資源簡介

8.5 課時2 直線與平面平行
【學習目標】
1.掌握直線與平面平行的判定定理,并能初步利用定理解決問題.(數學建模)
2.掌握直線與平面平行的性質定理,知道如何由線面平行推出線線平行.(邏輯推理)
【自主預習】
1.如圖,一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內,把這塊木板繞AB轉動,在轉動過程中,AB的對邊CD(不落在α內)和平面α有何位置關系
2.如果一條直線與平面內無數條直線都平行,那么該直線和平面有何位置關系
3.直線與平面平行的性質定理是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線a與平面α不平行,則a與α相交. ( )
(2)若直線l與平面α內的無數條直線不平行,則直線l與平面α不平行. ( )
(3)若直線l不平行于平面α,則直線l不平行于平面α內的任意一條直線. ( )
2.能保證直線a與平面α平行的條件是( ).
A.b α,a∥b
B.b α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a α,b α,a∥b
3.如圖,在三棱錐S-ABC中,E,F分別是棱SB,SC上的點,且EF∥平面ABC,則( ).
A.EF與BC相交
B.EF∥BC
C.EF與BC異面
D.以上均有可能
4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,N是AD的中點.求證:
(1)BC∥AD;
(2)CN∥平面PAB.
【合作探究】
　直線與平面平行的判定
門扇的豎直兩邊是平行的,當門扇繞著一邊轉動時,只要不關門,不論轉動到什么位置,它能活動的豎直一邊所在的直線都與門框存在不變的位置關系.
問題1:情境中存在著不變的位置關系是指什么
問題2:若判斷直線與平面平行,由上述問題你能得出一種方法嗎
問題3:若一直線與平面內的直線平行,則該直線一定與該平面平行嗎
直線與平面平行的判定定理
(1)文字語言:若 一條直線與 的一條直線 ,則該直線與此平面平行.
(2)符號語言: , , l∥α.
(3)圖形語言:
特別提醒:利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行,關鍵是尋找平面內與已知直線平行的直線.
一、線面平行判定定理的理解
如果直線a,b和平面α滿足a∥b,且a∥α,則b與α的位置關系是( ).
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
【方法總結】線面平行的判定定理必須滿足三個條件:
(1)直線a在平面α外,即a α;
(2)直線b在平面α內,即b α;
(3)兩直線a,b平行,即a∥b.
這三個條件缺一不可.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,則下列直線中與平面ACE平行的是( ).
A.BA1 B.BD1 C.BC1 D.BB1
二、直線與平面平行的判定
如圖,S是平行四邊形ABCD所在平面外一點,M,N分別是SA,BD上的點,且=.求證:MN∥平面SBC.
【方法總結】應用判定定理證明線面平行的步驟
提醒:線面平行判定定理應用的誤區
(1)條件羅列不全,最易忘記的條件是“直線在平面外”;
(2)不能利用題目條件順利地找到與已知直線平行的直線.
如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AC=2DF,G,H分別為AC,BC的中點.求證:BD∥平面FGH.
　直線與平面平行的性質
平面束屬于一種空間圖形,是一組有特殊位置關系的平面的集合,即有一條公共直線的所有平面的集合.
問題1:如圖,直線l∥平面α,直線a 平面α,那么直線l與直線a一定平行嗎 為什么
問題2:如圖,直線a∥平面α,直線a 平面β,平面α∩平面β=b,滿足以上條件的平面β有多少個 直線a,b有什么位置關系
直線與平面平行的性質定理
(1)文字語言:一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面 ,那么該直線與交線 .
(2)符號語言:a∥α, a∥b.
(3)圖形語言:
一、直線與平面平行性質的應用
如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.
【變式探究】如圖所示,四邊形ABCD是矩形,P 平面ABCD,過BC作另一平面BCFE,交AP于點E,交DP于點F.求證:四邊形BCFE是梯形.
【方法總結】運用線面平行的性質定理時,應先確定線面平行,再尋找過已知直線的平面與這個平面的交線,然后確定線線平行.
如圖,點A,B分別位于異面直線a,b上,過AB的中點O的平面α與a,b都平行,M,N分別是a,b上異于點A,B的另外兩點,MN與平面α交于點P.求證:P是MN的中點.
二、與線面平行性質定理有關的計算問題
如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是菱形,E是棱AD的中點,點F在棱SC上,且=λ,若SA∥平面BEF,求實數λ的值.
【方法總結】利用線面平行的性質定理解決有關問題的三個關鍵點
(1)根據已知線面平行關系推出線線平行關系;
(2)在三角形內利用三角形的中位線性質、平行線分線段成比例定理等推出有關線段的關系;
(3)利用所得關系計算求值.
如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E為AD的中點,點F在線段CD上,若EF∥平面AB1C,求線段EF的長度.
【隨堂檢測】
1.(多選題)若直線a平行于平面α,則( ).
A.平面α內有且只有一條直線與a平行
B.平面α內有無數條直線與a平行
C.平面α內存在無數條與a不平行的直線
D.平面α內任意一條直線都與a平行
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,則直線CD與平面α內的直線的位置關系是( ).
A.平行 B.平行或異面
C.平行或相交 D.異面或相交
3.若M,N分別是△ABC中邊AB,AC的中點,則直線MN與過直線BC的平面β的位置關系是( ).
A.MN∥β
B.MN與β相交或MN β
C.MN∥β或MN β
D.MN∥β或MN與β相交或MN β
4.如圖,P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過點G,A,P的平面交平面BDM于GH.求證:AP∥GH.
參考答案
課時2　直線與平面平行
自主預習·悟新知
預學憶思
1.CD∥α.
2.直線與平面平行或直線在平面內.
3.一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.D　【解析】由線面平行的判定定理可知,D正確.
3.B　【解析】∵平面SBC∩平面ABC=BC,EF 平面SBC,又EF∥平面ABC,∴EF∥BC.故選B.
4.【解析】(1)∵BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BC∥AD.
(2)由(1)知,BC∥AN,∵N是AD的中點,BC=AD,∴BC=AN,
∴四邊形ABCN是平行四邊形,∴CN∥AB.
又CN 平面PAB,AB 平面PAB,∴CN∥平面PAB.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:平行.
問題2:可以,只需在平面內找一條直線與平面外的直線平行即可.
問題3:不一定,要強調直線在平面外.
新知生成
(1)平面外　此平面內　平行　(2)l∥a　a α　l α
新知運用
例1　D　【解析】由a∥b,且a∥α,知b∥α或b α.
鞏固訓練　B　【解析】如圖所示,連接BD,AC,AE,CE,BD1,設AC∩BD=O,
則易知O是BD的中點,連接OE,
∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,O為BD的中點,∴OE∥BD1,
又OE 平面ACE,BD1 平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.
例2　【解析】如圖,連接AN并延長,交BC于點P,連接SP.
因為AD∥BC,所以=,
又因為=,
所以=,所以MN∥SP,
又MN 平面SBC,SP 平面SBC,所以MN∥平面SBC.
鞏固訓練　【解析】如圖,連接DG,CD,設CD∩GF=O,連接OH.
在三棱臺DEF-ABC中,因為AC=2DF,G為AC的中點,所以DF∥GC,DF=GC,
所以四邊形DFCG為平行四邊形,所以O為CD的中點.又H為BC的中點,所以OH∥BD.又OH 平面FGH,BD 平面FGH,所以BD∥平面FGH.
探究2　情境設置
問題1:不一定,因為還可能是異面直線.
問題2:無數個.a∥b.
新知生成
(1)相交　平行　(2)a β,α∩β=b
新知運用
例3　【解析】因為AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由線面平行的性質定理,知AB∥MN.
同理可得AB∥PQ.由基本事實4可得MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四邊形MNPQ是平行四邊形.
變式探究　【解析】因為四邊形ABCD為矩形,所以BC∥AD,
因為AD 平面PAD,BC 平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
因為平面BCFE∩平面PAD=EF,且BC 平面BCFE,所以BC∥EF.
因為AD=BC,AD≠EF,所以BC≠EF,
所以四邊形BCFE是梯形.
鞏固訓練　【解析】如圖,連接AN,設它與平面α交于點Q,連接OQ,PQ,因為OQ是平面ABN與平面α的交線,
b 平面ABN,b∥α,所以OQ∥BN,同理,QP∥AM,在△ABN中,O是AB的中點,OQ∥BN,所以Q是AN的中點,又因為QP∥AM,所以P是MN的中點.
例4　【解析】如圖,連接AC,設AC∩BE=G,連接FG,
則平面SAC∩平面BEF=FG.
∵SA∥平面BEF,SA 平面SAC,平面SAC∩平面BEF=FG,
∴SA∥FG,∴=.
∵AE∥BC,∴△GEA∽△GBC,
∴==,
∴==,
即SF=SC,∴λ=.
鞏固訓練　【解析】∵EF∥平面AB1C,
又平面ADC∩平面AB1C=AC,EF 平面ADC,
∴EF∥AC.
∵E是AD的中點,∴F為CD的中點.
∵AC=AB=2,
∴EF=AC=×2=.
隨堂檢測·精評價
1.BC　【解析】過直線a可作無數個平面與α相交,由線面平行的性質定理可知,這些交線都與a平行,所以在平面α內與直線a平行的直線有無數條,故A不正確,B正確;若直線a平行于平面α,則直線a與平面α內的直線有兩種位置關系,分別為平行或異面,所以平面α內存在與a不平行的直線,且有無數條,故C正確,D不正確.故選BC.
2.B　【解析】由AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,得CD∥α,
所以直線CD與平面α內的直線的位置關系是平行或異面.
3.C　【解析】若平面β是△ABC所在的平面,則MN β;若MN β,因為MN∥BC,BC β,所以MN∥β.故選C.
4.【解析】如圖,連接AC,交BD于點O,連接MO.
因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以O是AC的中點.
又因為M是PC的中點,
所以AP∥OM.
又因為AP 平面BDM,OM 平面BDM,
所以AP∥平面BDM.
因為平面PAHG∩平面BDM=GH,AP 平面PAHG,
所以AP∥GH.8.5 課時1 直線與直線平行
【學習目標】
1.會判斷空間兩直線的位置關系.(邏輯推理)
2.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題.(邏輯推理)
【自主預習】
1.空間中兩條直線有幾種位置關系
2.已知在同一平面內的三條直線a,b,c,若a∥b,b∥c,則a∥c,該結論在空間中是否成立
3.如果兩條直線和第三條直線成等角,那么這兩條直線一定平行嗎
4.等角定理中,什么情況下兩角互補
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線互相平行. ( )
(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等. ( )
(3)如果兩條直線都和第三條直線成等角,那么這兩條直線平行. ( )
(4)如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. ( )
2.已知a,b是異面直線,直線c∥a,那么c與b( ).
A.一定是異面直線
B.一定是相交直線
C.不可能是平行直線
D.不可能是相交直線
3.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',則∠B'A'C'=( ).
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小無法確定
4.已知在棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別為CD,AD的中點,則直線MN與A'C'的位置關系是 .
【合作探究】
　空間中兩條直線的位置關系
問題1:觀察上圖臺階,每個臺階的邊沿所在的直線有什么關系
問題2:
如圖,將一張長方形的紙對折幾次后打開,觀察這些折痕有怎樣的位置關系 并推測平面幾何中“平行線的傳遞性”在空間是否成立.
基本事實4(平行定理)
(1)文字語言:平行于同一條直線的兩條直線平行.
(2)符號語言:a∥b,b∥c a∥c.
如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別為AA1,CC1的中點,求證:四邊形BFD1E是平行四邊形.
如圖1所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為BC,AD的中點,將平面CDFE沿EF翻折起來,使CD到達C'D'的位置(如圖2),G,H分別為AD',BC'的中點,求證:四邊形EFGH為平行四邊形.
圖1　　　　　　　　　圖2
【方法總結】基本事實4表述的性質通常叫作空間直線平行的傳遞性,利用該事實解題時首先找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.
如圖,在三棱錐P-ABC中,G,H分別為PB,PC的中點,M,N分別為△PAB,△PAC的重心,求證:GH∥MN.
　等角定理
觀察下圖中的∠AOB與∠A'O'B'.
問題1:這兩個角對應的兩條邊之間有什么樣的位置關系
問題2:測量一下,這兩個角的大小關系如何
等角定理
(1)文字語言:如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.
(2)符號語言:對于∠ABC和∠A'B'C',AB∥A'B',BC∥B'C' ∠ABC=∠A'B'C'或∠ABC+∠A'B'C'=180°.
如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別為棱AD,AB,B1C1,C1D1的中點.求證:∠EA1F=∠E1CF1.
【方法總結】(1)空間等角定理實質上是由以下兩個結論組成的:①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行且方向都相同或相反,那么這兩個角相等;②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,有一組對應邊方向相同,另一組對應邊方向相反,那么這兩個角互補.
(2)證明角相等,一般采用三種途徑:①利用等角定理及推論;②利用三角形相似;③利用三角形全等.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為棱CC1,BB1,DD1的中點,試證明:∠BGC=∠FD1E.
【隨堂檢測】
1.已知空間中的兩個角α,β的兩邊分別對應平行,且α=60°,則β=( ).
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
2.如圖所示,在三棱錐S-MNP中,E,F,G,H分別是棱SN,SP,MN,MP的中點,則EF與HG的位置關系是( ).
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
3.如果兩個三角形不在同一平面內,但它們的邊兩兩對應平行,那么這兩個三角形( ).
A.全等 B.不相似
C.僅有一個角相等 D.相似
4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為AA1,BB1,CC1的中點.求證:∠MC1N=∠APB.
參考答案
8.5　空間直線、平面的平行
課時1　直線與直線平行
自主預習·悟新知
預學憶思
1.相交、平行、異面.
2.成立.
3.不一定,這兩條直線可能相交、平行或異面.
4.若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,有一組對應邊方向相同,另一組對應邊方向相反,則這兩個角互補.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.C　【解析】假設c與b平行,由于c∥a,根據基本事實4可知a∥b,與a,b是異面直線矛盾,故c與b不可能是平行直線.
故選C.
3.C　【解析】當∠B'A'C'與∠BAC的兩組對應邊方向相同時,∠B'A'C'=30°,當一組對應邊方向相同,另一組對應邊方向相反時,∠B'A'C'=150°.故選C.
4.平行　【解析】如
圖所示,∵M,N分別為CD,AD的中點,
∴MN∥AC,且MN=AC.
由正方體的性質可得AC A'C',
∴MN∥A'C',且MN=A'C',
即直線MN與A'C'平行.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:平行.
問題2:平行.成立.
新知運用
例1　【解析】如圖所示,取BB1的中點G,連接GC1,GE.
因為F為CC1的中點,
所以BG∥FC1,且BG=FC1,
所以四邊形BFC1G是平行四邊形,
所以BF∥GC1,BF=GC1.
又因為EG∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,EG=C1D1,
所以四邊形EGC1D1是平行四邊形,
所以ED1∥GC1,ED1=GC1,
所以BF∥ED1,BF=ED1,
所以四邊形BFD1E是平行四邊形.
例2　【解析】在題圖1中,∵四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,E,F分別為BC,AD的中點,
∴EF∥AB且EF=(AB+CD).
在題圖2中,易知C'D'∥EF∥AB.
∵G,H分別為AD',BC'的中點,∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD),
∴GH∥EF,GH=EF,∴四邊形EFGH為平行四邊形.
鞏固訓練　【解析】如圖,取PA的中點Q,連接BQ,CQ,則M,N分別在BQ,CQ上.
∵M,N分別為△PAB,△PAC的重心,
∴==,
∴MN∥BC.
又G,H分別為PB,PC的中點,
∴GH∥BC,
∴GH∥MN.
探究2　情境設置
問題1:分別對應平行.
問題2:相等.
新知運用
例3　【解析】如圖
所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中點M,連接BM,F1M,則BF=A1M.
又∵BF∥A1M,∴四邊形A1FBM為平行四邊形,∴A1F∥BM.
∵F1,M分別為C1D1,A1B1的中點,
∴F1M C1B1.
又C1B1 BC,∴F1M BC,
∴四邊形F1MBC為平行四邊形.
∴BM∥CF1.又BM∥A1F,∴A1F∥CF1.
同理,取A1D1的中點N,連接DN,E1N,則有A1E∥CE1.
∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應平行,且方向都相反,
∴∠EA1F=∠E1CF1.
鞏固訓練　【解析】
因為F為BB1的中點,所以BF=BB1.
因為G為DD1的中點,所以D1G=DD1.
又BB1 DD1,所以BF D1G,
所以四邊形D1GBF為平行四邊形.
所以D1F∥GB,同理可得D1E∥GC.
所以∠BGC與∠FD1E的兩條對應邊分別平行且方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】∵空間中的兩個角α,β的兩邊分別對應平行,
∴這兩個角相等或互補.
∵α=60°,∴β=60°或β=120°.
故選D.
2.A　【解析】∵E,F分別是SN,SP的中點,
∴EF∥PN.同理可證HG∥PN,
∴EF∥HG.
故選A.
3.D　【解析】由等角定理知,這兩個三角形的三個角分別對應相等.故選D.
4.【解析】因為N,P分別是BB1,CC1的中點,所以BN∥C1P,BN=C1P,
所以四邊形BPC1N為平行四邊形,所以C1N∥BP.
同理可證C1M∥AP,又∠MC1N與∠APB的方向相同,所以∠MC1N=∠APB.8.5 課時3 平面與平面平行
【學習目標】
1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.(數學抽象)
2.理解并掌握平面與平面平行的性質定理.(邏輯推理)
【自主預習】
1.應用面面平行判定定理時應具備哪些條件
2.如果兩個平面平行,那么這兩個平面內的所有直線都相互平行嗎
3.如果兩個平面平行,那么其中一個平面內的直線和另一個平面有什么位置關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線,則這兩個平面平行. ( )
(2)兩個平面同時與第三個平面相交,若兩交線平行,則這兩個平面平行. ( )
(3)夾在兩平行平面間的平行線段的長度相等. ( )
(4)若平面α∥平面β,l 平面β,m 平面α,則l∥m. ( )
2.已知α,β是兩個不重合的平面,m,n是兩條不同的直線,下列說法正確的是( ).
A.若m∥n,n∥α,則m∥α　　 B.若m∥α,n α,則m∥n
C.若α∥β,m α,則m∥β D.若m∥n,m α,n β,則α∥β
3.已知長方體ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',則EF與E'F'的位置關系是( ).
A.平行 B.相交 C.異面 D.不確定
4.如圖,若過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點B1,D1與棱AB的中點P的平面與底面ABCD所在平面的交線記為l,則l與B1D1的位置關系為 .
【合作探究】
　平面與平面平行的判定
如何判斷桌子的桌面是否水平 工人師傅將水平儀在桌子上交叉放置兩次,如果水平儀的氣泡兩次都在中央,就能判斷桌面是水平的,否則桌面就不是水平的,這是為什么呢 (注:當水平儀的氣泡居中時,水平儀所在的直線就是水平線)
問題1:情境中給出的判斷兩平面平行的方法是什么
問題2:若一個平面內有兩條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行嗎
問題3:若一個平面內有無數條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行嗎
問題4:平面平行有傳遞性嗎
　　平面與平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內的 與另一個平面平行,那么這兩個平面平行
符號語言 a α,b α,a∩b=P,a∥β,b∥β α∥β
圖形語言
特別提醒:判定兩個平面平行與判定線面平行一樣,應遵循“先找后作”的原則,即先在一個平面內找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線.
一、平面與平面平行判定定理的理解
已知α,β是兩個不重合的平面,則下列選項中,一定能得出平面α與平面β平行的是( ).
A.平面α內有一條直線與平面β平行
B.平面α內有兩條直線與平面β平行
C.平面α內有一條直線與平面β內的一條直線平行
D.平面α與平面β不相交
【方法總結】1.在判定兩個平面是否平行時,一定要強調一個平面內的“兩條相交直線”這個條件,線不在多,相交就行.
2.對于平面與平面平行的判定問題,可以借助常見的幾何體(如正方體)來進行分析.
設α,β是兩個不同的平面,m是直線且m α,m∥β,若使α∥β成立,則需增加的條件是( ).
A.n是直線且n α,n∥β
B.n,m是異面直線且n∥β
C.n,m是相交直線且n α,n∥β
D.n,m是平行直線且n α,n∥β
二、平面與平面平行的證明
如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.
(1)求證:平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E,F分別是AA1,CC1的中點,求證:平面EB1D1∥平面FBD.
【方法總結】平面與平面平行的判定方法
(1)定義法:兩個平面沒有公共點.
(2)判定定理:一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面.
(3)轉化為線線平行:若平面α內的兩條相交直線與平面β內的兩條相交直線分別平行,則α∥β.
(4)利用平面平行的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,AB=2,DE=BF,BF∥DE,M為棱AE的中點.求證:平面BMD∥平面EFC.
　平面與平面平行的性質
觀察長方體ABCD-A1B1C1D1的兩個面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
問題1:平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎
問題2:若m 平面ABCD,n 平面A1B1C1D1,則m∥n嗎
問題3:若過BC的平面交平面A1B1C1D1于DE,DE與BC是什么關系
平面與平面平行的性質定理
(1)文字語言:兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線 .
(2)符號語言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b .
(3)圖形語言:
使用平面與平面平行的性質定理時,下列三個條件缺一不可:
①兩個平面平行,即α∥β;
②第一個平面與第三個平面相交,即α∩γ=a;
③第二個平面與第三個平面也相交,即β∩γ=b.
一、平面與平面平行性質定理的應用
如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AD∥BC,平面A1DCE與B1B交于點E.求證:EC∥A1D.
【方法總結】應用面面平行的性質定理的基本步驟
如圖,平面四邊形ABCD的四個頂點A,B,C,D均在 A'B'C'D'所確定的平面α外,且AA',BB',CC',DD'互相平行.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
二、面面平行的性質定理有關的計算
設平面α∥平面β,點A,C∈α,點B,D∈β,直線AB與直線CD交于點S,且S位于平面α,β之間,AS=8,BS=6,CS=12,求SD的長.
【方法總結】關于平行平面分線段成比例定理
類比平面內的平行直線分線段成比例定理,在空間中也有平行平面分線段成比例定理.
如圖,已知α∥β,P是平面α,β外的一點(不在α與β之間),直線PB與α,β分別相交于點A,B,直線PD與α,β分別相交于點C,D.
(1)求證:AC∥BD.
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的長.
(3)若點P在α與β之間,試在(2)的條件下求CD的長.
三、線線、線面、面面平行的轉化
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ACC1A1,BCC1B1均為正方形,D,E分別是棱AB,A1B1的中點,N為線段C1E上的一點.證明:BN∥平面A1DC.
【方法總結】空間中各種平行關系相互轉化的示意圖
注意:判定是用低一級的平行關系證明高一級的平行關系;性質是用高一級的平行關系推出低一級的平行關系.
在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點,EF∥DB,G,H分別是EC,FB的中點.求證:GH∥平面ABC.
【隨堂檢測】
1.下列命題正確的是( ).
A.如果一個平面內兩條直線都平行于另一平面,那么這兩個平面平行
B.如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行
C.平行于同一直線的兩個平面一定相互平行
D.如果一個平面內的無數條直線都平行于另一平面,那么這兩個平面平行
2.“平面α與平面β平行”的充分條件是( ).
A.α內有無數條直線都與β平行
B.直線a α,直線b β,且a∥β,b∥α
C.α內的任何一條直線都與β平行
D.直線a∥α,a∥β,且直線a不在α內,也不在β內
3.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中點為P,過點A1作與截面PBC1平行的
截面,則該截面的面積為 .
4.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為AA1的中點,點P在側面BCC1B1上運動,當點P 時,A1P∥平面BCD.(答案不唯一,填一個滿足題意的條件即可)
參考答案
課時3　平面與平面平行
自主預習·悟新知
預學憶思
1.①平面α內兩條相交直線a,b,即a α,b α,a∩b=P;②兩條相交直線a,b都與β平行,即a∥β,b∥β.
2.不是.
3.平行.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.C　【解析】若m∥n,n∥α,則m∥α或m α,A不正確;
若m∥α,n α,則m∥n或m與n異面,B不正確;
若α∥β,則α與β沒有公共點,又因為m α,所以m與β沒有公共點,所以m∥β,C正確;
若m∥n,m α,n β,則α∥β或α與β相交,D不正確.
3.A　【解析】因為平面ABCD∥平面A'B'C'D',所以EF∥E'F'.故選A.
4.平行　【解析】如圖所示,連接D1P,B1P,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,平面B1D1P∩平面ABCD=l,所以l∥B1D1.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:在一個平面內找兩條相交直線分別平行于另一個平面即可.
問題2:不一定,也可能相交.
問題3:不一定,也可能相交.
問題4:有.若α,β,γ為三個不重合的平面,則α∥β,β∥γ α∥γ.
新知生成
兩條相交直線
新知運用
例1　D　【解析】A,C不正確,因為兩個平面可能相交;B不正確,因為平面α內的這兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平行;D正確,因為兩個平面(不重合)的位置關系只有相交與平行兩種,又因為兩個平面不相交,所以這兩個平面必定平行.故選D.
鞏固訓練　C　【解析】要使α∥β成立,需要其中一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,n,m是相交直線且n α,n∥β,m α,m∥β,由平面與平面平行的判定定理可得α∥β.故選C.
例2　【解析】(1)因為B1B DD1,所以四邊形BB1D1D是平行四邊形,
所以B1D1∥BD,又BD 平面B1D1C,B1D1 平面B1D1C,
所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.
又A1D∩BD=D,A1D,BD 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1,B1D1 平面EB1D1,BD 平面EB1D1,得BD∥平面EB1D1.
如圖,取BB1的中點G,連接AG,GF,易得AE∥B1G,
又因為AE=B1G,所以四邊形AEB1G是平行四邊形,
所以B1E∥AG.
易得GF∥AD,
又因為GF=AD,
所以四邊形ADFG是平行四邊形,所以AG∥DF,
所以B1E∥DF,
又B1E 平面EB1D1,DF 平面EB1D1,
所以DF∥平面EB1D1.
因為BD∩DF=D,BD,DF 平面FBD,所以平面EB1D1∥平面FBD.
鞏固訓練　【解析】如圖,連接AC,交BD于點N,連接MN,則N為AC的中點,
因為M為AE的中點,所以MN∥CE.
因為MN 平面EFC,CE 平面EFC,
所以MN∥平面EFC,因為BF∥DE,BF=DE,
所以四邊形BDEF是平行四邊形,所以BD∥EF.
因為BD 平面EFC,EF 平面EFC,
所以BD∥平面EFC.
因為BD∩MN=N,BD,MN 平面BMD,
所以平面BMD∥平面EFC.
探究2　情境設置
問題1:是的.
問題2:不一定,也可能異面.
問題3:平行.
新知生成
(1)平行　(2)a∥b
新知運用
例3　【解析】因為BE∥AA1,AA1 平面AA1D,BE 平面AA1D,
所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD,AD 平面AA1D,BC 平面AA1D,
所以BC∥平面AA1D.
因為BE∩BC=B,BE 平面BCE,BC 平面BCE,
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因為平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.
鞏固訓練　【解析】在 A'B'C'D'中,A'B'∥C'D',
∵A'B' 平面C'D'DC,C'D' 平面C'D'DC,
∴A'B'∥平面C'D'DC.
同理可得A'A∥平面C'D'DC.
又A'A∩A'B'=A',A'A,A'B' 平面A'B'BA,
∴平面A'B'BA∥平面C'D'DC.
∵平面ABCD∩平面A'B'BA=AB,
平面ABCD∩平面C'D'DC=CD,∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
例4　【解析】根據題意作出圖形,如圖所示.
∵AB,CD交于點S,∴AB與CD確定一個平面,記為平面γ,則平面γ∩平面α=AC,平面γ∩平面β=BD,
又∵平面α∥平面β,∴AC∥BD,
∴△SAC∽△SBD,
∴=,
∵AS=8,BS=6,CS=12,
∴=,∴SD=9.
鞏固訓練　【解析】(1)因為PB∩PD=P,所以直線PB和直線PD確定一個平面,記為γ,
則α∩γ=AC,β∩γ=BD,
又α∥β,所以AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD,所以=,
即=,解得CD=,
所以PD=PC+CD=.
(3)如圖,由(1)得AC∥BD,
所以△PAC∽△PBD,
所以=,
即=,
所以=,解得PD=.
所以CD=PC+PD=3+=.
例5　【解析】連接BE,BC1,DE,如圖所示.因為AB∥A1B1,且AB=A1B1,D,E分別是棱AB,A1B1的中點,所以BD∥A1E,且BD=A1E,所以四邊形BDA1E為平行四邊形,所以A1D∥EB,又A1D 平面A1DC,EB 平面A1DC,所以EB∥平面A1DC.
因為DE∥BB1∥CC1,且DE=BB1=CC1,
所以四邊形DCC1E為平行四邊形,所以C1E∥CD,
又CD 平面A1DC,C1E 平面A1DC,所以C1E∥平面A1DC.
因為C1E∩EB=E,C1E,EB 平面BEC1,所以平面BEC1∥平面A1DC.
因為BN 平面BEC1,所以BN∥平面A1DC.
鞏固訓練　【解析】
如圖,取FC的中點I,連接GI,HI,則有GI∥EF.
因為EF∥DB,所以GI∥DB.
因為BD 平面ABC,GI 平面ABC,所以GI∥平面ABC.同理,HI∥平面ABC.
因為GI∩HI=I,GI 平面GHI,HI 平面GHI,
所以平面GHI∥平面ABC.
因為GH 平面GHI,所以GH∥平面ABC.
隨堂檢測·精評價
1.B　【解析】如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面,即兩個平面沒有公共點,那么兩平面平行.
2.C　【解析】C選項是面面平行的定義,對于A,B,D,當平面α與平面β相交時都有可能滿足.
3.2　【解析】
過點A1與截面PBC1平行的截面為菱形A1MCN,如圖所示,其中M為AB的中點,N為D1C1的中點.
易知MN=2,A1C=2,
故菱形A1MCN的面積S=×2×2=2.
4.在CC1的中點F與BB1的中點E的連線線段上　【解析】設CC1,BB1的中點分別為F,E,連接A1E,A1F,EF(圖略),則EF∥BC,A1F∥CD,∴EF∥平面BCD,A1F∥平面BCD,又EF∩A1F=F,EF,A1F 平面A1EF,∴平面A1EF∥平面BCD,故線段EF上的任意一點與A1的連線都平行于平面BCD.

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