資源簡介

8.4 課時1 平面
【學習目標】
1.了解平面的表示方法,了解點、直線與平面的位置關系.(數學抽象)
2.掌握關于平面基本性質的三個基本事實.(邏輯推理)
3.會用符號表示點、直線、平面之間的位置關系.(直觀想象)
【自主預習】
1.教材中是如何定義平面的
2.平面的表示方法有哪些
3.如果兩個不重合的平面有無數個公共點,那么這些公共點有什么特點
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分. ( )
(2)兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于點A,記作α∩β=A. ( )
(3)空間不同三點確定一個平面. ( )
(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面. ( )
2.如圖,平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為( ).
A.平面MN
B.平面MP
C.平面α
D.平面MNPQ
3.點A在直線a上,直線a在平面α內,點B在平面α內可以表示為( ).
A.A a,a α,B∈α　　B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α D.A∈a,a∈α,B∈α
4.如圖,已知D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點,平面α經過D,E兩點,若直線AB與平面α的交點是P,則點P與直線DE的位置關系是 .
【合作探究】
　平面
問題1:湖面、餐桌、教室的課桌給人以怎樣的印象
問題2:在初中,我們已經對點和直線有了一定的認識,知道它們都是由現實事物抽象而來的,那么現在的平面又是怎么來的呢 它有什么特點呢
問題3:一個平面能否把空間分成兩部分
1.平面的概念
幾何里所說的“平面”是從課桌面、黑板面、平靜的水面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是 的,是沒有寬度和厚度的.
2.平面的畫法:(1)常用矩形的直觀圖,即平行四邊形表示平面.如圖1,當平面水平放置時,常把平行四邊形的一邊畫成橫向的;當平面豎直放置時,常把平行四邊形的一邊畫成豎向的.
(2)在畫兩個相交平面時,如果其中一個平面的一部分被另一個平面擋住,通常被擋住的部分畫成虛線或不畫,這樣可使畫出的圖形立體感更強一些,如圖2.
3.平面的表示法:可以用希臘字母α,β,γ等來表示;也可以用 (表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點)來表示;或者用四個大寫的英文字母(表示平面的平行四邊形的 )來表示.
一、平面的概念
(1)有下列命題:①書桌面是平面;②8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚;③有一個平面的長為50 m,寬為20 m;④平面是絕對平的、無厚度的、可以向四周無限延展的抽象數學概念.其中真命題的個數為 .
(2)下圖中的兩個平面相交,其中畫法正確的是 .(填序號)
【方法總結】平面具有如下特點:①平面是平的;②平面是沒有厚度的;③平面是向四周無限延展且沒有邊界的;④平面是由空間的點、線組成的無限集合.
下列說法正確的是 .(填序號)
①平面的形狀是平行四邊形;
②任何一個平面圖形都可以表示平面;
③平面ABCD的面積為100 cm2;
④空間圖形中,后作的輔助線都是虛線.
二、三種語言的相互轉化
用符號表示下列語句,并畫出圖形.
(1)平面α與β相交于直線l,直線a與平面α,β分別相交于點A,B;
(2)點A,B在平面α內,直線a與平面α交于點C,點C不在直線AB上.
【方法總結】三種語言的轉換方法
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何,試著用文字語言表示,再用符號語言表示.
(2)要注意符號語言的意義,如點與直線的位置關系只能用“∈”或“ ”表示,直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”表示.
(3)由符號語言或文字語言畫相應的圖形時,要注意被遮擋的部分畫成虛線或者不畫.
用符號表示下列語句,并畫出圖形.
(1)三個平面α,β,γ相交于點P,且平面α與平面β相交于PA,平面α與平面γ相交于PB,平面β與平面γ相交于PC;
(2)平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.
　平面的基本性質
在日常生活中,我們經常看到這樣的場景:自行車用一個腳架和兩個車輪就可以“站穩”,三腳架的三腳著地就可以支撐照相機.
問題1:上述是一種什么原理呢
問題2:若直線與平面只有一個公共點,則直線在平面內嗎 若直線與平面有兩個公共點,則直線在平面內嗎
問題3:把三角尺的一個角立在課桌面上,三角尺所在平面與課桌面只有一個公共點嗎
1.平面的基本性質
基本事實 內容 圖形 符號表示
基本 事實1 過 的三個點,有且只有一個平面 A,B,C三點不共線 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α
基本 事實2 如果一條直線上的 在一個平面內,那么這條直線在這個平面內 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α
基本 事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的 P∈α,P∈β,α,β不重合
2.推論
推論1:經過一條直線和 ,有且只有一個平面.
推論2:經過兩條 直線,有且只有一個平面.
推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面.
一、點、線共面問題
如圖,已知直線a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c和l共面.
【方法總結】證明點、線共面的主要依據是基本事實1、基本事實2及其推論,常用的方法如下:
(1)輔助平面法:先證明有關點、線確定平面α,再證明其余點、線確定平面β,最后證明平面α,β重合.
(2)納入平面法:先由條件確定一個平面,再證明有關的點、線在此平面內.
如圖,已知A∈l,B∈l,C∈l,D l.求證:直線AD,BD,CD共面.
二、點共線、線共點問題
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=O1,B1D∩截面A1BC1=P.
(1)求證:B,P,O1三點共線.
(2)若AB=3,BC=4,CC1=6,求DP的長.
【方法總結】1.證明三點共線的方法
(1)首先找出兩個平面,然后證明這三點都是這兩個平面的公共點,根據基本事實3可知,這些點都在兩個平面的交線上;
(2)選擇其中兩點確定一條直線,然后證明另一點也在此直線上.
2.證明三線共點的步驟
(1)首先證明兩條直線交于一點;
(2)證明這個點在這兩條直線所在的兩個平面上,并且這兩個平面相交;
(3)得到交線也過此點,從而得到三線共點.
在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,求證:A1C,AC1,BD1,B1D四條對角線交于一點.
已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點共線.
三、平面的交線問題
如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的一點(點E不與點C1重合).試說明D1,A,E三點確定的平面與平面ABCD相交,并畫出這兩個平面的交線.
【方法總結】基本事實3告訴我們,如果兩個平面有一個公共點,那么它們必定還有其他公共點,只要找出這兩個平面的兩個公共點,就找到了它們的交線.因此找兩個平面的交線的突破口就是找這兩個平面的兩個公共點.
如圖,E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中點,試畫出平面BED1F與平面ABCD的交線.
【隨堂檢測】
1.有以下說法:
①平面是處處平的面;
②平面是向四周無限延展的;
③平面的形狀是三角形;
④一個平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正確說法的個數為( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.該圖用符號語言可描述為( ).
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
3.三個平面最多能把空間分為 部分,最少能把空間分成 部分.
4.如圖,已知正四棱柱ABCP-A'B'C'P',Q,R分別為棱A'B',B'C'上的點.
(1)請在正四棱柱ABCP-A'B'C'P'中,畫出經過P,Q,R三點的截面(無需證明).
(2)若Q,R分別為棱A'B',B'C'的中點,證明:AQ,CR,BB'三線共點.
參考答案
8.4　空間點、直線、平面之間的位置關系
課時1　平面
自主預習·悟新知
預學憶思
1.幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、平靜的水面這樣的一些物體中抽象出來的.平面是向四周無限延展的.
2.常用希臘字母α,β,γ等表示平面,并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內;也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點,或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.
3.這些公共點落在同一條直線上.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.A　【解析】平面不能用一條邊的兩個端點表示,但可以表示為平面MP.故選A.
3.B　【解析】點A在直線a上,直線a在平面α內,點B在平面α內表示為A∈a,a α,B∈α.
4.P∈直線DE　【解析】因為P∈AB,AB 平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈平面α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直線DE.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:它們給人以平面的印象.
問題2:平面是從課桌面、黑板面、平靜的水面等抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸,平面是向四周無限延展的.
問題3:能,因為平面是無限延展的,所以一個平面能把空間分成兩部分.
新知生成
1.向四周無限延展
3.兩個大寫的英文字母　四個頂點
新知運用
例1　(1)1　(2)④　【解析】(1)由平面的概念,可知它是絕對平的、無厚度的、可向四周無限延展的,可以判斷命題④是真命題,其余的命題都不符合平面的概念,所以命題①②③是假命題.
(2)兩個平面相交,需畫出它們的交線,并且被遮擋部分用虛線畫出來或不畫.可知圖④的畫法正確.
鞏固訓練　②　【解析】①錯誤,通常用平行四邊形表示平面,但平面的形狀不一定是平行四邊形;③錯誤,平面不能度量;④錯誤,看不到的線畫成虛線.
例2　【解析】(1)用符號表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.如圖1所示.
(2)用符號表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C 直線AB.如圖2所示.
鞏固訓練　【解析】(1)用符號表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.如圖1所示.
(2)用符號表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.如圖2所示.
探究2　情境設置
問題1:這實際上就是我們平常說的三角形的穩定性,其原理就是不在同一條直線上的三點可以確定一個平面.
問題2:若只有一個公共點,則直線一定不在平面內;若有兩個公共點,則直線一定在平面內.
問題3:因為平面是向四周無限延展的,所以不可能只有一個公共點,它們應該有一條公共直線.
新知生成
1.不在一條直線上　兩個點　l α　公共直線　α∩β=l,且P∈l,l唯一
2.這條直線外一點　相交
新知運用
例3　【解析】(法一:輔助平面法)因為a∥b,所以a,b確定一個平面α.
因為A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.
又A∈l,B∈l,所以l α.
因為C∈l,所以C∈α,所以直線a與點C同在平面α內.
因為a∥c,所以直線a,c確定一個平面β.
因為C∈c,c β,所以C∈β,即直線a與點C同在平面β內.
由推論1,可得平面α和平面β重合,則c α.
所以a,b,c和l共面.
(法二:納入平面法)因為a∥b,所以a,b確定一個平面α.
因為A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.
又A∈l,B∈l,所以l α,
則a,b,l都在平面α內,即b在a,l確定的平面內.
同理可證c在a,l確定的平面內.
因為過a與l只能確定一個平面,
所以a,b,c,l共面于a,l確定的平面.
鞏固訓練　【解析】因為D l,所以l與D可以確定平面α.
因為A∈l,所以A∈α,又D∈α,所以AD α.
同理,BD α,CD α,所以直線AD,BD,CD在同一平面α內,即它們共面.
例4　【解析】(1)∵P∈B1D,B1D 平面BB1D1D,∴P∈平面BB1D1D,
又P∈平面A1BC1,平面BB1D1D∩平面A1BC1=BO1,∴根據基本事實3,得P∈BO1,即B,P,O1三點共線.
(2)如圖,連接BD1,交DB1于點M,由(1)知P∈BO1,且P∈B1D,
則P為BO1與B1D的交點.
∵DD1 BB1,∴四邊形BB1D1D為平行四邊形,∴M是BD1的中點.
又O1是B1D1的中點,
∴P是△BD1B1的重心,∴B1P=B1M=B1D.
∵AB=3,BC=4,CC1=6,∴B1D==,∴DP=B1D=.
鞏固訓練1　【解析】如
圖,A1A∥CC1,且A1A=CC1,所以四邊形A1ACC1為平行四邊形,則對角線A1C與AC1互相平分,將其交點記為O,則O是A1C和AC1的中點.同理,平行四邊形D1DBB1的對角線BD1和B1D也互相平分,設其交點為O1,則O1是BD1和B1D的中點.由AD∥B1C1,且AD=B1C1,得四邊形ADC1B1為平行四邊形,故對角線B1D與AC1互相平分,因此O,O1都是B1D的中點,所以O,O1必重合為一點,所以A1C,AC1,BD1,B1D四條對角線交于一點O.
鞏固訓練2　【解析】(法一)∵AB∩α=P,
∴P∈AB,P∈平面α.
又AB 平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由基本事實3可知,點P在平面ABC與平面α的交線上,
同理可證點Q,R也在平面ABC與平面α的交線上.
∴P,Q,R三點共線.
(法二)∵AP∩AR=A,
∴直線AP與直線AR確定平面APR.
又∵AB∩α=P,AC∩α=R,
∴平面APR∩平面α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC 平面APR.
又∵BC∩α=Q,∴Q∈平面APR,Q∈α,∴Q∈PR.
∴P,Q,R三點共線.
例5　【解析】因為A∈平面D1AE,A∈平面ABCD,所以平面D1AE與平面ABCD相交.
延長D1E與DC,設它們相交于點F,連接AF,如圖所示,
因為F∈直線D1E,F∈直線DC,直線D1E 平面D1AE,直線DC 平面ABCD,
所以F∈平面D1AE,F∈平面ABCD,
則AF為平面D1AE與平面ABCD的交線.
鞏固訓練　【解析】如圖,在平面AA1D1D內,D1F與DA不平行,分別延長D1F與DA,則D1F與DA必相交,設交點為M.
因為M∈D1F,M∈DA,D1F 平面BED1F,DA 平面ABCD,
所以M∈平面BED1F,M∈平面ABCD,
又B∈平面BED1F,B∈平面ABCD,
連接MB,則平面BED1F∩平面ABCD=MB.
故直線MB為所求兩平面的交線.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】平面是向四周無限延展的,但是沒有大小、形狀、厚薄,故①②兩種說法是正確的,③④兩種說法是錯誤的.
2.A　【解析】平面α與平面β相交于直線m,直線n在平面α內,直線m和直線n相交于點A,故該圖用符號語言可描述為α∩β=m,n α,m∩n=A.
3.8　4　【解析】三個平面可將空間分成4,6,7,8部分,所以三個平面最少可將空間分成4部分,最多可將空間分成8部分.
4.【解析】(1)作直線QR分別交P'A',P'C'的延長線于點M,N,連接MP交AA'于點S,連接PN交CC'于點T,連接SQ,TR,如圖1,五邊形PSQRT為所求截面.
(2)如圖2,連接QR,AC,A'C',則AC A'C',
∵Q,R分別為A'B',B'C'的中點,∴QR∥A'C',QR=A'C',
∴QR∥AC,AC=2QR,可得四邊形AQRC為梯形.
設AQ∩CR=O,則O∈AQ,∵AQ 平面A'ABB',∴O∈平面A'ABB',同理O∈平面C'CBB'.
又平面A'ABB'∩平面C'CBB'=BB',∴O∈BB',即AQ,CR,BB'三線共點.8.4 課時2 空間點、直線、平面之間的位置關系
【學習目標】
1.了解空間兩直線間的位置關系.(直觀想象)
2.理解空間直線與平面的位置關系.(直觀想象)
3.掌握空間平面與平面的位置關系.(直觀想象)
【自主預習】
1.分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎
2.若直線a在平面α外,則直線a與平面α沒有公共點,正確嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條. ( )
(2)若兩條直線無公共點,則這兩條直線平行. ( )
(3)若直線l上有無數個點不在平面α內,則l∥α. ( )
(4)若兩個平面都平行于同一條直線,則這兩個平面平行. ( )
2.與兩個相交平面的交線平行的直線和這兩個平面的位置關系是( ).
A.直線與兩個平面都平行 B.直線與兩個平面都相交
C.直線在兩個平面內 D.直線至少與其中一個平面平行
3.過平面外兩點作該平面的平行平面,可以作( ).
A.0個 B.1個
C.0個或1個 D.1個或2個
4.(多選題)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點,則下列直線與直線C1M是異面直線的是( ).
A.DD1 B.CC1 C.BD1 D.CA1
【合作探究】
　空間中直線與直線的位置關系
小明在路邊撿到一個六角螺帽,他在六角螺帽的邊緣畫了兩條線,如圖所示.
問題1:上圖中AB與CD所在直線是什么位置關系
問題2:教室內日光燈管所在直線與黑板的左、右兩側所在直線是否也具有類似特征
1.異面直線:不同在 平面內的兩條直線.
2.異面直線的畫法(襯托平面法)
如圖1,圖2所示,為了表示異面直線不共面的特點,作圖時,通常用一個或兩個平面來襯托.
3.空間兩條直線的三種位置關系
①從是否有公共點的角度來分:
②從是否共面的角度來分:
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直線的位置關系.
(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是 ;
(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是 ;
(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是 ;
(4)直線AB與直線B1C的位置關系是 .
【變式探究】已知a,b,c是三條直線,如果a與b是異面直線,b與c是異面直線,那么a與c有怎樣的位置關系 并畫圖說明.
【方法總結】(1)判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法.
(2)判定兩條直線是異面直線的方法
①定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內.②重要結論:連接平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不經過此點的直線是異面直線,用符號語言可表示為A α,B∈α,l α,B l AB與l是異面直線(如圖).
在三棱柱ABC-A1B1C1中,與AB異面的棱有( ).
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
　空間中直線與平面的位置關系
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,連接A1B.
問題1:A1B與長方體各面有幾種位置關系
問題2:“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎
直線與平面的位置關系
位置 關系 直線在 平面內 直線在平面外
直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 個數 1個 0個
符號 表示 a α a∩α=A a∥α
圖形 表示
(1)下列四個命題中,真命題的個數是( ).
①如果a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經過b的任何一個平面;
②已知直線a,平面α,且a∥α,那么a與平面α內的任何一條直線平行;
③已知直線a,b,平面α,且a∥b,a∥α,b α,那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,BB1的中點,判斷下列直線與平面的位置關系.(填“平行”“相交”或“直線在平面內”)
①AM所在的直線與平面ABCD ;
②CN所在的直線與平面ABCD ;
③AM所在的直線與平面CDD1C1 ;
④CN所在的直線與平面A1B1C1D1 .
【方法總結】在判斷直線與平面的位置關系時,三種位置關系都要考慮到.另外,我們可以借助空間幾何圖形,把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中,以便于正確作出判斷,避免憑空臆斷.
有下列說法:
①若直線l平行于平面α內的無數條直線,則l∥α;
②若直線a在平面α外,則a∥α;
③若直線a∥b,b α,那么直線a平行于平面α內的無數條直線.
其中正確說法的個數為( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
　空間中平面與平面的位置關系
觀察拿在手中的兩本很薄的書,我們可以想象兩本書為兩個平面.
問題1:兩本書所在的平面可以平行嗎 公共點的個數是多少
問題2:兩本書所在的平面可以相交嗎 公共點的個數是多少
問題3:分別位于兩個平行平面內的兩條直線的位置關系是什么
兩個平面的位置關系
位置關系 平行 相交
圖示
表示法 α∥β α∩β=a
公共點個數 個 個
如果在兩個平面內分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么這兩個平面的位置關系是 .
【變式探究】
1.若本例將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”,則兩平面的位置關系如何
2.若將條件改為平面α內有無數條直線與平面β平行,那么α與β的關系是什么
【方法總結】1.平面與平面的位置關系的判斷方法
(1)判斷平面與平面相交,關鍵是以基本事實3為依據找出一個交點;
(2)判斷平面與平面平行,關鍵是證明兩個平面沒有公共點.
2.常見的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上、下底面平行;
(2)長方體、正方體的六個面中,三組相對面平行.
如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC與其余各面之間有什么位置關系
【隨堂檢測】
1.若空間兩條直線a和b沒有公共點,則a與b的位置關系是( ).
A.共面 B.平行
C.異面 D.平行或異面
2.下列說法正確的是( ).
A.兩個平面可以只有一個交點
B.一條直線與一個平面最多有一個公共點
C.若兩個平面有一個公共點,則它們相交或重合
D.若兩個平面有三個公共點,則它們一定重合
3.如圖,在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中,與直線AB異面的側棱共有( ).
A.2條 B.3條
C.4條 D.5條
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列位置關系:
(1)AD1所在的直線與平面B1BCC1的位置關系是 ;
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是 .
參考答案
課時2　空間點、直線、平面之間的位置關系
自主預習·悟新知
預學憶思
1.不一定.分別在兩個平面內的兩條直線,既可以是平行直線,也可以是相交直線,還可以是異面直線.
2.不正確.當直線a與平面α相交時,有一個公共點,也稱直線a在平面α外.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.D　【解析】直線與兩個平面的交線平行,有兩種情形,其一是直線分別與這兩個平面平行,其二是直線在一個平面內且平行于另一個平面,則直線至少與其中一個平面平行.
3.C　【解析】平面外兩點的連線與已知平面的位置關系有兩種情況:①直線與平面相交;②直線與平面平行.
故選C.
4.CD　【解析】由題意可知M為DD1的中點,易知DD1∩C1M=M,C1M∩CC1=C1,故DD1,CC1均與直線C1M為相交直線,A,B錯誤;BD1∩平面CC1D1D=D1,C1M 平面CC1D1D,D1 直線C1M,故直線BD1與直線C1M為異面直線,同理,直線CA1與直線C1M為異面直線.故選CD.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:不相交,也不平行.
問題2:是.
新知生成
1.任何一個
3.①異面　相交　②相交　異面
新知運用
例1　(1)平行　(2)異面　(3)相交　(4)異面　【解析】(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D1 BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,所以A1B∥D1C.
(2)直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內,故異面.
(3)直線D1D與直線D1C相交于點D1,故相交.
(4)直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內,故異面.
變式探究　【解析】直線a與直線c的位置關系可以是平行、相交、異面,如圖1、圖2、圖3所示.
　圖1　 　　　圖2　 　　　圖3
鞏固訓練　C　【解析】畫出一個三棱柱,如圖所示,易知與AB異面的棱有3條,即A1C1,B1C1,CC1.
探究2　情境設置
問題1:A1B與長方體各面的位置關系有三種:相交、平行、在平面內.
問題2:不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內這兩種情況,而后者僅指直線與平面平行.
新知生成
無數個
新知運用
例2　(1)B　(2)①相交　②相交　③平行　④相交　【解析】
(1)對于①,如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'在過BB'的平面ABB'A'內,故命題①是假命題;對于②,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA'∥平面BCC'B',BC 平面BCC'B',但AA'不平行于BC,故命題②是假命題;對于③,假設b與α相交,因為a∥b,所以a與α相交,這與a∥α相矛盾,故b∥α,即③是真命題.故選B.
(2)①∵A∈平面ABCD,M 平面ABCD,∴AM所在的直線與平面ABCD相交.
②∵C∈平面ABCD,N 平面ABCD,∴CN所在的直線與平面ABCD相交.
③∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,AM 平面ABB1A1,∴AM所在的直線與平面CDD1C1平行.
④∵CN所在的直線與平面ABCD相交,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,∴CN所在的直線與平面A1B1C1D1相交.
鞏固訓練　B　【解析】對于①,雖然直線l與平面α內無數條直線平行,但直線l有可能在平面α內,故直線l不一定平行于平面α,故①錯誤;對于②,直線a在平面α外包括a∥α和a與α相交這兩種情況,故a和α不一定平行,故②錯誤;對于③,若a∥b,b α,則a α或a∥α,無論哪種情況,a與平面α內的無數條直線都平行,故③正確.
探究3　情境設置
問題1:可以.無公共點.
問題2:可以.有無數個.
問題3:分別位于兩個平行平面內的兩條直線一定無公共點,故它們的位置關系是平行或異面.
新知生成
0　無數
新知運用
例3　平行或相交　【解析】在圖1、圖2中,a α,b β,a∥b.
　　圖1　　　　　　圖2
所以這兩個平面可能相交,也可能平行.
變式探究
1.【解析】在圖1、圖2中,a α,b β,a,b異面.
　　圖1　　　　　　　圖2
所以這兩個平面可能平行,也可能相交.
2.【解析】在圖1、圖2中,α內都有無數條直線與平面β平行,
　　圖1　　　　　　圖2
所以平面α與平面β平行或相交.
鞏固訓練　【解析】∵幾何體ABC-A1B1C1為三棱柱,
∴平面ABC∥平面A1B1C1.
∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB,
∴平面ABC與平面ABB1A1相交.
同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】若直線a和b沒有公共點,則a與b平行或異面.
2.C　【解析】兩平面有公共點,包括兩平面重合或相交.故選C.
3.C　【解析】根據正六棱柱的性質可得,在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的側棱中,沒有與直線AB平行的;與AB相交的有AA',BB',共2條.又正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的側棱共有6條,所以與直線AB異面的側棱共有6-2=4條.
4.(1)平行　(2)相交　【解析】(1)AD1所在的直線與平面B1BCC1沒有公共點,故平行.
(2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點B,故相交.

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