資源簡介

7.2 課時2 復數(shù)的乘、除運算
【學習目標】
1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的乘法與除法運算,并會簡單應用.(數(shù)學抽象)
2.理解復數(shù)乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律,掌握虛數(shù)單位“i”的冪值的周期性,并能應用周期性進行化簡與計算.(數(shù)學運算、邏輯推理)
3.掌握共軛復數(shù)的運算性質,并能運用其解決實系數(shù)一元二次方程在復數(shù)范圍內(nèi)的解集問題.(邏輯推理、數(shù)學運算)
【自主預習】
1.復數(shù)的加、減運算類似于多項式的加、減運算,復數(shù)相乘是否類似于多項式相乘
2.復數(shù)的乘法法則是什么
3.復數(shù)a+bi(a,b∈R)的共軛復數(shù)如何表示 這兩個復數(shù)之積是實數(shù)還是虛數(shù)
4.復數(shù)的除法是乘法的逆運算嗎
5.(1) i2= ;i3= ;i4= .
(2)in的值會按周期出現(xiàn)嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復數(shù)加減乘除的混合運算法則是先乘除,再加減. ( )
(2)兩個共軛復數(shù)的和與積都是實數(shù). ( )
(3)若z1,z2∈C,且+=0,則z1=z2=0. ( )
2.復數(shù)(1+i)2(2+3i)的值為( ).
A.6-4i B.-6-4i
C.6+4i D.-6+4i
3.在復平面內(nèi),復數(shù)+(1+i)2對應的點位于( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.1+i+i2+i3+…+i2 025= .
【合作探究】
　復數(shù)的乘法運算法則
問題1:“計算(1-2i)(3+4i)”需要知道哪幾個問題
問題2:你能計算(1-2i)(3+4i)嗎 是如何計算的
問題3:復數(shù)的乘法與多項式的乘法有何不同
問題4:|z|2=z2,正確嗎
1.復數(shù)乘法的運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
則z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.復數(shù)乘法的運算律
對任意復數(shù)z1,z2,z3∈C,有
交換律 z1z2=z2z1
結合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法對加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
計算下列各題:
(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
【方法總結】(1)兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算步驟
①按多項式的乘法展開;
②將i2換成-1;
③進行復數(shù)的加、減運算.
(2)常用公式
①(a±bi)2=a2-b2±2abi(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=( ).
A.2-13i B.13+2i
C.13-13i D.-13-2i
　復數(shù)的除法運算法則
類比根式除法的分母有理化,比如=,探究復數(shù)的除法法則.
問題1:類比上述根式運算,你能寫出復數(shù)的除法法則嗎
問題2:復數(shù)除法的實質是分母實數(shù)化,即把分子和分母同乘一個什么樣的數(shù)
復數(shù)除法的運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0,且a,b,c,d∈R),
則==+i.
(1)實數(shù)化:分子、分母同乘分母的共軛復數(shù),化簡后即得結果,這個過程實際上就是把分母實數(shù)化,這與根式除法的分母有理化相類似.
(2)代數(shù)式:注意最后結果要將實部、虛部分開.
知識拓展:虛數(shù)單位i的乘方
計算復數(shù)的乘積要用到復數(shù)單位i的乘方,i有如下性質:
i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i;i4n=1(n∈N*).
特別提醒:①上述公式說明i的冪具有周期性,且最小正周期是4.
②n可推廣到整數(shù)集.
③4k(k∈Z)是i的周期.
④與i有關的幾個結論:
(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i.
(1)已知z=,則z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為( ).
A.-,1 B.,1
C.,-1 D.1,
(2)(2023年新高考全國Ⅰ卷)已知z=,則z-=( ).
A.-i B.i C.0 D.1
【方法總結】(1)兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法運算步驟
①將除式寫為分式;
②將分子、分母同乘分母的共軛復數(shù);
③將分子、分母分別進行乘法運算,并將其化為復數(shù)的代數(shù)形式.
(2)常用公式
①=-i;②=i;③=-i.
(1)設復數(shù)z滿足=i,則|z|=( ).
A.1 B. C. D.2
(2)計算:①;②.
　復數(shù)運算的綜合問題
問題1:若z=,則z是什么數(shù) 這個性質有什么作用
問題2:若z≠0且z+=0,則z是什么數(shù) 這個性質有什么作用
問題3:三個實數(shù)|z|,||,z·具有怎樣的關系
問題4:在復數(shù)范圍內(nèi),如何求方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0,Δ<0)的根
1.i的乘方具有周期性
i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
2.(1±i)2=±2i,=i,=-i.
3.復數(shù)的模與共軛復數(shù)的關系:z·=|z|2=||2.
4.在復數(shù)范圍內(nèi),實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
(1)當Δ≥0時,x=;
(2)當Δ<0時,x=.
(改編)已知x=1+i是方程x2+bx-ci6=0的一個根(b,c為實數(shù)).
(1)求b,c的值;
(2)試判斷x=1-i是不是此方程的根.
【方法總結】(1)當題目中含比較復雜的復數(shù)運算時,可先按復數(shù)的四則運算法則進行運算,注意復數(shù)的周期性的應用;(2)當涉及實系數(shù)一元二次方程根的問題時,注意虛根會成對出現(xiàn).
已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虛數(shù)單位)是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的兩個根,求實數(shù)p,q的值.
【隨堂檢測】
1.(2023年新高考全國Ⅱ卷)在復平面內(nèi),(1+3i)(3-i)對應的點位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.復數(shù)=( ).
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
3.在復平面內(nèi),復數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知3i-2是關于x的方程2x2+px+q=0的一個根,求實數(shù)p,q的值.
參考答案
課時2　復數(shù)的乘、除運算
自主預習·悟新知
預學憶思
1.是.
2.設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
3.復數(shù)a+bi的共軛復數(shù)可表示為a-bi,因為(a+bi)·(a-bi)=a2+b2,所以兩個共軛復數(shù)之積為實數(shù).
4.是.
5.(1)-1;-i;1.
(2)會按周期出現(xiàn),且最小正周期是4.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.D　【解析】(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.故選D.
3.B　【解析】+(1+i)2=i++1-3+2i=-++2i,對應點的坐標為-,+2,該點位于第二象限.
4.1+i　【解析】因為i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i-1-i+1=0,
所以1+i+i2+i3+…+i2 025=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+i2 025=1+i506×4+1=1+i.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1:(1)實數(shù)與純虛數(shù)如何相乘;(2)純虛數(shù)與純虛數(shù)如何相乘;(3)復數(shù)的四則運算法則.
問題2:能,類比多項式乘多項式.
問題3:復數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的,有一點不同即必須在所得結果中把i2換成-1,再把實部、虛部分別合并.
問題4:不正確.例如,|i|2=1,而i2=-1.
新知運用
例1　【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i
=53+23i.
鞏固訓練　D　【解析】(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.
探究2　情境設置
問題1:能,==+i(c+di≠0,且a,b,c,d∈R).
問題2:進行復數(shù)的除法運算時,分子、分母同乘分母的共軛復數(shù).
新知運用
例2　(1)B　(2)A　【解析】(1)由題意得z====+i,
所以z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為,1.
故選B.
(2)因為z====-i,所以z-=-i.故選A.
鞏固訓練　(1)A　【解析】(1)由=i,得1+z=i(1-z)=i-zi,
則z====i,
故|z|=1.
(2)①===1-i.
②===-1-3i.
探究3　情境設置
問題1:z= z∈R,利用這個性質可證明一個復數(shù)為實數(shù).
問題2:若z≠0且z+=0,則z為純虛數(shù),利用這個性質,可證明一個復數(shù)為純虛數(shù).
問題3:設z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,
所以|z|=,||==,
z·=(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2,
所以|z|2=||2=z·.
問題4:該方程可化為x2+x+=0,配方得x+2=-==,
所以x=-±i=-±i.
新知運用
例3　【解析】(1)方程x2+bx-ci6=0,即x2+bx+c=0,
因為1+i是方程x2+bx+c=0的一個根,
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,
所以解得
(2)由(1)知方程可化為x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程,則x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,
顯然方程成立,所以x=1-i也是此方程的根.
鞏固訓練　【解析】由根與系數(shù)的關系可得
即
因為p,q均為實數(shù),所以
解得從而有
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】因為(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,
所以所求復數(shù)對應點的坐標為(6,8),該點位于第一象限.
故選A.
2.A　【解析】===1+i.
3.D　【解析】z===1+i,其共軛復數(shù)為1-i,對應的點的坐標為(1,-1),該點位于第四象限.
4.【解析】∵3i-2是方程2x2+px+q=0的一個根,
∴-3i-2是該方程的另一個根,
∴解得7.2 課時1 復數(shù)的加、減運算及幾何意義
【學習目標】
1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減法運算法則,能熟練地運用復數(shù)的加、減法運算法則進行復數(shù)的運算.(數(shù)學運算)
2.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義,能解決相關的問題.(直觀想象)
【自主預習】
1.多項式的加、減運算實質是合并同類項,類比思考:復數(shù)z1=1+2i與z2=3+i如何加減
2.兩個實數(shù)之和仍是一個實數(shù),兩個復數(shù)之和仍是一個復數(shù),那么兩個虛數(shù)之和仍是一個虛數(shù)嗎
3.復數(shù)的加法滿足交換律和結合律嗎
4.怎樣作出與復數(shù)z1-z2對應的向量
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個虛數(shù)的和或差可能是實數(shù). ( )
(2)在進行復數(shù)的加法時,實部與實部相加得實部,虛部與虛部相加得虛部. ( )
(3)復數(shù)與復數(shù)相加減得到的結果只能是實數(shù). ( )
(4)復數(shù)的加法不可以推廣到多個復數(shù)相加的情形. ( )
2.已知復數(shù)z+3i-3=3-3i,則z=( ).
A.0 B.6i C.6 D.6-6i
3.在復平面內(nèi),向量對應的復數(shù)是5-4i,向量對應的復數(shù)是-5+4i,則+對應的復數(shù)是( ).
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
4.復數(shù)z1=a+4i,z2=3+bi(a,b∈R),若它們的和z1+z2為實數(shù),差z1-z2為純虛數(shù),則= .
【合作探究】
　復數(shù)的加、減運算
隨著生產(chǎn)發(fā)展的需要,我們將數(shù)的范圍擴展到了復數(shù).運算是“數(shù)”的主要功能,復數(shù)不同于實數(shù),它是由實部、虛部兩部分復合構造而成的整體.
問題1:復數(shù)如何進行加、減運算呢
問題2:類比多項式的加、減運算,想一想復數(shù)又如何進行加、減運算
問題3:兩個復數(shù)的和或差得到的結果是什么
問題4:復數(shù)的加法法則可以推廣到多個復數(shù)相加的情形嗎
1.復數(shù)加、減法的運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數(shù),則z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
2.復數(shù)的加法運算律
對任意z1,z2,z3∈C,有
(1)交換律:z1+z2=z2+z1.
(2)結合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3.兩個復數(shù)相加就是這兩個復數(shù)的實部與實部相加,虛部與虛部相加.復數(shù)的加法可以推廣到多個復數(shù)相加的情形.
(1)計算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
(2)設z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2.
【方法總結】解決復數(shù)加、減運算的思路
兩個復數(shù)相加(減),就是把兩個復數(shù)的實部相加(減),虛部相加(減).復數(shù)的減法是加法的逆運算.當多個復數(shù)相加(減)時,可將這些復數(shù)的所有實部相加(減),所有虛部相加(減).
計算:(a+bi)-(2a-3bi)-3i= (a,b∈R).
已知復數(shù)z滿足|z|+z=1+3i,則z= .
　復數(shù)加法、減法的幾何意義
我們知道向量加、減運算的幾何意義是三角形法則、平行四邊形法則.你能說出復數(shù)加、減的幾何意義嗎
問題1:類比絕對值|x-x0|的幾何意義,|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是什么
問題2:復數(shù)與復平面內(nèi)的向量一一對應,你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復數(shù)加法的幾何意義嗎
　　如圖所示,設復數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為,,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是,與z1-z2對應的向量是.
如圖所示,平行四邊形OABC的頂點O,A,C對應的復數(shù)分別是0,3+2i,-2+4i.求:
(1)對應的復數(shù);
(2)對應的復數(shù);
(3)對應的復數(shù).
【方法總結】復數(shù)與向量的對應關系的兩個關注點
(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是與以原點為起點,Z(a,b)為終點的向量一一對應的;
(2)一個向量可以平移,其對應的復數(shù)不變,但是其起點與終點所對應的復數(shù)可能改變.
已知在平行四邊形ABCD中,與對應的復數(shù)分別是3+2i與1+4i,兩對角線AC與BD相交于點O.求:
(1)對應的復數(shù);
(2)對應的復數(shù).
　復數(shù)模的最值問題
問題1:在復平面內(nèi),滿足|z|=1的所有復數(shù)z對應的點組成什么圖形
問題2:在復平面內(nèi),若|z-1|=|z+1|,則復數(shù)z對應的點組成什么圖形
1.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示的是復平面內(nèi)對應的點Z(a,b)到原點的距離,它是實數(shù)的絕對值概念的擴充,因此有|z|≥0,并且絕對值具有的某些性質可以推廣到復數(shù)的模.
2.兩個復數(shù)的差的模就是復平面內(nèi)這兩個復數(shù)對應的兩點之間的距離.設復平面內(nèi)任意兩點A,B所對應的復數(shù)分別為z1,z2,則|z1-z2|=|AB|.運用這個性質,可以通過數(shù)形結合的方法解決有關問題.
若復數(shù)z滿足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
【方法總結】|z1-z2|表示z1,z2在復平面內(nèi)對應的兩點之間的距離.利用此性質,可把復數(shù)模的問題轉化為復平面內(nèi)兩點間的距離問題,再利用數(shù)形結合,把復數(shù)問題轉化為幾何圖形問題求解.
設復數(shù)z滿足|z+1|=|z-i|(i為虛數(shù)單位),則|z-i|的最小值為 .
【隨堂檢測】
1.復數(shù)(1-i)-(2+i)+3i等于( ).
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
2.已知復數(shù)z1=3+i,z2=1-i,則z1-z2在復平面內(nèi)對應的點位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O.若向量,對應的復數(shù)分別是3+i,-1+3i,則對應的復數(shù)是( ).
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
4.若復數(shù)z滿足|z-i|=3,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z的軌跡所圍成的圖形的面積為 .
參考答案
7.2　復數(shù)的四則運算
課時1　復數(shù)的加、減運算及幾何意義
自主預習·悟新知
預學憶思
1.類比多項式合并同類項,兩個復數(shù)相加減就是其實部與實部、虛部與虛部分別相加減,即(1+2i)+(3+i)=4+3i,(1+2i)-(3+i)=-2+i.
2.不一定,如i+(-i)=0.
3.滿足.
4.z1-z2可以看作z1+(-z2),再根據(jù)其在復平面內(nèi)的坐標作出對應的向量.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.D　【解析】∵z+3i-3=3-3i,∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.
3.C　【解析】+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),故+對應的復數(shù)為0.
4.5　【解析】因為z1+z2=a+4i+3+bi=(a+3)+(b+4)i為實數(shù),所以b=-4.
因為z1-z2=(a-3)+(4-b)i為純虛數(shù),所以a=3.
故===5.
合作探究·提素養(yǎng)
探究1　情境設置
問題1:類比向量加、減的坐標運算進行運算.
問題2:兩個復數(shù)相加(減)就是把實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a,b,c,d∈R).
問題3:結果仍然是復數(shù).
問題4:可以.
新知運用
例1　【解析】(1)原式=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.
(2)因為z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,
所以(3+x)+(2-y)i=5-6i,
所以所以
所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
鞏固訓練1　-a+(4b-3)i　【解析】(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.
鞏固訓練2　-4+3i　【解析】設z=x+yi(x,y∈R),則|z|=,
所以|z|+z=(+x)+yi=1+3i,
所以解得
所以z=-4+3i.
探究2　情境設置
問題1:|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是復平面內(nèi)點Z到點Z0之間的距離.
問題2:能.設,分別與復數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)對應,
則=(a,b),=(c,d).
由平面向量的坐標運算,
得+=(a+c,b+d),
所以+與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應,復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行.
新知運用
例2　【解析】(1)因為=-,
所以對應的復數(shù)為-3-2i.
(2)因為=-,
所以對應的復數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因為=+,
所以對應的復數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
鞏固訓練　【解析】(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以=+,所以=-.
因為(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
所以對應的復數(shù)是-2+2i.
(2)因為=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,
所以對應的復數(shù)是5.
探究3　情境設置
問題1:滿足|z|=1的所有復數(shù)z對應的點在以原點為圓心,1為半徑的圓上.
問題2:設復數(shù)z對應的點為Z,∵|z-1|=|z+1|,∴點Z到點(1,0)和(-1,0)的距離相等,即點Z在以(1,0)和(-1,0)為端點的線段的中垂線上.
新知運用
例3　【解析】Z表
示復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點,因為滿足|z++i|≤1的點Z的集合是以M(-,-1)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部,如圖所示,而|z|表示點Z到原點O的距離,||==2,所以|z|max=||=2+1=3,|z|min=||=2-1=1.
鞏固訓練　　【解析】設z=a+bi,a,b∈R.
∵|z+1|=|z-i|,∴|a+1+bi|=|a+(b-1)i|,
∴(a+1)2+b2=a2+(b-1)2,化簡得a=-b,
∴|z-i|=|a+(b-1)i|===,
∴當b=時,|z-i|min=.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故選A.
2.A　【解析】∵z1-z2=(3+i)-(1-i)=2+2i,∴z1-z2在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限.
3.D　【解析】在平行四邊形ABCD中,==-=3+i-(-1+3i)=4-2i.故選D.
4.9π　【解析】由條件知|z-i|=3,所以點Z的軌跡是以點(0,1)為圓心,3為半徑的圓,故其面積S=9π.

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