資源簡介

7.3 課時2 復數乘、除運算的三角表示及幾何意義
【學習目標】
1.了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.(直觀想象)
2.會進行復數三角形式的乘、除運算.(數學運算)
【自主預習】
1.復數的代數形式的加法和乘法運算的法則是什么
2.復數乘法能表示成三角形式嗎
3.復數除法能表示成三角形式嗎
4.你能解釋i2=-1的幾何意義嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個復數相乘,積的模等于兩個復數的模的積,積的輻角等于兩個復數的輻角的積. ( )
(2)兩個復數相除(除數不為0),就是把模相除作為商的模,輻角相減作為商的輻角. ( )
(3)兩個非零復數相乘(除),積(商)還是一個復數.( )
(4)若復數z1,z2對應的向量分別為,,輻角分別為θ1,θ2,當θ2>0時,把向量繞點O按順時針方向旋轉角θ2,旋轉后向量對應的復數的輻角等于積z1z2的輻角. ( )
2.4(cos 160°+isin 160°)÷[2(cos 10°+isin 10°)]=( ).
A.+i B.-+i
C.2+i D.-2+i
3.若z=cos 30°+isin 30°,則arg z2=( ).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
4.復數z=cos +isin 是方程x5-a=0的一個根,那么a的值等于( ).
A.+i B.+i
C.-i D.--i
【合作探究】
　復數三角形式的乘法
設z=1-i在復平面內對應的向量為,將繞原點按逆時針方向旋轉30°.
問題1:上述旋轉所得向量對應的復數是什么
問題2:上述問題如何求解 將1-i化為三角函數能求解嗎
問題3:若復數z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根據復數的乘法運算法則計算z1z2,并將結果表示成三角形式嗎
設z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],
這就是說,兩個復數相乘,積的模等于各復數的模的積,積的輻角等于各復數的輻角的和.
幾何意義:兩個復數z1,z2相乘,可以在復平面內先分別畫出與z1,z2對應的向量,,然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角θ2(如果θ2<0,就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|),再把它的模變為原來的r2倍,得到向量,表示的復數就是z1z2.
計算下列各式:
(1)16cos+isin×4cos+isin;
(2)3(cos 20°+isin 20°)[2(cos 50°+isin 50°)]×[10(cos 80°+isin 80°)];
(3)(-1+i) .
【方法總結】復數三角形式乘法運算的方法
(1)直接利用復數三角形式的乘法法則:模相乘,輻角相加.
(2)若遇到復數的代數形式與三角形式混合相乘時,需先將復數統一成代數形式或三角形式,然后進行復數的代數形式相乘或三角形式相乘.
將復數1+i在復平面內對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉,得到的向量為,那么對應的復數是( ).
A.2i　　　 B.i
C.+i　　　 D.+i
(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)=( ).
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
　復數三角形式的除法
我們知道復數除法是乘法的逆運算,除以一個數等于乘這個數的倒數,復數三角形式的除法如何由復數三角形式的乘法運算得到呢
問題:設z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,z2≠0,類比復數三角形式的乘法,能得出嗎
　　設z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,z2≠0,則==[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
這就是說,兩個復數相除,商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.
幾何意義:兩個復數z1,z2相除,可以在復平面內先畫出z1,z2對應的向量,,將向量按順時針方向旋轉角θ2(若θ2<0,則按逆時針方向旋轉角|θ2|),再把模變為原來的,所得向量就表示商.
復數除法的實質是向量的旋轉和伸縮.
計算(1+i)÷.
【方法總結】(1)商的模等于被除數的模除以除數的模,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角.
(2)結果一般保留代數形式.
(3)商的輻角的主值不一定等于被除數的輻角的主值減去除數的輻角的主值所得的差.實際上,arg可由arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z)求得.
(原創)復數2cos +isin ÷4(cos π+isin π)的三角形式的輻角主值是( ).
A.-　　　 B.　　　 C.　　　 D.-
8i÷2(cos 45°+isin 45°)= .
【隨堂檢測】
1.已知復數z1=cos+isin,z2=cos+isin,則z1z2的代數形式是( ).
A.cos+isin
B.cos+isin
C.-i
D.+i
2.在復平面內,把與復數a+bi(a,b∈R)對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉90°后所得向量對應的復數為( ).
A.a-bi B.-a+bi C.b-ai D.-b+ai
3.復數(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是( ).
A.sin 30°+icos 30°
B.cos 160°+isin 160°
C.cos 30°+isin 30°
D.sin 160°+icos 160°
4.計算:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)= .
參考答案
課時2　復數乘、除運算的三角表示及幾何意義
自主預習·悟新知
預學憶思
1.設a,b,c,d∈R,則(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.能.r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
3.能.=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
4.能.幾何意義是將i在復平面內對應的向量繞點O按照逆時針方向旋轉,得到-1在復平面內對應的向量.
自學檢測
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.B　【解析】4(cos 160°+isin 160°)÷[2(cos 10°+isin 10°)]=2(cos 150°+isin 150°)=2-+i=-+i.
3.B　【解析】因為z2=(cos 30°+isin 30°)2=cos 60°+isin 60°,
所以arg z2=60°.故選B.
4.B　【解析】由題意得,a=cos +isin 5=cos +isin =+i.故選B.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:由題意所得向量對應的復數為(1-i)·(cos 30°+isin 30°).
問題2:把cos 30°+isin 30°化為+i,然后根據復數代數形式的運算法則求解.能.
問題3:能.z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)
=r1r2(cos θ1+isin θ1)·(cos θ2+isin θ2)
=r1r2[(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)]
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
新知運用
例1　【解析】(1)原式=16×4cos++isin+
=64cos+isin
=64cos+isin
=64+i=32+32i.
(2)原式=6(cos 70°+isin 70°)[10(cos 80°+isin 80°)]
=60(cos 150°+isin 150°)
=60-+i=-30+30i.
(3)(法一)∵復數-1+i的模r=,cos θ=-,sin θ=,∴θ=.
原式=cos+isin
=
=cos+isin=cos+isin=i.
(法二)cos+isin
=-i=-i,
原式=(-1+i)-i
=-+++i=i.
鞏固訓練1　B　【解析】復數1+i的三角形式是cos +isin ,向量對應的復數是cos +isin ×cos +isin =cos +isin =i,故選B.
鞏固訓練2　C　【解析】(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)
=×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°)]
=3(cos 135°+isin 135°)
=3-+i
=-+i.
故選C.
探究2　情境設置
問題:能.=
=(cos θ1+isin θ1)·[cos(-θ2)+isin(-θ2)]
=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
新知運用
例2　【解析】因為1+i=cos+isin,
所以原式=
=
=
=(0-i)
=-i.
鞏固訓練1　B　【解析】因為2cos +isin ÷4(cos π+isin π)
=cos-π+isin-π
=cos-+isin-
=cos +isin ,
所以2cos +isin ÷4(cos π+isin π)的三角形式的輻角主值為.
鞏固訓練2　2+2i　【解析】8i÷2(cos 45°+isin 45°)
=8(cos 90°+isin 90°)÷2(cos 45°+isin 45°)
=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]
=4(cos 45°+isin 45°)
=2+2i.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】z1z2=×
=cos+isin=+i=+i.
2.C　【解析】所求復數為==-(a+bi)i=b-ai.
3.B　【解析】(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=(cos 80°+isin 80°)(cos 80°+isin 80°)=cos 160°+isin 160°.
4.+i　【解析】(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=cos 30°+isin 30°=+i.7.3 課時1 復數的三角表示式
【學習目標】
1.通過復數的幾何意義,了解復數的三角表示式.(數學抽象)
2.了解復數的輻角及輻角的主值的含義.(數學抽象)
3.了解復數的代數表示與三角表示之間的關系.(邏輯推理)
【自主預習】
1.復數的輻角有怎樣的特征
2.你能根據復數的三角形式解釋i2=-1的幾何意義嗎
3.任何一個不為零的復數的輻角有多少個值
4.復數的輻角的主值有多少個值
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復數的輻角是唯一的. ( )
(2)z=cos θ-isin θ是復數的三角形式. ( )
(3)z=-2(cos θ+isin θ)是復數的三角形式. ( )
(4)復數z=cos π+isin π的模是1,輻角的主值是π. ( )
2.復數sin 40°-icos 40°的輻角的主值是( ).
A.-40° B.310° C.50° D.130°
3.復數z=-+i的三角形式為( ).
A.2cos +isin B.2cos -isin
C.2cos +isin D.2cos +isin
4.復數z=cos-+isin-的代數形式為 .
【合作探究】
　復數的三角表示式
我們知道asin x+bcos x=sin(x+φ)tan φ=,而復數的代數形式z=a+bi(a,b∈R),由此聯想z的三角表示式.
問題1:你能類比上述三角變換,推出復數的三角形式嗎
問題2:若角θ的頂點在坐標原點,始邊為x軸的非負半軸,已知終邊上一點P(x,y),如何表示角θ的三角函數
　　定義:一般地,任何一個復數z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r=;θ是以x軸的非負半軸為始邊,向量所在射線(射線OZ)為終邊的角,叫作復數z=a+bi的輻角.r(cos θ+isin θ)叫作復數z=a+bi的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區分開來,a+bi叫作復數的代數表示式,簡稱代數形式.
復數三角形式的特點口訣:
“模非負,角相同,余弦前,加號連”.
一、將復數的代數形式化為三角形式
將復數+i化成三角形式.
【方法總結】將復數的代數形式轉化為三角形式的步驟
(1)求復數的模;
(2)確定輻角所在的象限;
(3)根據象限求出輻角;
(4)寫出復數的三角形式.
下列式子是復數三角形式的是( ).
A.cos -isin
B.-cos +isin
C.sin +icos
D.cos +isin
復數z=-i的三角形式為( ).
A.2cos +isin
B.2cos -isin
C.2cos -isin
D.2cos +isin
二、將復數的三角形式化為代數形式
復數z=cos +isin 的代數形式為( ).
A.+i B.-+i
C.--i D.-i
【方法總結】將復數的三角形式化為代數形式的方法:復數的三角形式為z=r(cos A+isin A),代數形式為z=x+yi(x,y∈R),對應的實部等于實部,虛部等于虛部,故x=rcos A,y=rsin A.
復數cos +isin 的代數形式為 .
　輻角的主值
問題1:我們知道復數z的輻角是θ+2kπ(k∈Z),而三角函數是周期函數,且正弦函數、余弦函數的最小正周期都是2π,那么如何確定輻角的主值的取值范圍呢
問題2:一個復數的輻角的主值是唯一的嗎
問題3:一個復數的三角形式是唯一的嗎
1.定義及表示:在[0,2π)范圍內的輻角θ的值為輻角的主值,通常記作arg z,即0≤arg z<2π.
2.唯一性:復數z的輻角的主值是確定唯一的.
特別注意:(1)任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值,且這些值相差2π的整數倍;
(2)復數0的輻角是任意的;
(3)當且僅當兩個非零復數的模與輻角的主值分別相等時,兩復數相等.
(1)求復數z=cos -isin 的輻角的主值;
(2)求復數z=(1-i)的輻角的主值.
【方法總結】求復數輻角主值的步驟:
1.先把所給復數化成三角形式;
2.確定所給復數在復平面內對應的點所在的象限;
3.利用復數輻角的定義、三角變換等求出復數輻角的主值.
求復數z=3sin-icos的輻角的主值.
【隨堂檢測】
1.-6的輻角的主值為( ).
A.0 B. C.π D.-
2.下列復數中,是用三角形式表示的是( ).
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin(-α)]
3.復數1+i的三角形式為 .
4.復數z=,θ∈0,,求,arg z.
參考答案
7.3*　復數的三角形式
課時1　復數的三角表示式
自主預習·悟新知
預學憶思
1.任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值,且這些值相差2π的整數倍.對于復數0,因為它對應著零向量,而零向量的方向是任意的,所以復數0的輻角也是任意的.
2.能.i本身可以用復平面內y軸上的點(0,1)表示.而i2=i·i表示把y軸上的點(0,1)繞原點逆時針旋轉90°,此時點(0,1)就變為x軸上的點(-1,0).
3.輻角有無限多個值,這些值相差2π的整數倍.
4.輻角的主值只有一個值,在[0,2π)范圍內.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】因為復數sin 40°-icos 40°=cos 310°+isin 310°,所以該復數的輻角的主值是310°.故選B.
3.C　【解析】復數z=-+i在復平面內所對應的點的坐標為(-,1),該點位于第二象限,
則r==2,所以cos θ=-,所以θ=,即arg(-+i)=,
所以z=-+i=2cos +isin .故選C.
4.1-i　【解析】z=cos-+isin-=cos -isin =-i=1-i.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:能.a+bi=+i,
令=cos θ,=sin θ,r=,則a+bi=r(cos θ+isin θ).
問題2:設r=|OP|=,則cos θ=,sin θ=,tan θ=.
新知運用
例1　【解析】因為r==2,所以cos θ=.
又該復數在復平面內對應的點在第一象限,所以復數+i的輻角可以為,
故+i=2cos +isin .
鞏固訓練1　D　【解析】選項A中,cos與isin之間用“-”連接,不是用“+”連接;選項B中,-<0不符合r≥0的要求;選項C中,sin 與icos 用“+”連接,但不是cos +isin 的形式.故A,B,C均不是復數的三角形式.故選D.
鞏固訓練2　D　【解析】因為r=2,所以cos θ=,又復數z=-i在復平面內對應的點位于第四象限,所以-i的輻角可以為,故z=-i=2cos +isin .
例2　B　【解析】z=cos +isin =cos +isin =×-+i×=-+i.
鞏固訓練　1-i　【解析】cos +isin
=cos π++isinπ+
=-cos -isin
=-i=1-i.
探究2　情境設置
問題1:輻角的主值的取值范圍為[0,2π).
問題2:是.
問題3:不是,一般情況下,復數的三角形式的輻角常取它的主值,這使表達式簡便,且便于運算,但三角形式的輻角不一定取其主值.
新知運用
例3　【解析】(1)z=cos -isin =-i
=cos +isin ,
所以arg-i=.
(2)z=(1-i)=-i=cos +isin ,
所以arg-i=.
鞏固訓練　【解析】∵z=3-i=3cos+isin,
∴arg z=.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】-6=6(-1+0·i)=6(cos π+isin π),其輻角的主值為π.故選C.
2.D　【解析】復數的三角形式為z=r(cos α+isin α),其滿足的條件為①r≥0;②加號連接;③cos α在前,sin α在后;④α前后一致,可取任意值.故選D.
3.cos+isin　【解析】r=,cos θ==,
又因為1+i在復平面內對應的點位于第一象限,
所以arg(1+i)=.
所以1+i=cos+isin.
4.【解析】z=
=
=-sin θ+icos θ,
于是得==1,而z=cos +θ+isin +θ,且θ∈0,,則arg z=+θ.
故=1,arg z=+θ.

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