資源簡介

7.1 課時1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念
【學習目標】
1.了解引進虛數(shù)單位i的必要性,了解數(shù)系的擴充過程.(數(shù)學抽象)
2.理解復數(shù)的概念、表示及相關概念.(數(shù)學抽象)
3.掌握復數(shù)的分類及復數(shù)相等的充要條件.(邏輯推理)
【自主預習】
1.什么叫復數(shù)
2.怎樣表示一個復數(shù)
3.復數(shù)m+ni(m,n∈R)的實部是m,虛部是ni,對嗎
4.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以是實數(shù)嗎 需要滿足什么條件
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a,b為實數(shù),則z=a+bi為虛數(shù). ( )
(2)復數(shù)i的實部不存在,虛部為0. ( )
(3)bi是純虛數(shù). ( )
(4)如果兩個復數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個復數(shù)相等. ( )
2.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618這幾個數(shù)中,純虛數(shù)的個數(shù)為( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(多選題)下列說法正確的是( ).
A.復數(shù)2+3i的虛部是3i
B.形如a+bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)
C.若a∈R,a≠-3,則(a+3)i是純虛數(shù)
D.若兩個復數(shù)能夠比較大小,則它們都是實數(shù)
4.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,則x+y= .
【合作探究】
　復數(shù)的概念
問題1:方程x2=1有解嗎 解是什么 方程x2+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)有解嗎
問題2:若有一個新數(shù)i滿足i2=-1,試想方程x2+1=0有解嗎
問題3:添加i之后,i與原來的實數(shù)之間進行加法、乘法運算,會產(chǎn)生怎樣的新數(shù)
問題4:復數(shù)集由哪些數(shù)組成
1.虛數(shù)單位i的引入
(1)i2=-1.
(2)實數(shù)可以與它進行四則運算,進行四則運算時,原有加法、乘法滿足的運算律仍然適用.
2.復數(shù)的概念
把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫作復數(shù),其中i叫作虛數(shù)單位.全體復數(shù)所構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作復數(shù)集.復數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).
以后不作特殊說明時,復數(shù)z=a+bi都有a,b∈R,其中的a與b分別叫作復數(shù)z的實部與虛部.
對于復數(shù)a+bi(a,b∈R),當且僅當b=0時,它是實數(shù);當且僅當a=b=0時,它是實數(shù)0;當b≠0時,它叫作虛數(shù);當a=0且b≠0時,它叫作純虛數(shù).
下列結論正確的是( ).
A.若a∈R,則(a+1)i是純虛數(shù)
B.若a,b∈R,且a>b,則a+i>b+i
C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),則實數(shù)x=±2
D.實數(shù)集是復數(shù)集的真子集
已知復數(shù)z=m2-m-2+(5m2-20)i(m∈R).
(1)若z為實數(shù),求m的值;
(2)若z為純虛數(shù),求m的值.
【方法總結】1.復數(shù)的代數(shù)形式
(1)若z=a+bi,只有當a,b∈R時,才有a是z的實部,b是z的虛部,注意虛部不是bi.
(2)不要混淆復數(shù)與虛數(shù)的概念,實數(shù)也是復數(shù),實數(shù)和虛數(shù)是復數(shù)的兩大構成部分.
2.復數(shù)的分類
(1)復數(shù)a+bi(a,b∈R)
(2)集合表示
當實數(shù)m取什么值時,復數(shù)z=m+1+(m-1)i是下列數(shù)
(1)實數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).
　復數(shù)相等
問題1:由3>2能否推出3+i>2+i 兩個實數(shù)能比較大小,那么兩個復數(shù)能比較大小嗎
問題2:若復數(shù)z=a+bi>0,則實數(shù)a,b滿足什么條件
問題3:如何確定兩個復數(shù)是否相等
復數(shù)相等的充要條件
在復數(shù)集C中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),規(guī)定:當且僅當 時,a+bi與c+di相等.
關于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有實數(shù)根,求實數(shù)a的值.
【方法總結】復數(shù)相等問題的解題技巧
(1)復數(shù)必須是代數(shù)形式,然后才可以根據(jù)實部與實部相等,虛部與虛部相等列方程組求解;
(2)根據(jù)復數(shù)相等的條件,將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題,為應用方程思想提供了條件,同時這也是復數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn).
若(m2-1)+(m2-2m)i>1,則實數(shù)m的值為 .
已知關于x的方程x2+kx+2+(2x+k)i=0有實數(shù)根x0,求x0以及實數(shù)k的值.
【隨堂檢測】
1.復數(shù)(2+)i的實部是( ).
A.2 B. C.2+ D.0
2.若復數(shù)z=ai2-bi(a,b∈R)是純虛數(shù),則一定有( ).
A.b=0 B.a=0且b≠0
C.a=0或b=0 D.ab≠0
3.(多選題)下列說法正確的是( ).
A.純虛數(shù)的平方不小于0
B.i是一個無理數(shù)
C.1-ai(a∈R)是一個復數(shù)
D.復數(shù)a+i與b+3i(a,b∈R)不可能相等
4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0,i為虛數(shù)單位),則實數(shù)x= ,y= .
參考答案
7.1　復數(shù)的概念
課時1　數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念
自主預習·悟新知
預學憶思
1.形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫作復數(shù).
2.復數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),這一表示形式叫作復數(shù)的代數(shù)形式.
3.不對,虛部是n.
4.可以,當b=0時,z為實數(shù).
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.C　【解析】i,(1-)i是純虛數(shù),2+,0.618是實數(shù),8+5i是虛數(shù).
3.CD　【解析】復數(shù)2+3i的虛部是3,故A錯誤;
形如a+bi(b∈R)的數(shù)不一定是虛數(shù),例如,當a∈R,b=0時,a+bi不是虛數(shù),故B錯誤;
只有當a∈R,a+3≠0,即a≠-3時,(a+3)i才是純虛數(shù),故C正確;
因為虛數(shù)不能比較大小,所以若兩個復數(shù)能夠比較大小,則它們都是實數(shù),故D正確.
故選CD.
4.5　【解析】由題意知x=0,y-2=3,即y=5,∴x+y=5.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1:方程x2=1有解,解是x=±1,方程x2+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解.
問題2:有解(x=±i),但不在實數(shù)范圍內(nèi).
問題3:若i與實數(shù)b相乘再與實數(shù)a相加,則可得到形式為a+bi的新數(shù).
問題4:由實數(shù)和虛數(shù)組成.
新知運用
例1　D　【解析】對于復數(shù)a+bi(a,b∈R),當a=0且b≠0時,它為純虛數(shù).對于A,若a=-1,則(a+1)i不是純虛數(shù),A錯誤.兩個虛數(shù)不能比較大小,B錯誤.對于C,若x=-2,則x2-4=0,x2+3x+2=0,此時(x2-4)+(x2+3x+2)i=0,不是純虛數(shù),C錯誤.顯然D正確.
例2　【解析】(1)由題意得5m2-20=0,得m2=4,即m=±2.
(2)由題意得得即m=-1.
鞏固訓練　【解析】(1)當m-1=0,即m=1時,復數(shù)z是實數(shù).
(2)當m-1≠0,即m≠1時,復數(shù)z是虛數(shù).
(3)當m+1=0,且m-1≠0,即m=-1時,復數(shù)z是純虛數(shù).
探究2　情境設置
問題1:由3>2不能推出3+i>2+i.當兩個復數(shù)都是實數(shù)時,可以比較大小;當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時,不能比較大小.
問題2:若復數(shù)z=a+bi>0,則實數(shù)a,b滿足a>0且b=0.
問題3:根據(jù)復數(shù)的定義,當且僅當兩個復數(shù)的實部與虛部分別對應相等時,兩個復數(shù)相等.
新知生成
a=c且b=d
新知運用
例3　【解析】設方程的實數(shù)根為x=m,
則原方程可變?yōu)?m2-m-1=(10-m-2m2)i,
所以解得或
所以實數(shù)a的值為11或-.
鞏固訓練1　2　【解析】由題意得解得m=2.
鞏固訓練2　【解析】將x0代入方程,得+kx0+2+(2x0+k)i=0,
由復數(shù)相等的充要條件,得解得或
所以x0=或x0=-,
相應的k的值為-2或2.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】復數(shù)(2+)i的實部是0.故選D.
2.B　【解析】z=ai2-bi=-a-bi,由純虛數(shù)的定義可得a=0且b≠0.
3.CD　【解析】i2=-1<0,故A錯誤;∈R,故i是純虛數(shù),故B錯誤;根據(jù)復數(shù)定義可知C正確;D中兩個復數(shù)的虛部不相等,故兩個復數(shù)不可能相等,故D正確.故選CD.
4.1　1　【解析】∵x2-y2+2xyi=2i,∴
解得或(舍去).7.1 課時2 復數(shù)的幾何意義
【學習目標】
1.理解可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)及它們之間的一一對應關系.(直觀想象)
2.掌握實軸、虛軸、模、共軛復數(shù)等概念.(數(shù)學抽象)
3.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法.(數(shù)學運算)
【自主預習】
1.平面直角坐標系中的點Z與向量有怎樣的對應關系
2.復數(shù)集與平面直角坐標系中以原點為起點的向量集合一一對應嗎
3.實軸上的點都表示實數(shù),那么虛軸上的點都表示純虛數(shù)嗎
4.若z1,z2是共軛復數(shù),在復平面內(nèi)它們所對應的點有怎樣的關系
5.我們知道,復數(shù)1+2i與復數(shù)2+2i是不能比較大小的,這兩個復數(shù)的模分別是多少 能比較大小嗎
6.怎樣定義復數(shù)z的模 它有什么意義
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復平面內(nèi)的點與復數(shù)是一一對應的. ( )
(2)復數(shù)的模一定是正實數(shù). ( )
(3)若|z1|=|z2|,則z1=z2. ( )
(4)若兩個復數(shù)互為共軛復數(shù),則它們的模相等. ( )
2.已知i為虛數(shù)單位,若(x-2)+yi和3x-i互為共軛復數(shù),則實數(shù)x,y的值分別是( ).
A.3,3 B.5,1
C.-1,-1 D.-1,1
3.若復數(shù)a+1+(1-a)i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是( ).
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
4.已知復數(shù)z=4+2i(i是虛數(shù)單位),則|z|= .
【合作探究】
　復數(shù)的幾何意義
偉大的德國數(shù)學家高斯是近代數(shù)學的奠基人之一,他在前人研究的基礎上給出復數(shù)的幾何表示,在1799年,1815年,1816年對代數(shù)基本定理作出的三個證明中,都假定了復數(shù)和平面直角坐標系內(nèi)的點一一對應,但直到1831年他才對復平面作出詳細的說明.此后,人們才接受了復平面的思想,有些人還把復平面稱為高斯平面.
問題1:高斯認為復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與有序實數(shù)對(a,b)之間有什么對應關系
問題2:有序實數(shù)對(a,b)與平面直角坐標系內(nèi)的點有怎樣的對應關系
問題3:實軸上的點表示實數(shù),虛軸上的點表示虛數(shù),這句話對嗎
1.復平面
建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫作 ,x軸叫作 ,y軸叫作 .顯然,實軸上的點都表示實數(shù);除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù).
2.復數(shù)的兩種幾何意義
(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)復平面內(nèi)的點Z(a,b).
(2)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量.
特別提醒:①復平面內(nèi)的點Z的坐標是(a,b),而不是(a,bi).也就是說,復平面內(nèi)的虛軸上的單位長度是1,而不是i.
②當a=0,b≠0時,a+bi=0+bi=bi是純虛數(shù),所以虛軸上的點(0,b)(b≠0)都表示純虛數(shù).
③復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中的z,書寫時應小寫;復平面內(nèi)的點Z(a,b)中的Z,書寫時應大寫.
一、復平面內(nèi)的點與復數(shù)的對應關系
當實數(shù)m取什么值時,復平面內(nèi)表示復數(shù)z=2m+(4-m2)i的點P分別滿足下列條件
(1)位于虛軸上(不含原點);(2)位于第三象限.
【方法總結】利用復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關系解題的步驟
(1)找對應關系:復數(shù)的幾何表示法,即復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復平面內(nèi)的點Z(a,b)來表示,這是解決此類問題的依據(jù).
(2)列方程:尋求復數(shù)的實部與虛部應滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.
當實數(shù)a分別取何值時,復數(shù)z=a2-a-6+(a2-2a-3)i(a∈R)對應的點Z滿足下列條件
(1)在復平面的第二象限內(nèi);
(2)在復平面內(nèi)的x軸下方.
二、復數(shù)與復平面內(nèi)向量的對應關系
在平面直角坐標系中,O是原點,向量,對應的復數(shù)分別為2-3i,-3+2i,那么向量對應的復數(shù)是( ).
A.-5+5i　　　B.5-5i
C.5+5i　　　D.-5-5i
【方法總結】(1)根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應關系,可知當平面向量的起點為原點時,向量的終點對應的復數(shù)即向量對應的復數(shù).反之,復數(shù)對應的點確定后,從原點引出的指向該點的有向線段,即復數(shù)對應的向量.
(2)解答復數(shù)與平面向量一一對應的題目時,一般以復數(shù)與復平面內(nèi)的點的一一對應關系為工具,實現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、向量之間的轉化.
復數(shù)4+3i與-2-5i分別表示向量與,則向量表示的復數(shù)是 .
　復數(shù)的模
我們知道向量的長度叫向量的模,z=a+bi(a,b∈R)與向量一一對應,下面我們探討|z|如何表示.
問題1:|z|與向量的模之間也是一一對應的嗎
問題2:兩個虛數(shù)是不能比較大小的,兩個虛數(shù)的模能比較大小嗎
1.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對應的向量為,則的模叫作復數(shù)z的模或絕對值,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= .
2.如果b=0,那么z=a+bi是一個實數(shù)a,它的模等于|a|(a的絕對值).
求復數(shù)z1=6+8i及z2=-9+i的模,并比較它們模的大小.
【方法總結】計算復數(shù)的模時,應先確定復數(shù)的實部和虛部,再利用模長公式計算.雖然兩個虛數(shù)不能比較大小,但它們的模可以比較大小.
已知實數(shù)a滿足0A.(1,)　　　B.(1,)
C.(1,3)　　　　D.(1,10)
　共軛復數(shù)
小明在復平面內(nèi)作出復數(shù)z1=2+3i和復數(shù)z2=2-3i,如圖所示.
問題1:小明畫得正確嗎 和之間有什么關系
問題2:||與|z|之間有什么關系
　　一般地,當兩個復數(shù)的實部 ,虛部 時,這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).
記法:復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示,即如果z=a+bi,那么=a-bi.
復數(shù)z=a+bi在復平面內(nèi)對應的點為(a,b),復數(shù)=a-bi在復平面內(nèi)對應的點為(a,-b),所以兩個互為共軛復數(shù)的復數(shù),它們在復平面內(nèi)所對應的點關于x軸對稱.
已知復數(shù)z的虛部大于0,且|z|=|+2|=.求.
【方法總結】設出復數(shù)z,由題意建立方程,解方程即可得結論.方程思想是解決本題的關鍵,此外要熟記模的概念.
已知復數(shù)z=(m-1)(m+2)+(m-1)i(m∈R,i為虛數(shù)單位),若z是純虛數(shù),求.
【隨堂檢測】
1.若向量與對應的復數(shù)分別是3+2i,-1+4i,則向量對應的復數(shù)為( ).
A.-1 B.4-2i C.-4+2i D.-3
2.(多選題)在復平面內(nèi),復數(shù)z對應的點是(1,1),則( ).
A.z=1+i B.=-1+i
C.|z|=2 D.||=
3.已知復數(shù)z=m-1+(m+2)i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,則實數(shù)m的取值范圍是( ).
A.(-1,2) B.(-2,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,-2)
4.已知復數(shù)z=(a2+7a-8)+(4a+2)i,a∈R.
(1)若z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,求a的取值范圍;
(2)若z在復平面內(nèi)對應的點在第一、三象限的角平分線上,求a的值.
參考答案
課時2　復數(shù)的幾何意義
自主預習·悟新知
預學憶思
1.一一對應.
2.一一對應.
3.虛軸上除了坐標原點以外的點才表示純虛數(shù).
4.它們所對應的點關于實軸對稱.
5.∵|1+2i|=,|2+2i|=2,∴|1+2i|<|2+2i|,即兩個復數(shù)的模能比較大小.
6.向量的模r叫作復數(shù)z=a+bi的模,記作|z|或|a+bi|,且r=(r≥0,且r∈R),它表示點Z(a,b)到原點的距離.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　【解析】∵(x-2)+yi和3x-i互為共軛復數(shù),
∴解得
3.B　【解析】因為z=a+1+(1-a)i,所以它在復平面內(nèi)對應的點為(a+1,1-a),
又因為此點在第二象限,所以解得a<-1.故選B.
4.2　【解析】∵z=4+2i,∴|z|==2.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1:一一對應關系.
問題2:一一對應關系.
問題3:不對.實軸上的點都表示實數(shù);除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù);原點對應的有序實數(shù)對為(0,0),它所確定的復數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實數(shù).
新知生成
1.復平面　實軸　虛軸
新知運用
例1　【解析】復數(shù)z=2m+(4-m2)i在復平面內(nèi)對應的點P的坐標為(2m,4-m2).
(1)若點P在虛軸上(不含原點),則即m=0,
∴當m=0時,點P位于虛軸上(不含原點).
(2)若點P在第三象限,則解得m<-2,
∴當實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-2)時,點P位于第三象限.
鞏固訓練　【解析】(1)點Z在復平面的第二象限內(nèi),
則即解得-2(2)點Z在x軸下方,則a2-2a-3<0,
即(a+1)(a-3)<0,解得-1例2　B　【解析】向量,對應的復數(shù)分別為2-3i,-3+2i,則根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應關系,可得向量=(2,-3),=(-3,2).由向量減法的坐標運算可得向量=-=(2+3,-3-2)=(5,-5),根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)的點的一一對應關系,可得向量對應的復數(shù)是5-5i.
鞏固訓練　-6-8i　【解析】因為復數(shù)4+3i與-2-5i分別表示向量與,所以=(4,3),=(-2,-5),又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的復數(shù)是-6-8i.
探究2　情境設置
問題1:是.
問題2:復數(shù)的模就是復數(shù)的長度,它是一個實數(shù),所以兩個虛數(shù)的模是能夠比較大小的.
新知生成
1.
新知運用
例3　【解析】因為z1=6+8i,z2=-9+i,
所以|z1|==10,|z2|==.
因為10>,所以|z1|>|z2|.
鞏固訓練　A　【解析】∵0探究3　情境設置
問題1:正確,關于x軸對稱.
問題2:||=|z|.
新知生成
相等　互為相反數(shù)
新知運用
例4　【解析】設z=a+bi(a,b∈R,b>0),則+2=a+2-bi,
所以=,
整理得4a+4=0,解得a=-1,
又==,所以b=±2.因為復數(shù)z的虛部大于0,所以b=2,z=-1+2i,所以=-1-2i.
鞏固訓練　【解析】因為z是純虛數(shù),所以
解得m=-2,所以z=-3i,故=3i.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】因為向量與對應的復數(shù)分別是3+2i,-1+4i,所以=(3,2),=(-1,4),所以=-=(4,-2),則向量對應的復數(shù)為4-2i.
2.AD　【解析】因為在復平面內(nèi),復數(shù)z對應的點是(1,1),所以z=1+i,故A正確;
=1-i,故B錯誤;
|z|==,故C錯誤;
||==,故D正確.故選AD.
3.B　【解析】∵z=m-1+(m+2)i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,
∴解得-24.【解析】(1)由題意可得
解得-(2)由題意可得a2+7a-8=4a+2,解得a=2或a=-5,所以a的值為2或-5.

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