資源簡介

8.3 課時3 球的表面積和體積
【學習目標】
1.了解球的表面積與體積公式,并能利用它們求球的表面積及體積.(數學運算)
2.會求簡單組合體的表面積與體積.(數學運算)
【自主預習】
1.硬幣在桌面上快速旋轉,我們看到的圖形是什么
2.從旋轉的角度來分析,硬幣圍繞著它垂直于桌面的直徑所在的直線旋轉一周所形成的軌跡是什么 它的區域大小與哪個量有關
3.如何用球的半徑來表示球的體積和表面積
4.若要加大球體的體積,則球體的半徑會發生什么變化
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)球的體積是一個關于球的半徑的函數. ( )
(2)兩個球的半徑之比為1∶2,則其體積之比為1∶4. ( )
(3)球的表面積等于它的大圓面積的2倍. ( )
(4)球的表面積是球的體積的6倍. ( )
2.直徑為1的球的體積是( ).
A.1 B. C. D.π
3.兩個球的半徑之比為1∶3,那么兩個球的表面積之比為( ).
A.1∶9 B.1∶27
C.1∶3 D.1∶1
4.表面積為8π的球的半徑是 .
【合作探究】
　球的表面積與體積
從生活經驗中我們知道,不能將橘子皮展開成平面,因為橘子近似于球體,其外表皮近似于球面,這種曲面不能展開成平面圖形.那么,人們又是怎樣計算球面的面積的呢 古人在計算圓周率時,一般是用割圓術,即用圓的內接或外切正多邊形來逼近圓的周長.理論上,只要取得的圓內接正多邊形的邊數越多,圓周率就越精確,直到無窮.這種思想就是樸素的極限思想.
問題1:球面為什么不能展開成平面圖形
問題2:類比利用圓的周長求圓的面積的方法,我們可以利用球的表面積求球的體積.如圖,把球O的表面分成n個小網格,連接球心O和每個小網格的頂點,整個球體就被分割成n個“小錐體”.如此,我們可以得到球的體積公式是什么
問題3:求球的表面積和體積需要什么條件
1.球的表面積
設球的半徑為R,則球的表面積S=4πR2,即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.
2.球的體積
設球的半徑為R,則球的體積V=πR3.
一、球的表面積和體積
(1)已知球的表面積為64π,求它的體積;
(2)已知球的體積為,求它的表面積.
【方法總結】計算球的表面積和體積的關鍵是確定球的半徑.
將一個底面半徑為3,高為4的圓柱形鐵塊熔化為鐵水,恰好制成一個實心鐵球,則該實心鐵球的半徑是( ).
A.2 B.3 C.4 D.6
二、球的截面問題
如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時,測得水深為6 cm,若不計容器厚度,則球的體積為 .
【方法總結】
球的截面問題的解題技巧:(1)有關球的截面問題,常畫出過球心的截面圓,將問題轉化為平面中圓的問題;(2)解題時要注意借助球的半徑R,截面圓的半徑r,球心到截面的距離d構成的直角三角形,即R2=d2+r2.
平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為 .
三、球的切、接問題
(1)若長方體的三個相鄰面的面積分別是8,8,16,則該長方體外接球的體積為( ).
A.24π B.32π
C.36π D.48π
(2)一個正四棱柱的每個頂點都在球O的球面上,且該四棱柱的底面面積為3,高為,則球O的體積為( ).
A.16π B. C.10π D.
【方法總結】(1)正方體的內切球:球與正方體的六個面都相切,稱球為正方體的內切球,若正方體的棱長為a,則內切球的半徑r1=,過在一個平面上的四個切點作截面,如圖1.
(2)長方體的外接球:長方體的八個頂點都在球面上,稱球為長方體的外接球,根據球的定義可知,長方體的體對角線是球的直徑,若長方體過同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,過球心作長方體的體對角線,則球的半徑r2=,如圖2.
(3)正四面體的外接球:正四面體的棱長a與外接球半徑R的關系為R=a.
已知棱長為2的正四面體的各條棱都與同一球面相切,則該球的表面積為( ).
A.4π B.2π
C. D.π
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,∠BAC=,則該三棱柱外接球的體積為 .
四、幾何體的內切球
(2020年全國Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積為 .
【方法總結】求解幾何體的內切球問題,一般要先確定球心,再把半徑放入到過球心的截面中加以求解,即將空間幾何問題轉化為平面幾何問題.
如圖,已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球,則平面ACD1截球O的截面面積為( ).
A. B.
C. D.
【隨堂檢測】
1.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球,則該球的體積為( ).
A. B. C. D.
2.正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為( ).
A. B.16π C.9π D.
3.若一個圓柱的底面半徑為1,側面積為10π,球O是該圓柱的外接球,則球O的表面積為 .
4.若一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍,則圓錐的側面積S1和球的表面積S2之比為 .
參考答案
課時3　球的表面積和體積
自主預習·悟新知
預學憶思
1.球體.
2.球體.區域大小只與硬幣的半徑有關.
3.球的體積和表面積公式:半徑是R的球的體積V球=πR3,表面積S=4πR2.
4.球體的半徑變大.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　【解析】半徑R=,故體積V=πR3=×π×=.
3.A　【解析】設兩個球的半徑分別為r,3r,則表面積的比值為=.故選A.
4.　【解析】S=4πR2=8π,解得R=.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:球沒有底面,球的表面不能展開成平面圖形.
問題2:當n越大,每個小網格越小時,每個“小錐體”的底面就越平,“小錐體”就越近似于棱錐,其高越近似于球的半徑R.設O-ABCD是其中一個“小錐體”,它的體積是VO-ABCD≈S四邊形ABCD·R.
由于球的體積就是這n個“小錐體”的體積之和,而這n個“小錐體”的底面積之和就是球的表面積.因此,V球=S球·R=×4πR2·R=πR3.
由此,我們得到V球=πR3.
問題3:已知球的半徑即可.
新知運用
例1　【解析】(1)設球的半徑為R,則4πR2=64π,解得R=4,
所以球的體積V=πR3=π×43=.
(2)設球的半徑為R,則πR3=,解得R=5,
所以球的表面積S=4πR2=4π×52=100π.
鞏固訓練　B　【解析】由題意,可得圓柱的體積V=πr2h=π×32×4=36π,設該實心鐵球的半徑為R,則πR3=36π,解得R=3.
例2　 cm3　【解析】
如圖,作出球的一個截面,則MC=8-6=2(cm),
BM=AB=×8=4(cm).
設球的半徑為R cm,則R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,
解得R=5,所以V球=π×53=(cm3).
鞏固訓練　4π　【解析】如
圖,設截面圓的圓心為O',M為截面圓上任意一點,則OO'=,O'M=1,所以OM==,
即球的半徑為,
所以V=π()3=4π.
例3　(1)C　(2)B　【解析】(1)設長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則ab=16,bc=8,ac=8,解得a=b=4,c=2,所以長方體外接球的半徑R==3,所以外接球的體積V=πR3=36π.故選C.
(2)設該正四棱柱的底面邊長為a,高為h,則a2=3,h=,解得a=,
所以該正四棱柱的體對角線為球O的直徑.設球O的半徑為R,所以2R===4,即R=2,所以球O的體積為×23=.故選B.
鞏固訓練1　A　【解析】如
圖所示,在棱長為2的正方體中構造棱長為2的正四面體A-BCD,顯然正四面體的棱切球為正方體的內切球,故球的半徑r=1,則該球的表面積S=4πr2=4π.
鞏固訓練2　　【解析】由正弦定理可知,棱柱底面△ABC的外接圓的直徑2r==4,則r=2,所以該三棱柱外接球的半徑R==,所以該三棱柱外接球的體積V=πR3=.
例4　　【解析】易知圓錐內半徑最大的球為該圓錐的內切球,
如圖,圓錐母線BS=3,底面半徑BC=1,則其高SC==2.
不妨設該內切球O與母線BS切于點D,令OD=OC=r,由△SOD∽△SBC,得=,即=,解得r=,
所以圓錐內半徑最大的球的體積V=πr3=.
鞏固訓練　C　【解析】平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內切圓,如圖.
∵正方體的棱長為1,∴AC=CD1=AD1=.
∴內切圓的半徑r=AE·tan 30°=×=.
∴截面的面積S=πr2=π×=.故選C.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】由題意知,此球是正方體的內切球,根據其幾何特征知,此球的直徑與正方體的棱長相等,故可得球的直徑為2,所以球的半徑為1,所以其體積為×π×13=.
2.A　【解析】如
圖,設球心為O,球的半徑為r,則在Rt△AOE中,(4-r)2+()2=r2,解得r=,∴該球的表面積為4πr2=4π×=.
3.29π　【解析】設圓柱的高為h,其外接球的半徑為R,因為圓柱的底面半徑為1,側面積為10π,所以2πh=10π,解得h=5.由圓柱和球的對稱性可知,球心位于圓柱上下底面中心連線的中點處,所以R==,所以球的表面積S=4πR2=29π.
4.3∶2　【解析】畫
出軸截面,如圖所示,設球的半徑為r,則OD=r,PO=2r,∠PDO=90°,∴∠CPB=30°.又∠PCB=90°,∴CB=PC=r,PB=2r,∴圓錐的側面積S1=π×r×2r=6πr2,球的表面積S2=4πr2,∴S1∶S2=3∶2.8.3 課時2 圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
【學習目標】
1.了解圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的計算公式.(數學運算)
2.理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系,并能利用計算公式求出幾何體的表面積與體積.(數學運算)
【自主預習】
1.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是什么
2.圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式分別是什么
3.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)圓錐的側面展開圖為扇形,其中扇形的弧長為圓錐底面圓的周長. ( )
(2)若圓柱的底面圓的直徑與圓柱的高相等,則圓柱的側面展開圖是正方形. ( )
(3)錐體的體積公式V=Sh(S為底面面積,h為高).( )
(4)圓錐、圓臺的側面展開圖中的所有弧線都與相應底面的周長有關. ( )
2.圓臺的上、下底面半徑分別為3,4,母線長為6,則其表面積等于( ).
A.72 B.42π C.67π D.72π
3.已知圓錐的底面圓的面積為3π,側面展開圖為一個扇形,其面積為9π,則該圓錐的母線長為( ).
A.9 B. C.3 D.
4.一個高為2的圓柱的底面周長為2π,則該圓柱的表面積為 .
【合作探究】
　圓柱、圓錐、圓臺的表面積
問題1:回顧棱柱、棱錐、棱臺的表面積計算方法,你認為旋轉體圓柱、圓錐、圓臺的表面積又是怎樣計算的呢
問題2:我們已經知道圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖,如何計算它們的側面積呢
問題3:圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間有什么關系
　　與多面體的表面積一樣,圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它的各個面的面積和.
圖形 側面積與表面積公式
圓柱 側面積:S側= . 表面積:S=
圓錐 側面積:S側= . 表面積:S=
圓臺 側面積:S側= . 表面積:S=
如圖所示,在邊長為4的正△ABC中,E,F分別是AB,AC的中點,D為BC的中點,H,G分別是BD,CD的中點,若將正△ABC繞AD旋轉180°,求陰影部分形成的幾何體的表面積.
【方法總結】圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面,計算側面積時需要將這些曲面展開為平面圖形計算,而表面積是側面積與底面圓的面積之和.
已知一個圓柱的底面半徑為2,高為3,上底面的同心圓半徑為1,以這個圓面為上底面,圓柱下底面為下底面的圓臺被挖去,則剩余幾何體的表面積等于( ).
A.(9+3)π B.(14+3)π
C.(5+2)π D.(15+3)π
　圓柱、圓錐、圓臺的體積
下面兩圖為同一個健身啞鈴的結構圖,它是由兩個全等的大圓柱和中間一個連桿圓柱構成的,中間的連桿圓柱為實心.
問題1:你能計算出健身啞鈴的體積嗎
問題2:結合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式,你能將它們統一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎
1.圓柱的體積公式: (r是底面半徑,h是高).
2.圓錐的體積公式: (r是底面半徑,h是高).
3.圓臺的體積公式: (其中r',r分別是上、下底面的半徑,h是高).
(1)(多選題)已知圓柱的側面展開圖是長為12 cm,寬為8 cm的矩形,則這個圓柱的體積可能是( ).
A. cm3 B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
(2)某圓錐的軸截面是等腰直角三角形,側面積是16π,則該圓錐的體積是( ).
A. B.
C.64π D.128π
【方法總結】求幾何體的體積時,要注意利用好幾何體的軸截面,準確求出幾何體的高和底面積.
如圖所示,該圖形由一個矩形和一個扇形組合而成,其中矩形和扇形分別是一個圓柱的軸截面和一個圓錐的側面展開圖,且矩形的長為3,寬為2,扇形的圓心角為,半徑等于矩形的長,圓柱的高為3,則圓柱和圓錐的體積之比為( ).
A.72∶37 B.72∶35
C.72∶ D.72∶
【隨堂檢測】
1.將邊長為1的正方形以其一邊所在的直線為旋轉軸旋轉一周,所得幾何體的側面積是( ).
A.4π B.3π C.2π D.π
2.已知圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側面積為84π,則圓臺較小底面的半徑為( ).
A.7 B.6 C.5 D.3
3.如圖,在底面半徑為2,母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱,則圓錐過軸的截面面積、圓柱的底面半徑分別為( ).
A.2,1 B.4,2
C.2,2 D.4,1
4.《本草綱目》中記有麥門冬這一種藥物,書中所提麥門冬,別名麥冬,臨床可用于治療肺燥干咳、津傷口渴、喉痹咽病、陰虛勞嗽等.一個麥門冬可近似看作底面拼接在一起的兩個圓錐,如圖所示,則該麥門冬的體積約為 .
參考答案
課時2　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
自主預習·悟新知
預學憶思
1.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(大扇形截去小扇形余下的部分).
2.圓柱:S側=2πrl(r是底面半徑,l是母線長).圓錐:S側=πrl(r是底面半徑,l是母線長).圓臺:S側=πl(r+r')(r',r分別是上、下底面半徑,l是母線長).
3.V柱體=ShV臺體=(S'++S)hV錐體=Sh.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.C　【解析】S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.故選C.
3.C　【解析】設圓錐底面圓的半徑為r,圓錐的母線長為l,由題意可得解得所以該圓錐的母線長為3.
4.6π　【解析】由底面周長為2π,可得底面半徑為1,所以S底=2πr2=2π,S側=2πr·h=4π,所以S表=S底+S側=6π.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和,即側面積與底面積的和.圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它們的各個面的面積的和,即側面積與底面積的和.
問題2:根據它們的展開圖計算,圓柱的側面積利用矩形的面積公式計算,圓錐的側面積利用扇形的面積公式計算,圓臺的側面積利用大扇形面積減去小扇形面積計算.
問題3:當圓臺的上底面半徑等于下底面半徑時,圓臺的表面積公式為圓柱的表面積公式;當圓臺的上底面半徑等于0時,圓臺的表面積公式為圓錐的表面積公式.
新知生成
2πrl　2πr(r+l)　πrl　πr(r+l)　πl(r'+r)　π(r'2+r2+r'l+rl)
新知運用
例1　【解析】該旋轉體是一個圓錐挖去一個圓柱后形成的幾何體.
令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,
則R=2,r=1,l=4,h=.
所以圓錐的表面積S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,
圓柱的側面積S2=2πrh=2π×1×=2π.
所以所求幾何體的表面積S=S1+S2=12π+2π=(12+2)π.
鞏固訓練　D　【解析】剩余幾何體的表面積等于圓環的面積加上圓臺的側面積再加上圓柱的側面積,由題意知同心圓半徑r=1,圓柱底面半徑R=2,圓柱高h=3,所以圓環的面積S1=π(R2-r2)=3π,圓臺母線l===,所以圓臺的側面積S2=πl(R+r)=3π,圓柱的側面積S3=2πRh=12π,所以剩余幾何體的表面積等于S1+S2+S3=(15+3)π.
探究2　情境設置
問題1:根據圓柱的體積公式計算即可.
問題2:V柱體=Sh(S為底面積,h為柱體高),
V錐體=Sh(S為底面積,h為錐體高),
V臺體=(S'++S)h(S',S分別為上、下底面面積,h為臺體高).
新知生成
1.V圓柱=πr2h
2.V圓錐=πr2h
3.V圓臺=πh(r2+rr'+r'2)
新知運用
例2　(1)AB　(2)A　【解析】(1)當圓柱的高為8 cm時,V=π×2×8=(cm3);
當圓柱的高為12 cm時,V=π×2×12=(cm3).
(2)作圓錐的軸截面,如圖所示:
由題意知,在△PAB中,∠APB=90°,PA=PB.
設圓錐的高為h,底面半徑為r,則h=r,PB=r.
由S側=π·r·PB=16π,得πr2=16π,解得r=4,則h=4.
故圓錐的體積V圓錐=πr2h=.
鞏固訓練　D　【解析】因為矩形的長為3,寬為2,圓柱的高為3,所以圓柱的底面半徑為1,所以圓柱的體積為πr2h=π×12×3=3π.因為扇形的圓心角為,半徑等于矩形的長,所以半徑為3,根據弧長公式可以得到扇形的弧長為×2π×3=π.又扇形的弧長等于底面圓的周長,所以圓錐底面圓的半徑為=,所以根據勾股定理得到圓錐的高為=,所以圓錐的體積為×π×2×=,所以圓柱和圓錐的體積之比為3π∶=72∶.
隨堂檢測·精評價
1.C　【解析】易知該幾何體為圓柱,且底面圓半徑為1,母線長為1,故側面積S=2πrl=2π×1×1=2π.故選C.
2.A　【解析】設圓臺較小底面的半徑為r,則另一底面的半徑為3r.由S=π(r+3r)×3=84π,解得r=7.
3.D　【解析】圓錐的高h==2,圓錐過軸的截面面積為×4×2=4,設圓柱的底面半徑為r,由相似知識可得=,解得r=1.
4.　【解析】由題意可知麥門冬的體積為兩個底面直徑為2,高為4的圓錐的體積之和,
故該麥門冬的體積V=×π×12×4×2=.8.3 課時1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
【學習目標】
1.了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的計算公式.(數學運算)
2.理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系,并能利用計算公式求出幾何體的表面積與體積.(數學運算)
【自主預習】
1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積與其展開圖的面積都相等嗎
2.棱柱、棱錐、棱臺的表面積如何求
3.棱柱、棱錐、棱臺的體積公式分別是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖的面積就是它們的表面積. ( )
(2)棱錐的體積等于底面面積與高的積. ( )
(3)棱臺的體積可轉化為兩個棱錐的體積之差. ( )
(4)幾何體的平面展開方法可能不同,但其表面積是確定的. ( )
2.已知正四棱錐的底面邊長為2,高為3,則它的體積為( ).
A.2 B.4 C.6 D.12
3.已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,8,該棱臺的表面積為148,則側棱長為( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
4.已知正三棱柱的底面邊長為1,側棱長為2,則它的側面積為 ,表面積為 .
【合作探究】
　棱柱、棱錐、棱臺的表面積
李白斗酒詩百篇,長安市上酒家眠.本詩句中的“斗”的本義是指盛酒的器具,后又作為計量糧食的工具.某數學興趣小組利用相關材料制作了一個如圖所示的正四棱臺來模擬“斗”,用它研究“斗”的相關幾何性質.
問題1:你能畫出這個“斗”的展開圖嗎
問題2:棱臺的側面展開圖是由什么構成的 如何計算棱臺的表面積
問題3:若該四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,高為1,如何求該四棱臺的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體的各個面的面積的和.
特別提醒:表面積是幾何體表面的面積,它表示幾何體表面的大小,常把多面體展開成平面圖形,利用平面圖形求多面體的表面積,側面積是指所有側面的面積之和,與表面積不同.一般地,表面積=側面積+底面積.
某工廠需要制作一個如圖所示的模型,該模型為長方體ABCD-A'B'C'D'挖去四棱錐O-EFGH后得到的幾何體,其中O為長方體ABCD-A'B'C'D'的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=4,AA'=2,求該模型的表面積.
【方法總結】求多面體的表面積的方法
(1)對于簡單幾何體,我們可以利用公式,直接求出其表面積,而在求不規則幾何體的表面積時,通常將所給幾何體分割或補全成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積,再通過求和或作差,求出幾何體的表面積.
(2)求解棱錐的表面積時,注意棱錐的四個基本量:底面邊長、高、斜高、側棱長.注意它們組成的直角三角形的應用.
某校高一學生進行創客活動,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱臺ABCD-EFGH后得到的幾何體,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,為增強其觀賞性和耐用性,現在該模型表面鍍上一層金屬膜,每平方厘米需要金屬膜2 mg,不考慮損耗,所需金屬膜的質量為 mg.
　棱柱、棱錐、棱臺的體積
問題1:還記得以前學過的特殊棱柱(正方體和長方體)的體積公式嗎 它們可以統一為一個公式嗎
問題2:取一摞書放在桌面上,并改變它們的位置,高度、書中每頁紙的面積和順序不變,觀察改變前后的體積是否發生變化.
問題3:棱錐的體積與同底等高的棱柱的體積之間有什么關系
1.棱柱的體積公式:一般地,如果棱柱的底面積是S,高是h,那么 ;
2.棱錐的體積公式:一般地,如果棱錐的底面積是S,高是h,那么 ;
3.棱臺的體積公式: (其中S',S分別為棱臺上、下底面面積,h為高).
(1)已知高為3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形,如圖所示,則三棱錐B1-ABC的體積為( ).
A. B.
C. D.
(2)正四棱臺的兩底面邊長分別為20 cm和10 cm,側面面積為780 cm2,求其體積.
【方法總結】求解正棱臺的表面積和體積時,注意棱臺的五個基本量(上底面邊長、下底面邊長、高、斜高、側棱).
常用的兩種解題思路:一是把基本量轉化到直角梯形中解決問題;二是把正棱臺還原成正棱錐,利用正棱錐的有關知識來解決問題.
已知正四面體A-BCD的棱長為2.用平行于底面BCD的平面截這個棱錐,得到一個小棱錐和一個棱臺,若截面與底面之間的距離為,則棱臺的體積為 .
【隨堂檢測】
1.若一個正三棱錐的高為3,側棱長為2,則這個正三棱錐的體積為( ).
A. B.
C. D.
2.已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4,高為2,則其體積為( ).
A.32 B.28
C.24 D.20
3.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點,則三棱錐A-DED1的體積為 .
4.已知一個正四棱錐的底面邊長為2,高為,則該正四棱錐的表面積為 .
參考答案
8.3　簡單幾何體的表面積與體積
課時1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
自主預習·悟新知
預學憶思
1.都相等.
2.因為棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和,所以可以先求它們各個面的面積,然后相加即可.
3.棱柱的體積公式為V=Sh(S為底面面積,h為高);
棱錐的體積公式為V=Sh(S為底面面積,h為高);
棱臺的體積公式為V=h(S'++S)(S',S分別為棱臺的上、下底面面積,h為高).
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.B　【解析】正四棱錐的底面積為2×2=4,則其體積為×4×3=4.
3.C　【解析】設正四棱臺側面的高為h,則22+82+·h·4=148,得h=4,所以側棱長為=5.
4.6　6+　【解析】正三棱柱的底面為正三角形,側面為三個全等的矩形,所以側面積為3×1×2=6,又S底面=×1×=,所以它的表面積為6+.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:正四棱臺的展開圖如圖所示.
問題2:棱臺的側面展開圖是由若干個梯形組成的.表面積是上、下底面面積與側面展開圖的面積的和.
問題3:根據題意可知,該四棱臺的側面都是上底面邊長為2,下底面邊長為4的等腰梯形,
所以側面的高h'==,則等腰梯形的面積為(2+4)××=3,上、下底面面積分別為2×2=4,4×4=16,所以該四棱臺的表面積為4+16+3×4=20+12.
新知運用
例1　【解析】由題意可得OE=OF=OG=OH==,HG=FG=EF=EH==2,故S△OHG=S△OFG=S△OEF=S△OEH=×2×=,
故該模型的表面積S=4×4×2+4×4+4××2×2+4=56+4.
鞏固訓練　282+54　【解析】由題意可知,長方體ABCD-A1B1C1D14個側面的面積和為4×4×6=96(cm2),底面積為6×6=36(cm2),
正方形EFGH的面積為3×3=9 (cm2),
梯形ABFE的高為==(cm),
故正四棱臺4個側面的面積和為4××(3+6)×=27(cm2),
故該模型的表面積為96+36+9+27=141+27(cm2),
故所需金屬膜的質量為2×(141+27)=282+54(mg).
探究2　情境設置
問題1:長方體的體積V=abc(a,b,c分別為長方體的長、寬、高);正方體的體積V=a3(a為正方體的棱長).能,V=Sh(S為底面積,h為高).
問題2:沒有變化.因為該摞書的底面積和高沒有變化,所以體積也不變.
問題3:如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等,高也相等,那么棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.
新知生成
1.V棱柱=Sh
2.V棱錐=Sh
3.V棱臺=h(S++S')
新知運用
例2　(1)D　【解析】(1)設三棱錐B1-ABC的高為h,則=S△ABC·h=××3=.
(2)正四棱臺的大致圖形如圖所示,其中A1B1=10 cm,AB=20 cm,取A1B1的中點E1,AB的中點E,則E1E為斜高.
設O1,O分別是上、下底面的中心,則四邊形EOO1E1為直角梯形.
∵S側=4××(10+20)×EE1=780(cm2),
∴EE1=13 cm.
在直角梯形EOO1E1中,
O1E1=A1B1=5 cm,OE=AB=10 cm,
∴O1O==12(cm).
故該正四棱臺的體積V=×12×(102+202+)=2 800(cm3).
鞏固訓練　　【解析】如
圖,過點A作AT⊥平面BCD,AT交平面BCD于點T,交平面FMN于點O,則AT為正四面體A-BCD的高,AO為三棱錐A-MNF的高,且T,O分別為△BCD,△MNF的重心.連接DT并延長交BC于點Q,則Q為BC的中點,
連接NO,則△ANO∽△ADT.因為正四面體A-BCD的棱長為2,所以DQ=,DT=DQ=,故AT===.
由題意知OT=,故AO=AT-OT=.
由=得==,解得AN=,
因為A-MNF也是正四面體,所以NF=MF=MN=,
故S△MNF=×2=,S△BCD=×22=,
故棱臺的體積為×++×=.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】由題意可知,該正三棱錐底面正三角形的邊長為2××=3,所以V正三棱錐=××32×3=.故選D.
2.B　【解析】設正六棱臺上、下底面的面積分別為S1,S2,因為正六邊形是由6個全等的等邊三角形組成的,所以S1=6××2×=6,S2=6××4×2=24,所以六棱臺的體積V=h(S1++S2)=28.
3.　【解析】==××1×1×1=.
4.12　【解析】
如圖,四棱錐P-ABCD為正四棱錐,高OP=,底面邊長AB=2.
過點O作OG⊥BC,垂足為G,連接PG,則斜高PG==2.
故正四棱錐的表面積S=2×2+4××2×2=12.

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