資源簡介

6.4 課時3 余弦定理
【學習目標】
1.會利用向量法推導余弦定理并掌握余弦定理的兩種表示形式.(邏輯推理)
2.能利用余弦定理解決基本的解三角形問題.(數(shù)學運算)
3.能運用余弦定理解決有關三角形的等式證明及三角形的形狀判斷等問題.(邏輯推理)
【自主預習】
1.用文字語言敘述余弦定理.
2.用符號語言敘述余弦定理.
(1)在△ABC中,已知兩邊及其夾角時,△ABC不一定唯一. ( )
(2)在△ABC中,隨便給出三邊一角中的三個,可求其余一個. ( )
(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,則角C為直角. ( )
(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,則角C為鈍角. ( )
2.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,則c= ( ).
A. B.8 C.10 D.7
3.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,則b=( ).
A. B. C.2 D.3
4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a2-c2+b2=ab,則cos C= .
【合作探究】
　余弦定理
問題1:在初中數(shù)學學習中,判定三角形全等的方法有哪些
問題2:給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的嗎 為什么 你能用數(shù)學知識解釋一下嗎
問題3:已知三角形ABC的兩邊a,b及它們的夾角C,如何求第三邊c
問題4:余弦定理的適用范圍、結構特征是什么
余弦定理
(1)公式表達:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
(2)語言敘述:三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=,a=4,若D為BC邊的中點,求AD的最大值.
【方法總結】余弦定理是由向量推導出來的,它是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關系式,它描述了任意三角形中,邊與角的一種數(shù)量關系.涉及中線的問題,既可以用余弦定理解決,也可以用向量解決.
已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=4,b=3,c=2,則中線AD的長為( ).
A.　 　B.　 　C.　 　D.
　利用余弦定理解三角形
問題1:應用余弦定理,我們是否可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題 如何確定
問題2:已知三角形的三個角和三條邊中的哪幾個元素,我們可以利用余弦定理解這個三角形
1.余弦定理的推論:cos A=,cos B=,cos C=.
2.解三角形
一般地,三角形的 和它們的 叫作三角形的元素.
已知三角形的幾個元素求 的過程叫作解三角形.
一、已知兩邊及一角解三角形
(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A,角C和邊a.
【方法總結】已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角,還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角,則可以由余弦定理求第三邊;若是給出兩邊中一邊的對角,則可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三邊.
(原創(chuàng))在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=,c=2.若tan B=-2,則b= .
二、已知三邊解三角形
在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角的大小.
【方法總結】已知三角形的三邊解三角形的方法
利用余弦定理求出三個角的余弦,進而求出三個角.
在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求最小角的大小.
　利用余弦定理判斷三角形形狀
問題1:在△ABC中,若c2=a2+b2,則C=成立嗎 反之,若C=,則c2=a2+b2成立嗎 為什么 (利用余弦定理說明)
問題2:在△ABC中,cos C>0,能判斷這個三角形是銳角三角形嗎
判斷三角形形狀的常用結論
(1)△ABC為直角三角形 a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2.
(2)△ABC為銳角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.
(3)△ABC為鈍角三角形 a2+b2(4)若sin 2A=sin 2B,則A=B或A+B=.
在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,試判斷該三角形的形狀.
【方法總結】利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時,需要從“統(tǒng)一”入手,即使用轉化思想解決問題,一般有兩條思路:
(1)先化邊為角,再進行三角恒等變換,求出三角之間的數(shù)量關系;
(2)先化角為邊,再進行代數(shù)恒等變換,求出三邊之間的數(shù)量關系.
在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,則△ABC是 三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)
【隨堂檢測】
1.已知a,b,c分別是△ABC的內角A,B,C所對的邊,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,則角C的大小為( ).
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),則A的大小為( ).
A. B. C. D.
3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,
若>0,則△ABC( ).
A.一定是銳角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是鈍角三角形
D.可能是銳角三角形,也可能是直角三角形
4.已知a,b,c分別是△ABC的內角A,B,C所對的邊,B=120°,則a2+c2+ac-b2= .
參考答案
課時3　余弦定理
自主預習·悟新知
預學憶思
1.三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
2.a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.D　【解析】由余弦定理得c
===7.
故選D.
3.D　【解析】由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去).故選D.
4.　【解析】∵a2-c2+b2=ab,∴c2=a2+b2-ab.
又∵c2=a2+b2-2abcos C,∴2cos C=1,∴cos C=.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1:在初中數(shù)學學習中,判定三角形全等的方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL.
問題2:是唯一確定的.因為兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(SAS),所以給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.
問題3:因為涉及三角形的兩邊長和它們的夾角,所以可以考慮用向量的數(shù)量積來求.c2=||2=(-)2=+-2·=a2+b2-2abcos C.
問題4:余弦定理對任意的三角形都成立.結構特征:“平方”“夾角”“余弦”.
新知運用
例1　【解析】(法一)如
圖,設AD=x,∠ADB=θ,則∠ADC=π-θ.
在△ABD中,由余弦定理,得c2=4+x2-4xcos θ.　①
在△ADC中,由余弦定理,得b2=4+x2-4xcos(π-θ)=4+x2+4xcos θ.　②
由①+②可得b2+c2=8+2x2.
在△ABC中,由余弦定理,得16=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc≥b2+c2-=(b2+c2)=4+x2,當且僅當b=c=4時,等號成立,解得0(法二)由題意可得,=(-)2=+-2·=||2+||2-||||,
所以||2+||2=16+||||.　③
因為=(+),所以4||2=||2+||2+||||,　④
由③+④得4||2=16+2||||,
由③得||2+||2=16+||||≥2||||,
則||||≤16,所以4||2≤16+2×16=48,
當且僅當||=||=4時,等號成立.
所以||≤2,即AD的最大值為2.
鞏固訓練　D　【解析】如
圖,由余弦定理得AB2=DA2+DB2-2DA·DBcos∠ADB,　①
AC2=DA2+DC2-2DA·DC·cos∠ADC,　②
又cos∠ADB=-cos∠ADC,DB=DC=2,
所以由①+②得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2,即22+32=2DA2+22+22,得DA=.
故選D.
探究2　情境設置
問題1:可以,利用余弦定理先求角的余弦值,再確定角.
問題2:已知兩邊及一角或已知三邊都可以利用余弦定理解這個三角形.
新知生成
2.三個角　對邊　其他元素
新知運用
例2　【解析】(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3,所以a=.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,
即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.
當a=3時,A=30°,C=120°;
當a=6時,由余弦定理得cos A==0,所以A=90°,又B=30°,所以C=60°.
鞏固訓練　　【解析】因為tan B=-2,所以cos B=-,
所以b2=a2+c2-2accos B=()2+22-2××2×-=13,則b=.
例3　【解析】∵a>c>b,∴A為最大角.
由余弦定理的推論,
得cos A===-.
又∵0°鞏固訓練　【解析】易知a根據(jù)余弦定理的推論,得cos A===.
∵A∈(0°,180°),∴A=30°,∴最小角的大小為30°.
探究3　情境設置
問題1:都成立.因為c2=a2+b2,所以a2+b2-c2=0,由余弦定理的推論,得cos C==0,所以C=.反之,若C=,則cos C=0,即=0,所以a2+b2-c2=0,所以c2=a2+b2.
問題2:不能,因為角A,B不一定是銳角.
新知運用
例4　【解析】由acos B+acos C=b+c并結合余弦定理,
得a·+a·=b+c,
即+=b+c,
整理得(b+c)(a2-b2-c2)=0.
因為b+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.
鞏固訓練　直角　【解析】由余弦定理得c2=bc·+ac·+ab·,
整理得c2=a2+b2,∴△ABC是直角三角形.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,∴a2+b2+ab=c2=a2+b2-2abcos C,∴cos C=-,∴C=120°.
2.A　【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=2b2-2b2cos A=2b2(1-cos A),
∵a2=2b2(1-sin A),∴cos A=sin A,又cos A≠0,∴tan A=1.
∵A∈(0,π),∴A=.
故選A.
3.C　【解析】由>0得cos C<0,從而C為鈍角,因此△ABC一定是鈍角三角形.
4.0　【解析】∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac,∴a2+c2+ac-b2=0.6.4 課時1 平面幾何中的向量方法
【學習目標】
1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及其他一些實際問題的過程.(數(shù)學建模)
2.體會向量是一種處理幾何問題的有力工具.(邏輯推理)
3.培養(yǎng)運算能力、分析和解決實際問題的能力.(數(shù)學運算)
【自主預習】
1.如何用向量的方法判斷兩條直線平行或垂直
2.如何用向量的方法求兩條直線的夾角
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若B是線段AC的中點,則有+=2. ( )
(2)若∥,則直線AB與CD平行. ( )
(3)若∥,則A,B,C三點共線. ( )
(4)若△ABC為直角三角形,則有·=0. ( )
2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),則BC邊的中線AD的長是( ).
A.2 B. C.3 D.
3.在△ABC中,若(+)·(-)=0,則△ABC( ).
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形狀無法確定
4.如圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的對角線OB的兩端點分別為O(0,0),B(1,1),則·= .
【合作探究】
　平面向量在幾何中的應用
如圖所示,水渠橫斷面是四邊形ABCD,=,且||=||.
問題1:如何判斷這個四邊形的形狀
問題2:對于結論“若a=b,則|a|=|b|,且a,b所在直線平行或重合”,你有什么體會
問題3:把直角三角形兩直角邊與斜邊的數(shù)量關系類比到矩形中,你能發(fā)現(xiàn)矩形兩對角線長度與兩鄰邊長度之間的關系嗎 這種關系可以推廣到平行四邊形嗎
用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用 表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為 問題.
(2)通過 運算,研究幾何元素之間的關系,解決距離、夾角等問題.
(3)把 “翻譯”成幾何關系.
一、利用向量解決平面幾何中的垂直問題
如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點,求證:AF⊥DE.
【方法總結】判斷兩直線垂直的步驟:
(1)選用合適的基底或建立適當?shù)淖鴺讼?
(2)用基底或坐標表示出直線對應的向量;
(3)利用兩直線對應向量的數(shù)量積為0即可判斷兩直線垂直.
已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.
二、利用向量解決平面幾何中的平行問題
如圖所示,P,Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點.
(1)試用向量證明:PQ∥AB.
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
【方法總結】用向量方法解決平行問題的步驟:
已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(1,0),B(7,3),C(4,4),D(2,3).
(1)求向量與夾角的余弦值;
(2)證明:四邊形ABCD是等腰梯形.
三、利用向量解決平面幾何中的長度、夾角問題
(原創(chuàng))如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,E,F 分別是CD,AD的中點,BE,CF 交于點P.
(1)求BE與CF的夾角;
(2)求線段AP的長度.
【方法總結】建立平面直角坐標系,實現(xiàn)向量的坐標化,將幾何問題中的長度、角度等問題轉化為代數(shù)運算問題.
在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,=2,=,CN與BM交于點P,則cos∠BPN的值為( ).
A. B.- C.- D.
【隨堂檢測】
1.已知平面內四邊形ABCD和點O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,則四邊形ABCD為( ).
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四邊形
2.已知△ABC中,=a,=b,且a·b<0,則△ABC的形狀( ).
A.是鈍角三角形 B.是直角三角形
C.是銳角三角形 D.不能確定
3.在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,=(2,),則BD=( ).
A.1 B. C.2 D.3
4.已知O,A,B是平面上不共線的三點,直線AB上有一點C,滿足2+=0.
(1)用,表示;
(2)若D是OB的中點,證明:四邊形OCAD是梯形.
參考答案
6.4　平面向量的應用
課時1　平面幾何中的向量方法
自主預習·悟新知
預學憶思
1.在兩條直線上分別任取兩點,得到兩個向量,若兩個向量共線,則兩條直線平行;若兩個向量垂直,則兩條直線垂直.
2.求上述兩個向量的夾角,當該角為鈍角時,取其補角;當該角為π時,則兩條直線的夾角為0.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】由題意得BC的中點為D,6,=-,5,所以||=.
3.C　【解析】(+)·(-)=-=0,即||=||,∴CA=CB,則△ABC是等腰三角形.
4.1　【解析】由已知得A(1,0),C(0,1),所以=(0,1),=(-1,1),所以·=1.
合作探究·提素養(yǎng)
探究　情境設置
問題1:利用向量共線和向量模的定義,證明該四邊形是等腰梯形.
問題2:可以用向量方法解決平面幾何問題.
問題3:矩形兩對角線的平方和等于四邊的平方和.可以.
新知生成
(1)向量　向量　(2)向量　(3)運算結果
新知運用
例1　【解析】(法一)設=a,=b,
則|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+,=+=b+,
所以·=b+·-a+=--a·b+=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
(法二)如圖所示,以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系.設正方形的邊長為2,則A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),則=(2,1),=(1,-2).
因為·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.
鞏固訓練　【解析】以C為坐標原點,的方向為x軸正方向,的方向為y軸正方向,建立平面直角坐標系(圖略).
設AC=a,則C(0,0),A(a,0),B(0,a),D,E,所以=,=.
因為·=-a·+·=0,所以⊥,即AD⊥CE.
例2　【解析】(1)∵Q為BD的中點,∴+=2.
∵P為AC的中點,∴=2,
∴2=2-2=+-=++=+.
又向量與共線,∴=λ,
∴2=(1+λ),∴=.　①
在梯形ABCD中,||≠||,∴λ≠-1,∴∥,即PQ∥AB.
(2)∵向量與方向相反,AB=3CD,
∴=-3.
由(1)可知,λ=-,代入①式,得==,
∴PQ∶AB=1∶3.
鞏固訓練　【解析】(1)因為=(7,3)-(1,0)=(6,3),=(4,4)-(1,0)=(3,4),所以||=3,||=5,
所以cos<,>===.
(2)因為=(4,4)-(2,3)=(2,1),=(6,3),所以=3,所以AB∥CD,且||≠||.
又=(4,4)-(7,3)=(-3,1),=(2,3)-(1,0)=(1,3),
所以||=,||=,所以||=||.
綜上,四邊形ABCD是等腰梯形.
例3　【解析】如圖,建立平面直角坐標系xOy,其中A為坐標原點.
∵AB=2,∴A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1).
∵·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴⊥,即BE⊥CF,故BE與CF的夾角為90° .
(2)設P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).
∵∥,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理,由∥,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P,,
∴=2+2=4,∴||=2.
鞏固訓練　D　【解析】
如圖,以A為坐標原點,AC所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,
則B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0),
得=(-3,1),=(-2,2),所以cos∠BPN===.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】由條件知+=+,則-=-,即=,∴四邊形ABCD為平行四邊形.
2.A　【解析】由條件知∠BAC為鈍角,故△ABC為鈍角三角形.
3.B　【解析】由題意得||=,由平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四邊的平方和,得BD2+AC2=2(AB2+AD2),∴BD2+()2=2×(22+12)=10,∴BD=.
4.【解析】(1)因為2+=0,
所以2(-)+(-)=0,
即2-2+-=0,
所以=2-.
(2)如圖,=+=-+=(2-).
故=,即DA∥OC,且DA≠OC,故四邊形OCAD是梯形.6.4 課時4 正弦定理
【學習目標】
1.掌握正弦定理的內容及證明方法.(數(shù)學抽象、邏輯推理)
2.能利用正弦定理解決三角形度量和邊角轉化問題,會判斷三角形的形狀.(數(shù)學運算)
3.能根據(jù)正弦定理及題目條件,判斷三角形解的個數(shù).(邏輯推理)
【自主預習】
1.正弦定理的內容是什么
2.△ABC外接圓的半徑和△ABC的邊角之間是什么關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正弦定理對任意的三角形都成立. ( )
(2)在△ABC中,等式bsin C=csin B總能成立. ( )
(3)在△ABC中,已知a,b,A,則能求出唯一的角B. ( )
(4)任意給出三角形的三個元素,都能求出其余元素. ( )
2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,則sin B=( ).
A. B. C. D.
3.在△ABC中,AB=1,AC=,C=,則B=( ).
A. B.或 C. D.或
4.已知△ABC的外接圓半徑為2,A=60°,則BC邊的長為 .
【合作探究】
　正弦定理
如圖,在Rt△ABC中,A=30°,斜邊c=2.
問題1:試求△ABC其他的邊和角,計算,,的值,從中你能發(fā)現(xiàn)什么結論嗎
問題2:對于其他的直角三角形,問題1中得出的結論是否成立呢 是否能夠猜測,問題1中得出的結論對于其他的銳角或鈍角三角形都成立呢
　　正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即= = .結論:正弦定理中的比值為定值,即= .
在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,證明:===2R(R為△ABC外接圓的半徑).
【方法總結】通常利用同一圓中,同弧所對的圓周角相等或圓內接四邊形對角之和為180°,以及解直角三角形證明正弦定理.
在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,利用向量法證明:=.
　正弦定理的應用
正弦定理的常見變形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R為△ABC外接圓的半徑).
(2)sin A=,sin B=,sin C=(R為△ABC外接圓的半徑).
(3)三角形的邊長之比等于對應角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
(5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.
一、已知兩角及任意一邊解三角形
在△ABC中,已知A=30°,B=60°,a=10,解這個三角形.
【方法總結】1.正弦定理實際上是=,=,=三個等式,每個等式涉及四個元素,所以只要知道每個等式中的三個元素就可以求另外一個.
2.因為三角形的內角和為180°,所以已知兩角一定可以求出第三個角.
在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解這個三角形.
二、已知兩邊及其中一邊的對角解三角形
在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.
【變式探究】若把本例中的條件“A=45°”改為“C=45°”,則角A有幾個值
【方法總結】已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角時,可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,三角形不一定能被唯一確定.
從幾何角度分析,具體情況如下:
圖形 關系式 解的 個數(shù)
A為 銳角 ①a=bsin A; ②a≥b 一個
bsin AaA為 鈍角 或直 角 a>b 一個
a≤b 無解
在△ABC中,分別根據(jù)下列條件解三角形,其中有唯一解的是( ).
A.a=25,b=30,A=150°
B.a=7,b=5,A=80°
C.a=30,b=40,A=30°
D.a=14,b=16,A=45°
三、三角形形狀的判斷
在△ABC中,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C.求證:△ABC為等腰直角三角形.
【方法總結】利用正弦定理判斷三角形形狀的方法
1.化邊為角,走三角變形之路,常用的轉化方式有a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R為△ABC外接圓的半徑).
2.化角為邊,走代數(shù)變形之路,常用的轉化方式有sin A=,sin B=,sin C=(R為△ABC外接圓的半徑).
在△ABC中,已知2sin Acos B=sin C,那么△ABC一定是( ).
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
【隨堂檢測】
1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,則下列各式正確的是( ).
A.=
B.=
C.asin B=bsin A
D.=
2.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,則B等于( ).
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上答案都不對
3.在△ABC中,a=bsin A,則△ABC一定是( ).
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2,B=45°.若利用正弦定理解△ABC僅有唯一解,則a的取值范圍是 .
參考答案
課時4　正弦定理
自主預習·悟新知
預學憶思
1.在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即==.
2.===2R(R為△ABC外接圓的半徑).
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.A　【解析】由=,得=,解得sin B=.故選A.
3.D　【解析】由正弦定理得=,∴=,解得sin B=,∴B=或B=.
4.2　【解析】因為=2R(R為△ABC的外接圓半徑),所以BC=2Rsin A=4sin 60°=2.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1:B=60°,C=90°,a=1,b=;=2,=2,=2,三者的值相等.
問題2:
對于其他的直角三角形,問題1中得出的結論成立.如圖,在Rt△ABC中,sin A=,sin B=,
∴=c,=c.
∵sin C=1,∴==.
可以猜測,問題1中得出的結論對于其他的銳角或鈍角三角形都成立.
新知生成
　　2R(R為△ABC外接圓的半徑)
新知運用
例1　【解析】設☉O是△ABC的外接圓,直徑BD=2R.
如圖1,當A為銳角時,連接CD,則∠BCD=90°,a=2Rsin D.又因為∠D=∠A,所以a=2Rsin A.
如圖2,當A為鈍角時,連接CD,則∠BCD=90°,a=2Rsin D.
因為A+D=180°,所以sin D=sin(180°-A)=sin A,所以a=2Rsin A.當A為直角時,顯然有a=2Rsin A.
綜上所述,不論A是銳角、鈍角或直角,總有a=2Rsin A.
同理可證b=2Rsin B,c=2Rsin C,
所以===2R.
鞏固訓練　【解析】由
條件可知,角A,B都是銳角,如圖所示,過點A作與AB垂直的單位向量j,則j與的夾角為-A,j與的夾角為-B,
因為+=,所以j·(+)=j·,即j·+j·=j·,
所以|j|||cos +|j|||cos-B=|j|||·cos-A,所以asin B=bsin A,即=.
探究2
新知運用
例2　【解析】根據(jù)正弦定理,得b===10.
又C=180°-(30°+60°)=90°,
∴c==20.
鞏固訓練　【解析】因為B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.
由正弦定理,得==,
解得a==4,c==2+2.
例3　【解析】∵=,
∴sin C===.
∵0°當C=60°時,B=75°,b===+1;
當C=120°時,B=15°,b===-1.
∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
變式探究　【解析】∵=,∴sin A===.
∵c=>2=a,∴C>A.
∴A為小于45°的銳角,且正弦值為,∴這樣的角A只有一個.
鞏固訓練　B　【解析】對于A,由=,得sin B=>,而0°對于B,由=,得sin B=對于C,由=,得sin B=∈,1,而30°對于D,由=,得sin B=∈,1,而45°故選B.
例4　【解析】∵=,∴=,
又∵=,∴=,∴a2=b2,即a=b.
設===k(k≠0),
則sin A=,sin B=,sin C=,
又∵sin2A+sin2B=sin2C,
∴+=,即a2+b2=c2,
∴△ABC為等腰直角三角形.
鞏固訓練　B　【解析】(法一:利用邊的關系進行判斷)由正弦定理和余弦定理知,2sin Acos B=sin C可化為2a·=c,即a2+c2-b2=c2,即a2=b2,故a=b,所以△ABC是等腰三角形.
(法二:利用角的關系進行判斷)因為在△ABC中,A+B+C=π,
即C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B).
由2sin Acos B=sin C=sin(A+B),
得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B-cos Asin B=0,所以sin(A-B)=0.
因為-π所以△ABC是等腰三角形.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】在△ABC中,由正弦定理,得==,
∴asin B=bsin A,==,故A,B,D錯誤,C正確.
2.C　【解析】∵sin B===,∴B=45°或B=135°.但當B=135°時,A+B>180°,不符合題意,∴B=45°.
3.B　【解析】由正弦定理和a=bsin A,得sin A=sin B·sin A,所以sin B=1,所以B=,所以△ABC一定是直角三角形.
4.(0,2]∪{2}　【解析】由正弦定理得==2,所以a=2sin A,
因為B=45°,所以A+C=180°-45°=135°,
因為△ABC僅有唯一解,所以A,C的值確定.
當A≤45°時,C≥90°,△ABC僅有唯一解,此時0當A=90°時,C=45°,△ABC僅有唯一解,此時a=2;
當45°綜上,a的取值范圍是(0,2]∪{2}.6.4 課時5 三角形中的幾何計算
【學習目標】
1.掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用.(邏輯推理)
2.能夠運用正、余弦定理解決三角形中的一些綜合問題.(數(shù)學運算)
【自主預習】
1.初中學過的計算三角形面積的公式有哪些
2.解三角形時,正弦定理和余弦定理分別能解哪些類型的題目
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)三角形的面積公式適用于所有的三角形. ( )
(2)已知三角形的兩邊及其夾角不能求出其面積. ( )
(3)已知三角形的兩角及一邊不能求出它的面積. ( )
(4)在△ABC中,A=30°,a=2,b=2,則B=60°. ( )
2.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=,則△ABC的面積等于( ).
A.6　　　　　B.12　　　　　C.6　　　　　D.12
3.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,c=2,A=,sin B=2sin C,則△ABC的面積為( ).
A. B.2 C.2 D.4
4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=2b-c,sin B=2sin C,則cos A的值為 .
【合作探究】
　三角形的面積公式
問題1:如何用三角形的邊和角的正弦值表示三角形的面積
問題2:如何用△ABC外接圓的半徑R表示△ABC的面積
在△ABC中,a,b,c是△ABC的內角A,B,C所對的邊,則△ABC面積的計算公式有:
(1)S△ABC=×底×高;
(2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A;
(3)S△ABC=(a+b+c)r(r是△ABC內切圓的半徑);
(4)S△ABC=(R是△ABC外接圓的半徑).
已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,bsin A=a.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC為銳角三角形,且a=2c,b=2,求△ABC的面積.
【方法總結】對于計算三角形面積的問題,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B進行求解,可分為以下兩種情況:(1)若所求圖形為多邊形,則可通過作輔助線或其他途徑構造三角形,將問題轉化為求三角形的面積;(2)若所給條件為邊角關系,則需要運用正、余弦定理求出其中的兩邊及夾角,再利用三角形面積公式進行求解.
在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且3a=c,cos C=.
(1)求sin A的值;
(2)若c=6,求△ABC的面積.
　三角形中的幾何計算問題
問題1:你能用坐標法證明S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B嗎
問題2:應用正弦定理解三角形時經(jīng)常挖掘三角形中哪些隱含條件
三角形中幾何計算問題的解題思路
(1)正確挖掘圖形中的幾何條件并簡化運算是解題的要點,應用正弦定理、余弦定理,通過解三角形,能很快解決一般問題.
(2)突破此類問題的關鍵是發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件.
如圖,在△ABC中,AB=2,cos B=,點D在線段BC上.
(1)若∠ADC=,求AD的長;
(2)若BD=2DC=4,求的值.
【方法總結】解題時,正弦定理和余弦定理經(jīng)常結合起來應用.在邊角互化過程中,注意正弦定理和余弦定理的變形使用,如=等.
已知在△ABC中,D是邊BC上一點,AD=,∠ADC=,∠ACD=.
(1)求AC的長;
(2)若AB=,求△ABC的面積.
【隨堂檢測】
1.(改編)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2,B=,△ABC的面積為,則b=( ).
A. B.1 C. D.2
2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若c=2,sin A=2sin C,cos B=,則△ABC的面積為( ).
A. B.2
C.1 D.
3.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c=,b=1,C=120°.
(1)求角B的大小;
(2)求△ABC的面積S.
參考答案
課時5　三角形中的幾何計算
自主預習·悟新知
預學憶思
1.S=×底×高,S=(a+b+c)r(其中,a,b,c是△ABC的各邊長,r是△ABC內切圓的半徑).
2.正弦定理:①已知兩角和一邊,②已知兩邊和其中一邊的對角.
余弦定理:①已知兩邊及其夾角,②已知兩邊及一邊的對角,③已知三邊.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.C　【解析】=bcsin A=×3×8×sin =6.故選C.
3.B　【解析】由正弦定理,得b=2c=4.
由面積公式得S△ABC=bcsin A=×4×2×=2.
4.　【解析】由sin B=2sin C以及正弦定理,得b=2c.
又因為a=2b-c=3c,所以a=c.
由余弦定理的推論,得cos A===.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1:在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則△ABC的面積公式S△ABC=ah(h為a邊上的高)中的高h=bsin C,所以S△ABC=absin C,同理S△ABC=bcsin A=acsin B.
問題2:由正弦定理,得=2R,所以sin C=,所以S△ABC=(其中a,b,c是△ABC的各邊長,R是△ABC外接圓的半徑).
新知運用
例1　【解析】(1)由正弦定理=,得bsin A=asin B.又bsin A=a,∴sin B=,又B為△ABC的一個內角,
∴B∈(0,π),∴B=或B=.
(2)∵△ABC為銳角三角形,∴B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
∴24=4c2+c2-2c2,解得c=2或c=-2(舍去),
∴a=2c=4,
∴S△ABC=acsin B=×4×2×=4.
鞏固訓練　【解析】(1)在△ABC中,∵cos C=>0,∴C∈0,,則sin C==.
∵3a=c,∴=,∴由正弦定理=,
可得sin A==×=.
(2)∵3a=c,∴a=c由(1)知sin A=,∴cos A=,
∴sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.
∵c=6,
∴a=×6=2,
∴S△ABC=acsin B=×2×6×=12.
探究2　情境設置
問題1:
能.假設已知a,b,C,如圖,以△ABC的頂點C為原點,射線CB的方向為x軸正方向,過點C作BC的垂線,以垂線所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,則頂點A的坐標為(bcos C,bsin C).
過點A作BC邊上的高AE,則根據(jù)三角函數(shù)的定義可得AE=bsin C,所以S△ABC=BC·AE=absin C.
同理可得S△ABC=bcsin A,S△ABC=acsin B.
故S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.
問題2:(1)在△ABC中,A+B+C=π sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C;=- sin =cos .
(2)若△ABC為銳角三角形,則A+B>,A+C>,B+C> A>-B sin A>cos B,cos A新知運用
例2　【解析】(1)∵cos B=,∴B為銳角,∴sin B==.
∵∠ADC=,∴∠ADB=.
在△ABD中,由正弦定理得=,即=,解得AD=.
(2)∵BD=2DC=4,
∴DC=2,BC=BD+DC=6.
在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=4+36-2×2×6×=32,∴AC=4.
在△ABD中,由正弦定理,得=.
故sin∠BAD=2sin∠ADB.
在△ACD中,由正弦定理得=,
故sin∠CAD=sin∠ADC.
∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC,
∴==4.
鞏固訓練　【解析】(1)∵∠ADC=,∠ACD=,AD=,
∴在△ADC中,=,
即=,
∴AC=.
(2)在△ABC中,AB=AC=,∠ACD=,
∴△ABC為等腰直角三角形,
故△ABC的面積為AB·AC=××=.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】∵a=2,B=,△ABC的面積為,
∴=acsin B=×2×c×,解得c=1,
∴由余弦定理可得b===.
故選C.
2.A　【解析】∵c=2,sin A=2sin C,∴由正弦定理可得a=2c=4,又cos B=,∴sin B==,
∴S△ABC=acsin B=×4×2×=.
3.【解析】(1)由正弦定理=,得sin B===.
因為b(2)因為A+B+C=180°,
所以A=180°-120°-30°=30°,
所以S△ABC=bcsin A=×1××=.6.4 課時2 向量在物理中的應用舉例
【學習目標】
1.掌握用向量方法解決某些簡單的力學問題與其他一些實際問題.(數(shù)學抽象)
2.體會向量是一種處理物理問題的重要工具.(數(shù)學運算)
3.培養(yǎng)運用向量知識解決物理問題的能力.(數(shù)學建模)
【自主預習】
1.物理中有哪些量是向量
2.當力和位移的夾角為鈍角時,力所做的功是正功還是負功
3.向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)功是力F與位移s的數(shù)量積. ( )
(2)力的合成與分解體現(xiàn)了向量的加減法運算. ( )
(3)當力和位移垂直時,力所做的功是0. ( )
(4)人騎自行車的速度為v1,風速為v2,則逆風行駛的速度為v1+v2. ( )
2.如果一架飛機向東飛行200 km,再向南飛行300 km,記飛機飛行的路程為s,位移為a,那么( ).
A.s>|a| B.s<|a|
C.s=|a| D.s與|a|不能比大小
3.當兩人提起重力大小為|G|的旅行包時,兩人用力方向的夾角為θ,用力大小都為|F|,若|F|=|G|,則θ的值為( ).
A.30° B.60° C.90° D.120°
4.已知一個物體在大小為6 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100 m,且F與s的夾角為60°,則力F所做的功W= J.
【合作探究】
　向量在物理中的應用
這是小明的叔叔在拉單杠時的圖片.
問題1:小明的叔叔感覺兩臂的夾角越大,拉起來越費力,這是為什么
問題2:向量加法的平行四邊形法則、三角形法則,向量的數(shù)量積的物理模型分別是什么
向量在物理中的應用
(1)物理問題中常見的向量有 等.
(2)向量的加、減法運算體現(xiàn)在 .
(3)動量mv是向量的 運算.
(4)功是 與 的數(shù)量積.
一、向量的線性運算在物理中的應用
如圖,把一個物體放在傾角為30°的斜面上,物體受到三個力的作用,即重力G,沿著斜面向上的摩擦力F1,垂直斜面向上的彈力F2,且處于平衡狀態(tài).已知|G|=100 N,求F1,F2的大小.
帆船比賽是借助風帆推動船只在規(guī)定距離內競速的一項水上運動,已知一帆船所受的風力方向為北偏東30°,速度大小為20 km/h,此時水的流向是正東方向,流速大小為20 km/h.若不考慮其他因素,求帆船的速度大小與方向.
【方法總結】利用向量法解決物理問題有兩種思路,第一種是選取適當?shù)幕?將題中涉及的向量用基底表示,利用向量運算法則、運算律或性質計算;第二種是通過建立平面直角坐標系,實現(xiàn)向量的坐標化,進行代數(shù)運算.
(多選題)在水流速度為自西向東10 km/h的河中,如果要使船以10 km/h的速度從河的南岸垂直到達北岸,則關于船出發(fā)時行駛速度的方向和大小,下列說法正確的是( ).
A.方向為北偏西30° B.方向為北偏西60°
C.大小為20 km/h D.大小為30 km/h
二、向量的數(shù)量積在物理中的應用
已知力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一質點,使之由點A(20,15)移動到點B(7,0).求:
(1)力F1,F2分別對質點所做的功(單位:J);
(2)力F1,F2的合力F對質點所做的功(單位:J).
【方法總結】物理上力對物體所做的功實質上就是力與位移兩個矢量的數(shù)量積.
冰球運動是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進行的相互對抗的集體性競技運動.在冰球運動中,冰球運動員腳穿冰鞋,身著防護裝備,以冰球桿擊球,球入對方球門多者為勝.小趙同學在練習冰球的過程中,以力F=(6,24)作用于冰球,使冰球從點A(-1,-1)移動到點B(1,-1),則F對冰球所做的功為( ).
A.-18 B.18 C.-12 D.12
【隨堂檢測】
1.已知平面內有作用于點O的三個力f1,f2,f3,且它們的合力為0,則三個力的分布圖可能是( ).
A B
C D
2.一只鷹正從與水平方向成30°角的方向向下直撲獵物,太陽光直射地面,鷹在地面上的影子的速度大小為60 m/s,則鷹的飛行速度大小為( ).
A.20 m/s B.40 m/s
C.60 m/s D.30 m/s
3.已知三個力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(7,-3)同時作用于某物體上一點,為使該物體保持平衡,再加上一個力F4,則F4=( ).
A.(-2,-2) B.(2,-2)
C.(-1,2) D.(-2,2)
4.已知河的寬為0.8 km,一條船從A處出發(fā)垂直航行到達河正對岸的B處,船速的大小為20 km/h,水流速度的大小為12 km/h,則該船到達B處所需的時間為 min.
參考答案
課時2　向量在物理中的應用舉例
自主預習·悟新知
預學憶思
1.物理中有許多量是向量,比如力、速度、加速度、位移等.
2.負功.
3.物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積,它的實質是向量的數(shù)量積.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.A　【解析】由題意知s=200+300=500(km),|a|==100(km),∴s>|a|.故選A.
3.D　【解析】作=F1,=F2,=-G(圖略),
則=+,
當|F1|=|F2|=|G|時,△OAC為正三角形,
所以∠AOC=60°,從而∠AOB=θ=120°.
4.300　【解析】W=F·s=|F||s|cos=6×100×cos 60°=300(J).
合作探究·提素養(yǎng)
探究　情境設置
問題1:如
圖,可知θ∈[0,π),F=-G,|F|=|F1|cos ,則|F1|=,因為|G|是定值,∈,所以|F1|是θ的增函數(shù),故兩臂的夾角越大,拉起來越費力.
問題2:向量加法的平行四邊形法則的物理模型是力(或速度)的合成;向量加法的三角形法則的物理模型是位移的合成;向量的數(shù)量積的物理模型是力對物體所做的功.
新知生成
(1)力、速度、加速度、位移　(2)力、速度、加速度、位移等的合成與分解　(3)數(shù)乘　(4)力F　物體所產(chǎn)生的位移s
新知運用
例1　【解析】以
O為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則F1=(-,0),F2=(0,-).
由已知得G=(100sin 30°,100cos 30°)=(50,50),
且G+F1+F2=0,所以(50,50)+(-|F1|,0)+(0,-|F2|)=(0,0),
所以=50 N,=50 N.
例2　【解析】建
立如圖所示的平面直角坐標系,風的方向為北偏東30°,速度大小為|v1|=20 km/h,水流的方向為正東方向,速度大小為|v2|=20 km/h.
設帆船行駛的速度為v,
則v=v1+v2.
由題意,可得v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10),v2=(20,0),
則v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10),
所以帆船行駛的速度大小|v|==20(km/h).
因為tan α==(α為v和v2的夾角,且為銳角),
所以α=30°,
所以帆船向北偏東60°的方向行駛,速度大小為20 km/h.
鞏固訓練　AC　【解析】
如圖,設船從O點出發(fā),沿OC方向行駛,才能垂直到達河的對岸,由題意知||=10,||=10,∠AOB=90°,則||==20.
因為cos∠BOC==,所以∠BOC=30°,即船出發(fā)時行駛速度的大小為20 km/h,方向為北偏西30°.故選AC.
例3　【解析】(1)=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J),
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J),
∴力F1,F2對質點所做的功分別為-99 J和-3 J.
(2)W=F·=(F1+F2)·=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J),
∴合力F對質點所做的功為-102 J.
鞏固訓練　D　【解析】因為A(-1,-1),B(1,-1),所以=(2,0).又F=(6,24),所以力F對冰球所做的功W=F·=(6,24)·(2,0)=12.
故選D.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】因為f1+f2=-f3,所以f1與f2的合力與f3的方向相反,長度相等,則由平行四邊形法則可知,只有D項滿足.
故選D.
2.B　【解析】
如圖,=v1表示鷹在地面上的影子的速度,=v2表示鷹的飛行速度,
由題意知,||=|v1|=60 m/s,且∠CAB=30°,
所以||=|v2|==40(m/s).
3.D　【解析】因為F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(7,-3),
所以F1+F2+F3=(-2,-1)+(-3,2)+(7,-3)=(2,-2),要想使該物體保持平衡,
只需F4 =-(2,-2)=(-2,2),故選D.
4.3　【解析】如圖,∵v實際=v船+v水=v1+v2,
|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,
∴|v實際|===16(km/h).
∴所需時間t==0.05(h)=3(min),
∴該船到達B處所需的時間為3 min.6.4 課時6 余弦定理、正弦定理應用舉例
【學習目標】
1.會用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中有關距離、高度、角度的測量問題.(數(shù)學抽象)
2.提高提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力.(數(shù)學運算)
【自主預習】
1.在浩瀚無垠的海面上航行,最重要的是定位和保持航向.閱讀教材,看看船只是如何表達位置和航向的.
2.方位角與方向角是如何定義的
3.仰角和俯角是如何定義的
4.如何不登月測量地月之間的大致距離
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)仰角是視線與視線在水平面的射影的夾角. ( )
(2)兩點間不可通又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形并求解. ( )
(3)兩點間可視但不可到達問題的測量方案實質是構造已知兩角及一邊的三角形并求解. ( )
(4)高度問題大多通過正(余)弦定理構造直角三角形來解決. ( )
2.如圖,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者與A在河的同側,在所在的河岸邊先確定一點C,測出A,C的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以計算出A,B兩點之間的距離為( ).
A.50 m
B.50 m
C.25 m
D. m
3.如圖,要測出山上一座天文臺BC的高,從山腰A處測得AC=60 m,天文臺最高處B的仰角為45°,天文臺底部C的仰角為15°,則天文臺BC的高為( ).
A.20 m
B.30 m
C.20 m
D.30 m
4.一船以15 km/h的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°的方向上,行駛4 h后,船到達C處,看到這個燈塔在北偏東15°的方向上,這時船與燈塔的距離為 km.
【合作探究】
　測量距離問題
問題1:如圖所示,A,B兩點在河的兩岸,在點A的一側,需測出哪些量,可以求出A,B兩點間的距離
問題2:如圖所示,A,B兩點都在河的對岸(不可到達),結合圖形,需測出哪些量,可以求出A,B兩點間的距離
1.基線的概念與選擇原則
(1)定義:在測量上,根據(jù)測量需要適當確定的 叫作基線.
(2)性質:在測量過程中,要根據(jù)實際需要選取合適的 ,使測量具有較高的精確度.一般來說,基線越長,測量的精確度越 .
2.測量不可到達的兩點間的距離,若其中一點可以到達,則利用一個三角形即可解決,一般用正弦定理;若兩點均不可到達,則需用3個三角形才能解決,一般正、余弦定理都要用到.
如圖,海岸上建有相距40海里的雷達站C,D,某一時刻接到海上B船因動力故障發(fā)出的求救信號后,調配附近的A船緊急前往救援,雷達站測得的角度數(shù)據(jù)為α=∠BCA=45°,β=∠ACD=30°,γ=∠BDC=45°,δ=∠ADB=75°.
(1)A船出發(fā)時,A船與雷達站C的距離為多少
(2)若A船以30海里/時的速度前往救援B船,則A船能否在3小時內趕到
【方法總結】測量距離的基本類型及方案
類型 圖形 方案
不可通或不可視的兩點間的距離 先測角C,AC=b,BC=a,再用余弦定理求AB
兩點可視,其中一點不可到達的兩點間的距離 先測角B,C,BC=a,再用正弦定理求AB
兩個不可到達的點之間的距離 測得CD=a,∠BCD,∠BDC,∠ACD,∠ADC的度數(shù),在△ACD中用正弦定理求AC;在△BCD中用正弦定理求BC;在△ABC中用余弦定理求AB
海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上最深的海洋藍洞.要測量如圖所示的藍洞的口徑A,B兩點間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CD=35 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則A,B兩點間的距離為 m.
　測量高度問題
問題:小明要測量底部不能到達的某電視塔的高度.如圖,他選定了離地面高度為15 m的一個地點A處,他測得電視塔底B點的俯角為30°,塔頂C點的仰角為62°.由此估測該電視塔的高為多少 (參考數(shù)據(jù):sin 62°≈0.88,sin 28°≈0.47,sin 92°≈1,精確到0.1 m)
1.仰角和俯角:與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方時叫 ,目標視線在水平視線下方時叫 (如圖所示).
2.視角:從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的 ,如圖所示,視角50°指的是觀察該物體的兩端視線張開的角度.
一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的A處測得水柱頂端的仰角為45°,沿A向北偏東30°方向前進100 m到達B處,在B處測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是( ).
A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m
【方法總結】此類問題的特點:底部不可到達,且涉及與地面垂直的平面,觀測者兩次觀測點所在直線不經(jīng)過“目標物”.解決辦法是把目標高度轉化為地平面內某量,從而把空間問題轉化為平面內解三角形問題
某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35°,沿傾斜角為20°的斜坡前進1 000 m后到達D處,又測得山頂B的仰角為65°,則山的高度約為 m.(精確到1 m,參考數(shù)據(jù):≈1.414,sin 35°≈0.574)
　測量角度問題
請結合下圖,探究下面的問題.
問題:你能用方向角表述圖中的角嗎
1.方向角
從指定方向線到 方向線所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向為始邊,順時針方向向西旋轉60°(如圖1所示).
2.方位角
從正北方向 轉到目標方向線所成的水平角.如點B的方位角為α(如圖2所示).
方位角的取值范圍: .
甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處,乙船以每小時a海里的速度向北行駛,已知甲船的速度是每小時a海里,則甲船應沿什么方向前進才能最快與乙船相遇
【方法總結】運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟
(1)分析:理解題意,弄清已知與未知,畫出示意圖(一個或幾個三角形).
(2)建模:根據(jù)已知條件與求解目標,把已知量與待求量盡可能地集中在有關三角形中,建立一個解三角形的數(shù)學模型.
(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得數(shù)學模型的解.
(4)檢驗:檢驗所求的解是否符合實際問題,從而得出實際問題的解.
一艘海輪從A處出發(fā), 以每小時40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行,30分鐘后到達B處.在C處有一座燈塔, 在A處觀察燈塔, 其方向是東偏南20°, 在 B 處觀察燈塔, 其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是( ).
A.10海里　　　　　　B.10海里
C.20海里 D.20海里
【隨堂檢測】
1.學校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4 m,∠A=30°,則其跨度AB的長為( ).
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
2.甲、乙兩人(身高忽略不計)在同一地平面上的不同方向觀測一根20 m高的旗桿,甲觀測旗桿頂端的仰角為50°,乙觀測旗桿頂端的仰角為40°,用d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離,那么有( ).
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
3.某位居民站在離地20 m高的陽臺上觀測到對面小高層房頂?shù)难鼋菫?0°,小高層底部的俯角為45°,那么這棟小高層的高度為 m.
4.如圖所示,小明在D處觀測到A島嶼和B島嶼分別在D處的北偏西15°和北偏東45°方向,再往正東方向行駛20海里至C處,觀測到B島嶼在C處的正北方向,A島嶼在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為 海里.
參考答案
課時6　余弦定理、正弦定理應用舉例
自主預習·悟新知
預學憶思
1.用方向角和方位角.
2.(1)方
位角:從指北方向按順時針轉到目標方向線所成的水平角.如點B的方位角為α(如圖所示).
方位角的取值范圍為0°~360°.
(2)方向角:從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向為始邊,順時針方向向西旋轉60°.
3.
仰角 在同一鉛垂平面內,視線在水平線上方時,視線與水平線的夾角
俯角 在同一鉛垂平面內,視線在水平線下方時,視線與水平線的夾角
4.可以在地球上選兩點,與月亮(看成一點)構成三角形,測量地球上兩點的距離和這兩點看月亮的視角,通過解三角形求得地月之間的大致距離.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.A　【解析】在△ABC中,∠ABC=180°-45°-105°=30°,
由=,得AB=100×=50(m).
3.B　【解析】由題圖可得∠B=45°,∠BAC=30°,故BC===30(m).
4.30　【解析】如圖所示,AC=15×4=60(km),∠BAC=30°,∠BCA=105°,∴∠B=45°.
在△ABC中,=,
∴BC=30 km.
故船與燈塔的距離為30 km.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1:測量者在點A的同側,在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離,∠BAC的大小,∠ACB的大小三個量.
問題2:結合圖形,只要測出CD的長,∠BCD的大小,∠BDC的大小,就可以計算出BC的長,同理可以計算出AC的長,再算出AB的長.故只需測量出圖中CD的長,角α,β,γ,δ的大小.
新知生成
1.(1)線段　(2)基線長度　高
新知運用
例1　【解析】(1)在△ADC中,因為∠ACD=30°,∠BDC=45°,∠ADB=75°,所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°,∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°,
又DC=40海里,所以由正弦定理可得=,即=,解得AC=120海里,所以A船與雷達站C的距離為120海里.
(2)在△BDC中,根據(jù)正弦定理可得=,即=,解得BC=40海里.
在△ABC中,由余弦定理可得AB2=1202+(40)2-2×120×40cos 45°=8 000,解得AB=40海里,因為A船以30海里/時的速度前往救援B船,而=<3,所以A船能在3小時內趕到.
鞏固訓練　35　【解析】因為∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,所以∠ADC=150°,∠DAC=∠DCA=15°,所以AD=CD=35 m,
又因為∠ACB=120°,所以∠BCD=135°,∠CBD=30°.
在△BCD中,由正弦定理得=,即=,解得BD=35 m.
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,
所以AB2=352+(35)2-2×35×35×-,解得AB=35 m.
探究2　情境設置
問題:過A作BC的垂線,垂足為D,
則∠DAB=30°,∠DAC=62°,BD=15 m,AB===30(m),
所以BC=·sin∠CAB=·sin 92°≈63.8(m),故電視塔的高約為63.8 m.
新知生成
1.仰角　俯角
2.夾角
新知運用
例2　A　【解析】
如圖,設水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,∠A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2×h×100×cos 60°,即h2+50h-5000=0,解得h=50或h=-100(舍去),故水柱的高度是50 m.
鞏固訓練　812　【解析】如圖,過點D作DE∥AC交BC于點E,
因為∠DAC=20°,所以∠ADE=160°,
于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.
又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.
在△ABD中,由正弦定理,得
AB===1 000(m).
在Rt△ABC中,BC=ABsin 35°≈812(m).
所以山的高度約為812 m.
探究3　情境設置
問題:情境圖中AB的方向角是北偏東75°,BC的方向角是北偏東32°.
新知生成
1.目標
2.順時針　0°~360°
新知運用
例3　【解析】如圖所示.
設經(jīng)過t小時兩船在C點相遇,則在△ABC中,BC=at,AC=at,∠B=180°-60°=120°.由=得sin∠CAB====.
∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°.
∴甲船應沿北偏東30°的方向前進才能最快與乙船相遇.
鞏固訓練　A　【解析】依題意,如圖,在△ABC中,
∠BAC=50°-20°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,則∠ACB=45°,AB=40×=20(海里).
由正弦定理得=,即 =,
因此BC==10(海里),
所以B,C兩點間的距離是 10海里.
故選A.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】由題意知∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°.由正弦定理得=,即AB===4(m).
2.B　【解析】如圖,d1=,d2=,因為tan 50°>1>tan 40°,所以d120 m,故選B.
3.20(1+)　【解析】如
圖,設AB為陽臺的高度,CD為小高層的高度,AE為水平線.由題意知AB=20 m,∠DAE=45°,∠CAE=60°,故AE=DE=AB=20 m,CE=AE·tan 60°=20(m),所以CD=20(1+)m.
4.10　【解析】在△ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°.
由正弦定理得=,
則AC==
=10(+1)(海里).
在△BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,
所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20海里.
由余弦定理得AB=
==10(海里).

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