點A(2,-1),B(3,1),則與平行且方向相反的向量a可以是( ).
A.(1,-2) B.(9,3)
C.(-2,4) D.(-4,-8)
3.已知=(4,1),=(-1,k),若A,B,C三點共線,則實數k的值為( ).
A.4 B.-4 C.- D.
4.已知點A(2,0)與點B(0,3),點G在直線AB上,且=2,求點G的坐標.
參考答案
課時3　平面向量數乘運算的坐標表示
自主預習·悟新知
預學憶思
1.λa=(λx,λy).
2.向量a,b(b≠0)共線的充要條件是存在實數λ,使a=λb.
3.設a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,
則向量a,b(b≠0)共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.A　【解析】由a=λb,得解得m=-4.
3.C　【解析】設與a平行的單位向量為e=(x,y),
則∴或
4.-　【解析】因為向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),所以2a+b=(4,2λ+1),
由2a+b與c共線,得-8-(2λ+1)=0,
解得λ=-.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:在平面直角坐標系中,設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i,j,取{i,j}作為一個正交分解的基底,則向量a可以分解為xi+yj,λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj,所以λa=(λx,λy).
問題2:因為a=(-2,3),b=(1,-4),
所以a-b=(-2,3)-(1,-4)=--,1+2=-,3.
新知運用
例1　(7,8)　【解析】因為a=(3,4),b=(1,2),所以3a-2b=3(3,4)-2(1,2)=(9,12)-(2,4)=(7,8).
鞏固訓練　【解析】(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-,1-,=-,.
探究2　情境設置
問題1:因為向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在實數λ,使a=λb,用坐標表示為(x1,y1)=λ(x2,y2),即整理得x1y2-x2y1=0.
問題2:因為=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-4×3=0,所以∥.又直線AB,AC有公共點A,所以A,B,C三點共線.
新知運用
例2　D　【解析】A選項,∵(-2)×6-3×4=-24≠0,∴a與b不共線;B選項,∵2×2-3×3=4-9=-5≠0,∴a與b不共線;C選項,∵1×14-(-2)×7=28≠0,∴a與b不共線;D選項,∵(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,∴a與b共線.
鞏固訓練　C　【解析】設點C的坐標是(x,y),結合題意可得,
=8,-(1,-3)=7,,=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),
又因為A,B,C三點共線,所以∥,
所以7(y+3)-(x-1)=0,整理得x-2y=7,
經檢驗可知點(9,1)符合要求.故選C.
例3　(1)-3　(2)-　【解析】(1)由題意知,-6=2λ,所以λ=-3.
(2)已知點P(-1,2),線段PQ的中點M的坐標為(1,-1),
所以向量=2(1-(-1),-1-2)=(4,-6),
又因為與向量a=(λ,1)共線,所以4×1+6λ=0,解得λ=-.
鞏固訓練　(1)D　(2)-　【解析】(1)因為非零向量a=(m2-1,m+1)與向量b=(1,-2)平行,所以-2(m2-1)-1×(m+1)=0,且m≠-1,所以m=.
(2)=-=(1-k,2k-2),=-=(1-2k,-3),
由題意可知,∥,所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0,解得k=-(k=1舍去).
探究3　情境設置
問題1:設
O為坐標原點,如圖所示,∵P為線段P1P2的中點,
∴=,∴-=-,
∴=(+)=,,
∴線段P1P2的中點P的坐標是,.
問題2:P是線段P1P2的一個三等分點,分兩種情況:
　　　　　　　　圖1　　　　　　　圖2
①如圖1,當=時,=+=+=+(-)=+=,,即點P的坐標為,;
②如圖2,當=時,=+=+=+(-)=+=,,即點P的坐標為,.
問題3:∵=+=+λ=+λ(-)=+λ-λ,
∴==(x1,y1)+(x2,y2)
=x1,y1+x2,y2
=,,
∴點P的坐標為,.
新知運用
例4　【解析】(法一)設點P的坐標為(x,y),∵||=2||,
當點P在線段AB上時,=2,
∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
∴解得
∴點P的坐標為,0.
當點P在線段AB的延長線上時,=-2,
∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
∴解得
∴點P的坐標為(-5,8).
綜上所述,點P的坐標為,0或(-5,8).
(法二)設=λ,點P的坐標為(x,y),∵點P在直線AB上,且||=2||,∴λ=2或λ=-2.
當λ=2時,得x==,y==0;
當λ=-2時,得x==-5,y==8.
綜上所述,點P的坐標為,0或(-5,8).
鞏固訓練　【解析】設O為坐標原點,點P的坐標為(x,y),
連接OP,OP1,OP2(圖略).
∵||∶||=3∶1,∴||=3||,∴=3或=-3.
當=3,即=-3時,λ=-3,
此時故點P的坐標為(8,-3);
當=-3,即=3時,λ=3,
此時故點P的坐標為(5,0).
綜上所述,點P的坐標為(8,-3)或(5,0).
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】=(-)=(-2,-2)=(-1,-1).故選D.
2.D　【解析】由題意得=(1,2),設a=λ=(λ,2λ)(其中λ<0).結合選項知符合條件的只有D項,故選D.
3.C　【解析】因為A,B,C三點共線,所以∥,所以4k+1=0,即k=-.
4.【解析】因為點G在直線AB上,且=2,
設G(x,y),由題意得λ=2,則x==,y==2,所以點G的坐標為,2.6.3 課時1 平面向量基本定理
【學習目標】
1.理解平面向量基本定理的含義和基底的含義.(數學抽象)
2.在平面內,當一個基底選定后,會用這個基底來表示其他向量.(數據分析)
3.會用平面向量基本定理,會用“基底分解”解決平面向量問題.(數學運算、邏輯推理)
【自主預習】
1.如果e1,e2是兩個不共線的確定向量,那么與e1,e2在同一平面內的任一向量a能否用e1,e2表示 依據是什么
2.如果e1,e2是共線向量,那么向量a能否用e1,e2表示 為什么
3.零向量能否作為基底中的向量 為什么
4.平面內任一向量能否用互相垂直的兩非零向量表示
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面內任意兩個向量都可以構成平面內所有向量的一個基底. ( )
(2){0,e}可以作為基底. ( )
(3)平面向量基本定理中基底的選取是唯一的. ( )
(4)若e1,e2是同一平面內兩個不共線向量,則λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實數)可以表示該平面內所有向量. ( )
2.設e1,e2是同一平面內的兩個向量,那么( ).
A.e1,e2一定平行
B.{e1,e2}是該平面內所有向量的一個基底
C.對該平面內的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D.若e1,e2不共線,則對該平面內的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
3.(多選題)設O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點,則下列向量組中可構成該平面其他向量的基底的是( ).
A.與 B.與
C.與 D.與
4.已知向量e1,e2不共線,(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值為 .
【合作探究】
　平面向量基本定理
如圖1,設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量,a是這一平面內與e1,e2都不共線的向量.如圖2,在平面內任取一點O,作=e1,=e2,=a.
圖1　　　　　　　　　圖2
問題1:將a按e1,e2的方向分解,你有什么發現
問題2:若向量a與e1或e2共線,a還能用a=λ1e1+λ2e2表示嗎
問題3:當a是零向量時,a還能用a=λ1e1+λ2e2表示嗎
問題4:設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量,在a=λ1e1+λ2e2中,λ1,λ2是否唯一
1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.基底:若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫作表示這一平面內所有向量的一個 .平面內任一向量都可以用同一個基底唯一表示.
3.如果P,A,B三點共線,O是平面內任意一點,若=λ+μ,則λ+μ=1.
一、對基底的理解
(多選題)設{e1,e2}是平面內所有向量的一個基底,則下列四組向量中,能構成基底的是( ).
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2
D.e1和e1+e2
【方法總結】判斷兩個向量是否能構成基底,主要看兩向量是否不共線.此外,一個平面的基底一旦確定,那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示.
已知向量a,b不共線,c=2a-b,d=3a-2b,試判斷{c,d}能否作為基底.
二、用基底表示向量
如圖,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分別是DC,AB的中點,設=a,=b,試用基底{a,b}表示,,.
【變式探究】本例中若取BC的中點G,則= .
【方法總結】用基底表示向量的兩種方法
(1)線性運算法:運用向量的線性運算法則不斷對待求向量進行轉化,直至待求向量能用基底表示為止.解題時要注意適當選擇向量所在的三角形或平行四邊形,找到已知向量和未知向量的關系.
(2)待定系數法:首先根據平面向量基本定理設所求向量為兩個不共線向量的線性運算形式,然后列方程或方程組,利用基底表示向量的唯一性求待定系數.
如圖,在正方形ABCD中,設=a,=b,=c,則以{a,b}為基底時,可表示為 ,以{a,c}為基底時,可表示為 .
三、平面向量基本定理的應用
(1)如圖,已知=a,=b,=3,用a,b表示,則=( ).
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
(2)在△ABC中,D是線段BC上任意一點,點P滿足=3,若存在實數m和n,使得=m+n,則m+n=( ).
A. B. C.- D.-
如圖,在△ABC中,∠BAC=,=2,P為CD上一點,且滿足=m+(m∈R),若AC=2,AB=4,則·= .
【合作探究】
1.如圖,在△ABC中,D是AB的中點,則( ).
A.=+
B.=-+
C.=--
D.=-
2.如圖,在△ABC中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足=2,則·(+)等于( ).
A. B.
C.- D.-
3.在△ABC中,若=(+),則下列關系式正確的是( ).
A.BD=2CD
B.BD=CD
C.BD=3CD
D.CD=2BD
4.如圖,C,D是△AOB的邊AB的三等分點,設=e1,=e2,以{e1,e2}為基底,則= ,= .
參考答案
6.3　平面向量基本定理及坐標表示
課時1　平面向量基本定理
自主預習·悟新知
預學憶思
1.能.依據是向量數乘和平行四邊形法則.
2.不一定,當a與e1,e2共線時,向量a可以用e1,e2表示,否則不能用e1,e2表示.
3.不能,因為零向量與任何向量都是共線的.
4.能.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　【解析】D選項符合平面向量基本定理,其他三個選項均不正確.
3.AC　【解析】基底中的向量不共線,故A,C正確.
4.3　【解析】∵e1,e2不共線,∴由平面向量基本定理可得故x-y=3.
合作探究·提素養
探究　情境設置
問題1:如圖,a==+=λ1e1+λ2e2.
問題2:能,當向量a與e1共線時,a=λ1e1+0e2;當向量a與e2共線時,a=0e1+λ2e2.
問題3:能,a=0e1+0e2.
問題4:假設a=μ1e1+μ2e2,則λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,因為e1,e2不共線,所以λ1-μ1=0,且λ2-μ2=0,即λ1=μ1,且λ2=μ2,所以λ1,λ2唯一.
新知生成
2.基底
新知運用
例1　ACD　【解析】選項B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴6e1-8e2與3e1-4e2共線,不能構成基底;
選項A,C,D中兩向量均不共線,可以構成基底.
鞏固訓練　【解析】設存在實數λ,使c=λd,
則2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0,
因為向量a,b不共線,所以2-3λ=2λ-1=0,所以這樣的λ是不存在的,
所以c,d不共線,故{c,d}能作為基底.
例2　【解析】因為CD∥AB,AB=2CD,E,F分別是CD,AB的中點,
所以==a,===b,
=+=+=×b-a=b-a.
變式探究　a+b　【解析】=++=-b+a+b=a-b,
所以=+=+=b+a-b=a+b.
鞏固訓練　a+b　2a+c　【解析】以{a,b}為基底時,=+=a+b;
以{a,c}為基底時,將平移,使點B與點A重合,再由三角形法則或平行四邊形法則即得=2a+c.
例3　(1)B　(2)D　【解析】(1)因為=3,
所以=+=+=+(-+)=+.
又因為=a,=b,
所以=a+b.
故選B.
(2)由題意得,=λ+,且0≤λ≤1,
而=3=3(+),
所以3+3=λ+,
即=+,
由已知得則m+n=-.
故選D.
鞏固訓練　3　【解析】∵=2,∴=.
∵∥,
∴存在實數k,使得=k,
即-=k(-).
又∵=m+,
∴(m-1)+=k-,
∴解得
則·=·(-)=+·-=--·=-×4-×4×2cos =3.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】因為D是AB的中點,所以=,所以=+=+=-.
2.A　【解析】∵AM=1,且=2,∴||=,
∴·(+)=·2=·===.
3.B　【解析】由=(+)得2=+,
即-=-,即=,∴BD=CD.
4.e1+e2　e1+e2　【解析】=+=+
=e1+(e2-e1)=e1+e2,
=+=+
=+(e2-e1)=e1+e2.6.3 課時2 平面向量的正交分解及加、減運算的坐標表示
【學習目標】
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標表示.(數學抽象)
2.掌握兩個向量加、減運算的坐標表示.(數學運算)
【自主預習】
1.怎樣分解一個向量才是正交分解
2.向量坐標與點的坐標之間的聯系是什么
3.如何求兩個向量和(差)的坐標
4.一個向量的坐標與有向線段的起點和終點坐標之間有什么關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)零向量的坐標是(0,0). ( )
(2)若兩個向量的終點不同,則這兩個向量的坐標一定不同. ( )
(3)當向量的起點為坐標原點時,向量的坐標就是向量終點的坐標. ( )
(4)向量可以平移,平移前后它的坐標發生變化. ( )
2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=( ).
A.(-2,1)　　　B.(2,-1)
C.(2,0)　　　D.(4,3)
3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則向量的坐標是( ).
A.-4, B.4,-
C.(-8,1) D.(8,1)
4.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)與相等,且A(1,3),B(2,4),則x= .
【合作探究】
　平面向量的正交分解及坐標表示
問題1:如圖,分別用給定的一組基底表示同一向量a,你認為選取哪組基底對向量a進行分解比較簡單
問題2:我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數(即它的坐標)表示,那么如何表示坐標平面內的一個向量呢
1.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相 的向量,叫作把向量作正交分解.
2.平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系中,設與x軸、y軸方向 的兩個 向量分別為i,j,取{i,j}作為 .對于平面內的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知, 一對實數x,y,使得a=xi+yj.這樣,平面內的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數對 叫作向量a的坐標,記作a=(x,y),其中,x叫作a在x軸上的坐標,y叫作a在y軸上的坐標,a=(x,y)叫作向量a的坐標表示.
3.向量坐標與點的坐標之間的聯系
在平面直角坐標系中,以原點O為起點作=a,則點A的位置由向量a唯一確定.設=xi+yj,則向量的坐標(x,y)就是 的坐標;反過來,終點A的坐標(x,y)也就是向量的坐標.
特別提醒:(1)平面向量的正交分解實質上是平面向量基本定理的一種應用形式,只是兩個基向量e1和e2互相垂直.
(2)由向量坐標的定義,知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等,即a=b x1=x2且y1=y2,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(3)向量的坐標只與向量的起點、終點的相對位置有關,而與它們的具體位置無關.
(4)當向量確定以后,向量的坐標就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標不變.
如圖所示,若向量e1,e2是一組單位正交向量,且e1=(1,0),e2=(0,1),則向量2a+b在平面直角坐標系中的坐標為( ).
A.(3,4)　　　　　B.(2,4)
C.(3,4)或(4,3) D.(4,2)或(2,4)
【方法總結】求點、向量的坐標的常用方法
(1)求點的坐標:可利用已知條件,求出該點相對于坐標原點的位置向量的坐標,該坐標就等于所求點的坐標.
(2)求向量的坐標:①先求出這個向量的起點、終點坐標,再用終點坐標減去起點坐標,即得該向量的坐標;②將所求向量用基向量表示,再根據平面直角坐標系,求向量的坐標.
如圖所示,在邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.分別求點B,D的坐標和,的坐標.
　平面向量的坐標運算
設i,j分別是與x軸、y軸同向的兩個單位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
問題1:根據向量的線性運算性質,分別用基底{i,j}表示向量a+b,a-b.
問題2:向量加、減的坐標運算可以類比數的運算進行嗎
1.設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2)
減法 a-b=(x1-x2,y1-y2)
2.重要結論:已知點A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1).
一、平面向量加、減運算的坐標表示
已知點A(0,1),B(3,2),O為原點,向量=(-4,-3),則向量=( ).
A.(-7,-4)　　B.(7,4)
C.(-1,4)　　D.(1,4)
【方法總結】平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差的運算法則;
(2)若已知有向線段兩端點的坐標,則可先求出向量的坐標,再進行向量的坐標運算.
在 ABCD中,AC為其一條對角線,若=(2,4),=(1,3),求的坐標.
二、向量坐標運算的應用
如圖,已知 ABCD的三個頂點A,B,C的坐標分別是(-2,1),(-1,3),(3,4),求頂點D的坐標.
【方法總結】應用向量的坐標運算求解平面幾何問題的步驟
已知=(1,3),且點A(-2,5),則點B的坐標為( ).
A.(1,8)　　　B.(-1,8)
C.(3,-2)　　　D.(-3,2)
【合作探究】
1.如果用i,j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量,且A(2,3),B(4,2),那么可以表示為( ).
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
2.已知向量a=(2,1),b=(-3,4),則a+b=( ).
A.(6,-3) B.(8,-3)
C.(5,-1) D.(-1,5)
3.如圖,已知O為平面直角坐標系的原點,∠OAB=∠ABC=120°,==2=2,則點B的坐標為 ;點C的坐標為 .
4.已知平面上三個點的坐標分別為A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求點D的坐標,使得這四個點為平行四邊形的四個頂點.
參考答案
課時2　平面向量的正交分解及加、減運算的
坐標表示
自主預習·悟新知
預學憶思
1.正交分解就是把一個向量分解為兩個互相垂直的向量.
2.在平面直角坐標系中,以原點O為起點作=a,設=xi+yj,則向量的坐標(x,y)就是終點A的坐標;反過來,終點A的坐標(x,y)也就是向量的坐標.
3.兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).
4.一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】由題意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
3.C　【解析】=-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1).
4.1　【解析】∵=(2,4)-(1,3)=(1,1),=a=(2x-1,x2+3x-3),
∴解得x=1.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:a用基底{e1,e2}表示為e1+2e2,用基底{m,n}表示為3m+n,選基底{m,n}對向量a進行分解較為簡單.
問題2:在平面直角坐標系中,設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底,對于平面內的任意一個向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數x,y,使得a=xi+yj.
新知生成
1.垂直
2.相同　單位　基底　有且只有　(x,y)
3.終點A
新知運用
例1　A　【解析】2a=2e1+e2,b=e1+3e2,
則2a+b=3e1+4e2,又因為e1,e2為單位正交向量,且e1=(1,0),e2=(0,1),所以2a+b的坐標為(3,4).故選A.
鞏固訓練　【解析】由題意知,∠BOx=∠DOy=30°.
設B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函數的定義,得x1=||cos 30°=,y1=||·sin 30°=,x2=-||sin 30°=-,y2=||cos 30°=,
所以B,,D-,,=,,=-,.
探究2　情境設置
問題1:a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j.
問題2:向量加、減的坐標運算可以完全類比數的運算進行.
新知運用
例2　A　【解析】設C(x,y),則=-=(x,y-1)=(-4,-3),即x=-4,y=-2,故C(-4,-2),則=-=(-7,-4).
鞏固訓練　【解析】∵=+,∴=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),
∴=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
例3　【解析】(法一)設頂點D的坐標為(x,y).
因為=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y),
又=,所以(1,2)=(3-x,4-y).
即解得
所以頂點D的坐標為(2,2).
(法二)如圖,由向量加法的平行四邊形法則可知=+=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),
而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2).
所以頂點D的坐標為(2,2).
鞏固訓練　B　【解析】設點B的坐標為(x,y),則=(x,y)-(-2,5)=(1,3),所以(x,y)=(1,3)+(-2,5)=(-1,8),即點B的坐標為(-1,8).
故選B.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】因為A(2,3),B(4,2),所以=(2,-1),所以=2i-j.
2.D　【解析】a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5).
3.,　,　【解析】
如圖,過點B作BD⊥x軸,垂足為D,過點B作BE⊥y軸,垂足為E,過點C作CF⊥BE,垂足為F.
根據題意可知A(2,0),∠BAD=∠ABF=∠CBF=60°,
所以||=||cos 60°=,||=||sin 60°=,
所以OD=2+=,即B,.
又||=||cos 60°=1,||=||sin 60°=,
所以EF=-1=,點C的縱坐標為+=,
所以C,.
4.【解析】設點D的坐標為(x,y),
①當平行四邊形為ABCD時,=,
∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),
即解得∴D(0,-1);
②當平行四邊形為ABDC時,同理可得D(2,-3);
③當平行四邊形為ADBC時,同理可得D(6,15).
綜上所述,點D的坐標可能為(0,-1)或(2,-3)或(6,15).6.3 課時4 平面向量數量積的坐標表示
【學習目標】
1.掌握平面向量數量積的坐標表示.(邏輯推理)
2.能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題.(數學運算)
【自主預習】
1.用語言敘述平面向量數量積的坐標表示.
2.如何用坐標表示向量的模、夾角和垂直關系
1.(原創)判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a=(m,0),則|a|=m. ( )
(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b x1x2-y1y2=0.( )
(3)若a·b≠0,則a與b不垂直. ( )
(4)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),則a·b=-2. ( )
2.設a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),則(a+b)·(a-c)等于( ).
A.11 B.5 C.-14 D.10
3.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,則|a+b|等于( ).
A. B. C.2 D.10
4.已知向量=(4,0),=(2,2),則與的夾角的大小為 .
【合作探究】
　平面向量數量積的坐標表示
已知兩個向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),類比向量數乘的坐標表示,探究平面向量數量積的坐標表示.
問題1:若i,j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸同向的單位向量,則a,b如何用i,j表示
問題2:能否用a,b的坐標表示a·b 怎樣表示
問題3:若a,b是非零向量,則a⊥b怎樣用坐標表示呢 請用精練的語言總結.
問題4:怎樣用坐標表示a∥b呢 請用精練的語言總結.
　　設非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
數量積 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
一、數量積的坐標運算
已知a=(2,-1),b=(1,-1),則(a+2b)·(a-3b)=( ).
A.10 B.-10 C.3 D.-3
【方法總結】在進行數量積運算時,要正確使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能靈活運用以下幾個關系:
(1)|a|2=a·a;
(2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;
(3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a等于( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
二、平面向量的垂直問題
設向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),若m⊥n,則實數x的值為( ).
A.-1 B.1 C.2 D.3
【方法總結】用向量數量積的坐標表示解決垂直問題是把垂直條件代數化,方法更簡捷,運算更直接,體現了向量問題代數化的思想.
(2023年新高考全國Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則( ).
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
　平面向量的模和夾角
問題1:若把表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別設為(x1,y1),(x2,y2),如何求a的坐標 |a|怎么用坐標表示
問題2:設a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夾角,則cos θ如何用坐標表示
問題3:已知非零向量a=(x,y),則與a共線的單位向量的坐標是什么 與a垂直的單位向量的坐標是什么
1.向量模的公式
若a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|=.
2.兩點間的距離公式
如果表示向量a的有向線段的起點和終點分別為(x1,y1),(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=.
3.向量的夾角公式
設兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ,則cos θ==.
一、向量的模
已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1),求a-2b及其模的大小.
【方法總結】
求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運算:利用|a|2=a2,將向量的模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題.
(2)坐標表示下的運算:若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,則|b|等于( ).
A. B. C.5 D.25
二、向量的夾角
已知O是坐標原點,點A(-2,4),B(1,a),若∠ABO為鈍角,則a的取值范圍是( ).
A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
【方法總結】利用向量法求夾角的方法技巧
(1)若a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,利用公式cos θ==(2)非零向量a與b的夾角θ與向量的數量積的關系:
①若θ為直角,則充要條件為a⊥b,轉化為a·b=0 x1x2+y1y2=0;
②若θ為銳角,則充要條件為a·b>0,且a與b的夾角不能為0(即a與b的方向不能相同);
③若θ為鈍角,則充要條件為a·b<0,且a與b的夾角不能為π(即a與b的方向不能相反).,當向量的夾角為特殊角時,再求出這個角.
已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a與b的夾角α為鈍角,求實數λ的取值范圍.
【隨堂檢測】
1.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=( ).
A.6 B.5 C.1 D.-6
2.若向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夾角為銳角,則實數m的取值范圍是( ).
A.-1,∪,4
B.(-1,4)
C.-4,∪,1
D.(-4,1)
3.已知向量a,b滿足|a|=5,b=(3,4),a·b=0,則|a-b|= .
4.已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a與b的夾角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求實數λ的值.
參考答案
課時4　平面向量數量積的坐標表示
自主預習·悟新知
預學憶思
1.兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.
2.(1)若a=(x,y),則|a|=;
(2)設兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ,則cos θ==,
若a⊥b,則x1x2+y1y2=0.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.A　【解析】由題意得a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.故選A.
3.B　【解析】由題意得a·b=x×1+1×(-2)=x-2=0,解得x=2,
由a+b=(x+1,-1)=(3,-1),可得|a+b|=.
4.90°　【解析】因為=-=(2,2)-(4,0)=(-2,2),所以·=2×(-2)+2×2=0,所以⊥,即與的夾角為90°.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
問題2:能,a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
問題3:a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0,對應的坐標相乘之和為0.
問題4:a∥b(b≠0) x1y2-x2y1=0,坐標交叉相乘之差為0.
新知運用
例1　B　【解析】由題意得a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.
鞏固訓練　C　【解析】因為a=(1,-1),b=(-1,2),
所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),
則(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
例2　C　【解析】因為向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),m⊥n,
所以m·n=(2x-1)×1+3×(-1)=2x-1-3=0,解得x=2.
鞏固訓練　D　【解析】因為a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因為(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故選D.
探究2　情境設置
問題1:a=(x2-x1,y2-y1),
|a|=.
問題2:cos θ==.
問題3:設與a共線的單位向量為a0,則a0=±a=±=±,其中正號、負號分別表示與a同向、反向.
易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,所以與a垂直的單位向量b0的坐標為±,.
新知運用
例3　【解析】∵a=(3,5),b=(-2,1),
∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),
∴|a-2b|==.
鞏固訓練　C　【解析】∵a=(2,1),∴a2=5,
又|a+b|=5,
∴(a+b)2=50,
即a2+2a·b+b2=50,
∴5+2×10+b2=50,
∴b2=25,
∴|b|=5.
例4　C　【解析】由題意得,=(-3,4-a),=(-1,-a),
則·=(-3,4-a)·(-1,-a)=3-4a+a2<0,解得1且與不共線,即3a+4-a≠0,解得a≠-2,
綜上,a∈(1,3),故選C.
鞏固訓練　【解析】∵a=(1,-1),b=(λ,1),
∴|a|=,|b|=,a·b=λ-1.
又∵a,b的夾角α為鈍角,
∴即
解得λ<1且λ≠-1.
∴實數λ的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,1).
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】由題意知2a+b=(3,0),則(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=6,故選A.
2.A　【解析】因為向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夾角為銳角,所以a·b>0 m2-3m-4<0 -1綜上可知,實數m的取值范圍是-1,∪,4.
3.5　【解析】因為|a|=5,b=(3,4),所以b2=32+42=25,
又因為a·b=0,所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=25-2×0+25=50,
所以|a-b|=5.
4.【解析】(1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|==5,|b|==,
∴cos===.
(2)∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
(a-λb)⊥(2a+b),
∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0,
解得λ=.

展開更多......

收起↑