資源簡介

8.6 課時3 直線與平面垂直的性質
【學習目標】
1.掌握空間中線面垂直的性質定理.(直觀想象)
2.能夠運用線面垂直的性質定理證明一些簡單的問題.(邏輯推理)
【自主預習】
1.在長方體ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB'所在的直線與平面ABCD的位置關系如何
2.垂直于同一平面的兩條垂線一定共面嗎
3.在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿.每排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直,這些電線桿之間的位置關系是什么
4.如果直線a∥直線b,直線a⊥平面α,那么直線b也垂直于平面α嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平行于同一條直線的兩條直線互相平行. ( )
(2)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行. ( )
(3)平行于同一個平面的兩條直線互相平行. ( )
(4)垂直于同一個平面的兩條直線互相平行. ( )
2.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,則點C到平面BDD1B1的距離為( ).
A.1 B.
C.2 D.2
3.如圖所示,正四面體A-BCD的棱長為1,則點A到平面BCD的距離為 .
第3題圖　　　第4題圖
4.如圖,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,則EF= .
【合作探究】
　直線與平面垂直的性質
世界上的高樓大廈太多了,如上海中心大廈,如圖所示.
問題1:上海中心大廈外墻的每列玻璃所在的直線與地面有何位置關系
問題2:每列玻璃所在的直線是什么位置關系
問題3:過一點有幾條直線與已知平面垂直
　　直線與平面垂直的性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線
符號語言
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行; ②作平行線
　　特別提醒:(1)直線與平面垂直的性質定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法;(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內在聯系,提供了“垂直”與“平行”關系轉化的依據.
如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的點,N是A1C上的點,且MN⊥平面A1DC.求證:MN∥AD1.
【方法總結】證明線線平行常用的方法
(1)利用線線平行定義:證明共面且無公共點.
(2)利用三條直線平行的基本事實:證明兩條直線同時平行于第三條直線.
(3)利用線面平行的性質定理:把證明線線平行轉化為證明線面平行.
(4)利用線面垂直的性質定理:把證明線線平行轉化為證明線面垂直.
如圖,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分別為BC,CD上的點,且EF⊥AC.求證:EF∥BD.
　點、線、面到面的距離問題
如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,AB=2,AA1=2,點B1在底面ABCD上的射影為BC的中點H.
問題1:點B1到平面ABCD的距離是多少
問題2:點C1到平面ABCD的距離是多少
線面距離、平行平面間的距離
(1)一條直線與一個平面平行時,這條直線上 到這個平面的距離,叫作這條直線到這個平面的距離.
(2)如果兩個平面平行,那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離 ,我們把它叫作這兩個平行平面間的距離.
如圖1,已知在邊長為2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,沿對角線BD將其翻折,使∠ABC=90°,設此時AC的中點為O,如圖2.
(1)求證:點O是點D在平面ABC上的射影.
(2)求點A到平面BCD的距離.
【方法總結】從平面外一點作一個平面的垂線,這個點與垂足間的距離就是這個點到這個平面的距離.當該點到已知平面的垂線不易作出時,可利用線面平行、面面平行的性質進行轉化,比如從與已知平面等距離的點作垂線,然后計算,也可以利用等體積法轉換求解.
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中點,AC⊥BC,AC=BC,AB=AA1=4.
(1)證明:AC1⊥平面BCD.
(2)求點D到平面ABC1的距離.
　直線與平面垂直關系的綜合應用
如圖,已知△ABC為直角三角形,AB為斜邊,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分別為垂足.
(1)求證:EF⊥PB.
(2)若直線l⊥平面AEF,求證:PB∥l.
【方法總結】線線、線面垂直問題的解題策略
(1)證明線線垂直,一般通過證明一條直線垂直于經過另一條直線的平面,以此分析題設,觀察圖形,找到解題突破口.
(2)證明直線和平面垂直,就是要證明這條直線垂直于平面內的兩條相交直線,這一點在解題時一定要體現出來.
如圖所示,已知AF⊥平面ABCD,四邊形ABEF為矩形,四邊形ABCD為直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.求證:
(1)AC⊥平面BCE;
(2)AD⊥AE.
【隨堂檢測】
1.(多選題)《蝶戀花·春景》是北宋蘇軾寫的一首詞作.其下闋為:“墻里秋千墻外道.墻外行人,墻里佳人笑.笑漸不聞聲漸悄,多情卻被無情惱.”假如將墻看作一個平面,墻外的道路和墻內的秋千繩、秋千板近似看作直線,那么道路和墻面可看作線面平行,當秋千靜止時,秋千板與墻面可看作線面垂直,秋千繩與墻面可看作線面平行.在佳人蕩秋千的過程中,( ).
A.秋千繩與墻面始終線面平行
B.秋千繩與道路始終線線垂直
C.秋千板與墻面始終線面垂直
D.秋千板與道路始終線線垂直
2.在四面體P-ABC中,若PA=PB=PC,則點P在平面ABC內的射影一定是△ABC的( ).
A.外心 B.內心 C.垂心 D.重心
3.如圖, ADEF的邊AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,則CE= .
4.如圖所示,已知平面α∩平面β=EF,A為α,β外一點,AB⊥α于點B,AC⊥β于點C,CD⊥α于點D.求證:BD⊥EF.
參考答案
課時3　直線與平面垂直的性質
自主預習·悟新知
預學憶思
1.棱AA',BB'所在的直線都與平面ABCD垂直.
2.一定共面,由線面垂直的性質定理可知這兩條直線是平行的,故能確定一個平面.
3.平行.
4.是的,直線b也垂直于平面α.
自學檢測
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】如
圖,連接AC,與DB交于點O,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴點C到平面BDD1B1的距離為CO的長度.
∵AB=2,∴AC=2,∴CO=AC=.
3.　【解析】如
圖,設O是底面△BCD的中心,則AO⊥平面BCD,則線段AO為點A到平面BCD的距離.又因為BO 平面BCD,所以AO⊥BO,又正四面體A-BCD的棱長為1,所以BO=××1=,AO===.
4.6　【解析】∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,∴AF∥DE.
∵AF=DE,
∴四邊形ADEF是平行四邊形,
∴EF=AD=6.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:垂直.
問題2:平行.
問題3:有且僅有一條.假設過一點有兩條直線與已知平面垂直,由直線與平面垂直的性質定理可得這兩條直線平行,應無公共點,這與兩條直線過同一點相矛盾,故只有一條直線.
新知生成
平行　a∥b
新知運用
例1　【解析】因為四邊形ADD1A1為正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因為CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因為A1D∩CD=D,A1D,CD 平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC.
又因為MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
鞏固訓練　【解析】∵PA⊥平面ABD,BD 平面ABD,∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面BCD,BD,EF 平面BCD,∴PC⊥BD,PC⊥EF.
∵PA∩PC=P,PA,PC 平面PAC,∴BD⊥平面PAC,
又EF⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC 平面PAC,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD.
探究2　情境設置
問題1:由題知B1H⊥平面ABCD,所以點B1到平面ABCD的距離為B1H的長度,又B1H==,所以點B1到平面ABCD的距離為.
問題2:因為B1C1∥BC,B1C1 平面ABCD,BC 平面ABCD,所以B1C1∥平面ABCD,
所以點C1到平面ABCD的距離與點B1到平面ABCD的距離相等,所以點C1到平面ABCD的距離為.
新知生成
(1)任意一點　(2)都相等
新知運用
例2　【解析】(1)如圖所示,連接DO,因為DA=DC,O為AC的中點,所以DO⊥AC.
已知菱形ABCD的邊長為2,又因為∠ABC=90°,所以AC=2,連接BO,則BO=.
因為DA=DC=2,AC=2,所以DA2+DC2=AC2,所以DA⊥DC,
所以DO=,又BD=2,所以DO2+OB2=DB2,所以DO⊥OB,
又AC∩OB=O,AC,OB 平面ABC,所以DO⊥平面ABC,
所以點O是點D在平面ABC上的射影.
(2)設點A到平面BCD的距離為h,
由(1)得BD=BC=DC=2,則∠DCB=60°,
所以△BCD的面積為BC·DC·sin 60°=×2×2×=,則VA-BCD=S△BCD·h=h.
由題意得△ABC的面積為BC·AB=×2×2=2,
由(1)知,DO⊥平面ABC,DO=,所以VD-ABC=S△ABC·DO=×2×=.
由VA-BCD=VD-ABC,得h=,所以h=,即點A到平面BCD的距離為.
鞏固訓練　【解析】(1)因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以CC1⊥BC.
因為BC⊥AC,AC∩CC1=C,AC,CC1 平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1,又AC1 平面ACC1A1,所以BC⊥AC1.
因為AB=4,AC=BC,所以AC=2.
又D是AA1的中點,AA1=4,所以=,所以△ADC∽△CAC1,則AC1⊥CD.
因為BC∩CD=C,BC,CD 平面BCD,所以AC1⊥平面BCD.
(2)由(1)知,BC⊥平面ACC1A1,所以=·BC=××2×2×2=.
因為AC1==2,BC1==2,所以AC1=BC1,所以=AB·=4.
設點D到平面ABC1的距離為d,由=,得d=,解得d=,
即點D到平面ABC1的距離為.
探究3
例3　【解析】(1)因為PA⊥平面ABC,
所以PA⊥BC.
因為△ABC為直角三角形,AB為斜邊,
所以BC⊥AC,又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
因為AF 平面PAC,所以BC⊥AF.
又AF⊥PC,且PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC,所以AF⊥PB.
因為AE⊥PB,且AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,
所以PB⊥平面AEF.
因為EF 平面AEF,所以EF⊥PB.
(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,
又l⊥平面AEF,所以PB∥l.
鞏固訓練　【解析】(1)在直角梯形ABCD中,AD=CD=2,AB=4,
所以AC=BC=2,
所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.
因為AF⊥平面ABCD,AF∥BE,
所以BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC.
又BE∩BC=B,BE,BC 平面BCE,
所以AC⊥平面BCE.
(2)因為AF⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以AF⊥AD.
又∠DAB=90°,所以AB⊥AD.
又AF∩AB=A,AF,AB 平面ABEF,
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF,所以AD⊥AE.
隨堂檢測·精評價
1.ACD　【解析】在蕩秋千的過程中,秋千繩與墻面始終線面平行,但與道路所在直線所成的角在變化.而秋千板與墻面始終線面垂直,故與道路也始終線線垂直,故選ACD.
2.A　【解析】如
圖,設點P在平面ABC內的射影為點O,連接OP,則PO⊥平面ABC.
連接OA,OB,OC,則PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,
又PA=PB=PC,∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,
則OA=OB=OC,∴O為△ABC的外心.
3.　【解析】因為AF⊥平面ABCD,AF∥ED,所以ED⊥平面ABCD,又CD 平面ABCD,所以ED⊥CD,所以△EDC為直角三角形,故CE==.
4.【解析】∵AB⊥α,CD⊥α,∴AB∥CD,∴A,B,C,D四點共面.
∵AB⊥α,AC⊥β,α∩β=EF,∴AB⊥EF,AC⊥EF.
又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABDC,∴EF⊥平面ABDC.
∵BD 平面ABDC,∴BD⊥EF.8.6 課時2 直線與平面垂直的判定
【學習目標】
1.借助長方體,通過直觀感知,理解空間中直線與平面的垂直關系.(直觀想象)
2.歸納出直線與平面垂直的判定定理.(邏輯推理)
3.理解直線與平面所成的角.(數學運算)
【自主預習】
1.在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子,隨著時間的變化,影子的位置在移動,在各個時刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發生變化 若不變,夾角大小為多少
2.空間兩條垂直直線一定相交嗎
3.我們知道線面垂直的判定定理:如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.若把定理中的“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線l與平面α內的無數條直線垂直,則l⊥α. ( )
(2)若直線與平面所成的角為α,則0°<α≤90°. ( )
(3)過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條. ( )
(4)斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段. ( )
2.(多選題)如果一條直線垂直于一個平面內的( ),那么能保證該直線與平面垂直.
A.三角形的兩邊 B.梯形的兩邊
C.圓的兩條直徑 D.正六邊形的兩條邊
3.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于( ).
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于 ;AB1與平面ADD1A1所成的角等于 ;AB1與平面DCC1D1所成的角等于 .
【合作探究】
　直線與平面垂直的定義
魯班是我國古代一位出色的發明家,他在做木匠活時,常常遇到有關直角的問題.雖然他手頭上有畫直角的矩,但它用起來很費事.于是,魯班對矩進行改進,做成了一把叫作曲尺的“L”形木尺.現在木工要檢查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次,如圖,如果兩次檢查時,曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合,便可以判定木棒與板面垂直.
問題1:用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎
問題2:問題1說明了直線與平面垂直的條件是什么
問題3:若直線垂直于平面內的無數條直線,直線與平面垂直嗎
1.直線與平面垂直
(1)定義:如果直線l與平面α內的 直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直.
(2)記法:l⊥α.
(3)有關概念:直線l叫作平面α的 ,平面α叫作直線l的 ,它們唯一的公共點P叫作 .
(4)畫法:畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,如圖所示.
2.過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.過一點作垂直于已知平面的直線,則該點與垂足間的線段,叫作這個點到該平面的垂線段,垂線段的長度叫作這個點到該平面的距離.
下列命題中,真命題的個數是( ).
①若直線l與平面α內的無數條直線垂直,則l⊥α;
②若直線l與平面α內的一條直線垂直,則l⊥α;
③若直線l不垂直于平面α,則α內沒有與l垂直的直線;
④若直線l不垂直于平面α,則α內也可以有無數條直線與l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
【方法總結】對直線與平面垂直的定義的理解
直線與平面垂直的定義具有兩重性,既是判定又是性質.判定,指它是判定直線與平面垂直的方法;性質,指如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線就垂直于這個平面內的任何一條直線,即“l⊥α,a α l⊥a”,這是證明線線垂直的一種方法.
若直線l⊥平面α,直線m α,則l與m不可能( ).
A.平行 B.相交 C.異面 D.垂直
　直線與平面垂直的判定
將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).如圖,觀察折痕AD與桌面的位置關系.
問題1:折痕AD與桌面一定垂直嗎
問題2:當折痕AD滿足什么條件時,AD與桌面垂直
直線與平面垂直的判定定理
(1)文字語言:如果一條直線與一個平面內的 垂直,那么該直線與此平面垂直.
(2)符號語言:a α,b α, ,l⊥a,l⊥b l⊥α.
(3)圖形語言:
如圖,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,AE⊥PB于點E,AF⊥PC于點F.
(1)求證:PC⊥平面AEF.
(2)設平面AEF交PD于點G,求證:AG⊥PD.
【方法總結】線線垂直和線面垂直的相互轉化
如圖在四面體PABC中,已知BC=6,PC=10,PB=2.F是線段PB上一點,CF=,點E在線段AB上,且
EF⊥PB.求證:PB⊥平面CEF.
　直線與平面所成的角
如圖,斜拉橋又稱斜張橋,是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁,是由承壓的塔、受拉的索和承彎的梁體組合起來的一種結構體系.其可看作拉索代替支墩的多跨彈性支承連續梁.其可使梁體內彎矩減小,降低建筑高度,減輕結構重量,節省材料.
問題1:圖中拉索所在直線與橋面都是相交的關系,其傾斜程度相同嗎
問題2:能用角來表示直線與平面相交時不同的傾斜程度嗎
問題3:直線與平面所成的角是空間角,能和異面直線所成角一樣把空間角轉化為平面角嗎
直線與平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 與平面α相交,但不和平面α垂直,如圖中
斜足 斜線和平面的 , 如圖中
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引 ,過 和 的直線叫作斜線在這個平面上的射影,圖中斜線PA在平面α上的射影為
直線與平面所成的角 定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,如圖中 . 規定:一條直線垂直于平面,它們所成的角是 ;一條直線和平面平行,或在平面內,它們所成的角是
取值 范圍 設直線與平面所成的角為θ,則
如圖,這是四棱錐P-ABCD的平面展開圖,四邊形ABCD是矩形,ED⊥DC,FD⊥DA,DA=3,DC=2,∠FAD=30°,則在四棱錐P-ABCD中,BP與平面PDC所成角的正切值為( ).
A.　　　B.　　　C.　　D.
【方法總結】求直線與平面所成角的步驟:(1)尋找過斜線上斜足以外的一點與平面垂直的直線;(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求;(3)把該角放在某個三角形中,通過解三角形,求出該角.
已知正方體ABCD-A1B1C1D1.
(1)求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值;
(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.
【隨堂檢測】
1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是( ).
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不確定
2.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個不重合的平面,那么下面給出的條件中,一定能推出m⊥β的是( ).
A.α∥β,且m α B.m∥n,且n⊥β
C.m⊥n,且n β D.m⊥n,且n∥β
3.已知在三棱錐O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=,則直線OA與平面OBC所成角的正弦值為( ).
A. B.
C. D.
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:A1C⊥平面BC1D.
參考答案
課時2　直線與平面垂直的判定
自主預習·悟新知
預學憶思
1.不變,90°.
2.不一定相交.空間兩條直線垂直分為兩種情況:一種是相交垂直,一種是異面垂直.
3.不一定.當這兩條直線平行時,直線可能與平面平行或相交或在平面內,所以不一定垂直.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.AC　【解析】三角形的兩邊必相交,圓的兩條直徑必相交,而梯形、正六邊形中的兩邊不一定相交,由線面垂直的判定定理知,應選AC.
3.C　【解析】由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故選C.
4.45°　45°　0°　【解析】∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角,且∠B1AB=45°;∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角,且∠B1AA1=45°;顯然,AB1與平面DCC1D1平行,即所成的角為0°.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:不能.
問題2:直線垂直于平面內的兩條相交直線.
問題3:不一定.
新知生成
1.(1)任意一條　(3)垂線　垂面　垂足
新知運用
例1　B　【解析】當l與α內的無數條直線垂直時,若這無數條直線為平行直線,則l與α不一定垂直,故①錯誤;當l與α內的一條直線垂直時,不能保證l與α垂直,故②錯誤;當l與α不垂直時,l可能與α內的無數條直線垂直,故③錯誤,④正確.故選B.
鞏固訓練　A　【解析】因為直線l⊥平面α,所以l與α相交.
又因為m α,所以l與m可能相交或異面.
由直線與平面垂直的定義,可知l⊥m,故l與m不可能平行.
探究2　情境設置
問題1:不一定.
問題2:當AD⊥BD且AD⊥CD時,折痕AD與桌面垂直.
新知生成
(1)兩條相交直線　(2)a∩b=P
新知運用
例2　【解析】(1)因為PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PA⊥BC.
由底面ABCD為矩形,得AB⊥BC,又PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因為AE 平面PAB,所以AE⊥BC.
又AE⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,所以AE⊥平面PBC,因為PC 平面PBC,所以AE⊥PC.
又因為PC⊥AF,AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF,又AG 平面AEF,所以PC⊥AG.
因為底面ABCD為矩形,所以CD⊥AD.
又PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD.
因為AG 平面PAD,所以CD⊥AG.
又PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,所以AG⊥平面PCD,因為PD 平面PCD,所以AG⊥PD.
鞏固訓練　【解析】在△PCB中,∵PC=10,BC=6,PB=2,CF=,
∴PC2+BC2=PB2,∴△PCB為直角三角形,PC⊥BC.
又PC·BC=PB·CF,∴PB⊥CF.
又EF⊥PB,EF∩CF=F,EF,CF 平面CEF,∴PB⊥平面CEF.
探究3　情境設置
問題1:不同.
問題2:能.
問題3:能.
新知生成
直線PA　交點　點A　垂線　垂足　斜足　直線AO　∠PAO
90°　0°　0°≤θ≤90°
新知運用
例3　D　【解析】如圖,在四棱錐P-ABCD中,由題意得PD⊥DA,PD⊥DC,又DA∩DC=D,
DA,DC 平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD,
又BC 平面ABCD,所以PD⊥BC.
又四邊形ABCD是矩形,所以BC⊥DC.
因為PD∩DC=D,PD,DC 平面PDC,
所以BC⊥平面PDC,故∠BPC為BP與平面PDC所成的角,
其中BC=DA=3,∠PAD=30°,所以PD=DAtan 30°=3×=,
又DC=2,PD⊥DC,所以PC==,
所以tan∠BPC===.
鞏固訓練　【解析】(1)∵直線A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角.
設A1A=1,則AC=,∴tan∠A1CA=.
故直線A1C與平面ABCD所成角的正切值為.
(2)如
圖,連接A1C1交B1D1于點O,
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.
又∵BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1 平面BDD1B1,
∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足為O,連接BO,
∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角.
在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,∴∠A1BO=30°.故直線A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】因為梯形兩腰所在的直線為兩條相交直線,所以由線面垂直的判定定理知,直線與平面垂直.故選A.
2.B　【解析】A中,由α∥β,且m α,知m∥β,A不符合題意;B中,由n⊥β,知n垂直于平面β內的任意直線,再由m∥n,知m也垂直于β內的任意直線,所以m⊥β,B符合題意;C,D中,可得m β或m∥β或m與β相交,C,D不符合題意.故選B.
3.D　【解析】根
據題意,設O,A,B,C是正四面體O-ABC 的4個頂點,
則點A在平面OBC上的射影是正△OBC的中心D,如圖.
設OB=1,則OA=1,可得OD=×1×sin =,
則高AD===,
設直線OA與平面OBC所成的角為θ,則sin θ=.故選D.
4.【解析】如
圖,連接AC,BD,顯然AC⊥BD.
∵BD⊥A1A,AC∩AA1=A,AC,A1A 平面A1AC,
∴BD⊥平面A1AC.
又∵A1C 平面A1AC,∴BD⊥A1C.
同理可得BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1=B,BD,BC1 平面BC1D,
∴A1C⊥平面BC1D.8.6 課時1 直線與直線垂直
【學習目標】
1.借助長方體,通過直觀感知,理解空間中直線與直線垂直的關系.(直觀想象)
2.會求兩異面直線所成的角.(數學運算)
【自主預習】
1.異面直線所成的角的定義是什么
2.異面直線所成的角的范圍是什么
3.異面直線垂直的定義是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)異面直線所成的角的大小與通過平移轉化后兩直線的交點O的位置有關,即點O位置不同時,該角的大小也不同. ( )
(2)異面直線a與b所成的角可以是0°. ( )
(3)如果兩條平行直線中的一條與第三條直線垂直,那么另一條直線也與第三條直線垂直.( )
(4)空間中兩條直線所成的角α的取值范圍是0°≤α≤90°.( )
2.空間中垂直于同一條直線的兩條直線的位置關系是( ).
A.平行 B.相交 C.異面 D.以上均有可能
3.若∠AOB=120°,直線a∥OA,a與OB為異面直線,則a和OB所成的角的大小為( ).
A.30° B.60° C.90° D.120°
4.如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G分別是AB,BC,AD的中點,∠GEF=120°,則BD與AC所成角的大小為 .
【合作探究】
　異面直線所成的角
問題1:如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,直線A'C'與直線AB,直線A'D'與直線AB都是異面直線,直線A'C'與A'D'相對于直線AB的位置相同嗎 如果不同,如何表示這種差異呢
問題2:異面直線有沒有夾角呢 若有,那如何找出這個夾角
異面直線所成的角
(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間 一點O作直線a'∥a,b'∥b,則直線a'與b'所成的角就是異面直線a與b所成的 (或 ).
(2)空間中兩條異面直線所成角θ的取值范圍: .特別地,當θ= 時,a與b互相垂直,記作 .
特別提醒:在定義中,空間一點O是任取的,根據等角定理,可以斷定異面直線所成的角與a',b'所成的銳角(或直角)相等,而與點O的位置無關.異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對位置的一個重要的量,可通過轉化為相交直線所成的角來求解.
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1與AC,AB所成的角均為60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值.
在空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.若AC=BD=2,且AC與BD所成的角為60°,求EG的長.
【方法總結】求兩條異面直線所成角的三個步驟
(1)根據所成角的定義,用平移法作出異面直線所成的角;
(2)證明作出的角就是要求的角;
(3)求角的值,常利用解三角形的方法求解.
可用“一作二證三計算”來概括.同時注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.
如圖所示,在長方體ABCD-EFGH中,AB=AD=2,AE=2.
(1)求直線BC和EG所成的角;
(2)求直線AE和BG所成的角.
　直線與直線垂直
問題1:什么是直線與直線垂直
問題2:兩條直線垂直,一定相交嗎
異面直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直.
直線a與直線b垂直,記作a⊥b.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求證:DB1⊥EF.
【方法總結】證明空間中兩條直線垂直的方法
(1)定義法:利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直.
(2)在平面幾何圖形中,利用勾股定理、菱形的對角線相互垂直、等腰三角形底邊的中線和底邊垂直進行證明.
已知對角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點分別為M,N,P,Q,判定四邊形MNPQ的形狀.
【隨堂檢測】
1.設P是直線l外的一個定點,過點P且與l成30°角的異面直線( ).
A.有無數條 B.有兩條
C.至多有兩條 D.有一條
2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列直線與B1D1垂直的是( ).
A.BC1 B.A1D
C.AC D.BC
3.在四面體ABCD中,E,F分別為AC,BD的中點,若CD=2AB,EF⊥AB,則EF與CD所成的角為( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BC1所成角的大小是 .
參考答案
8.6　空間直線、平面的垂直
課時1　直線與直線垂直
自主預習·悟新知
預學憶思
1.已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,把直線a'與b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).
2.設θ為異面直線a與b所成的角,則0°<θ≤90°.
3.如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直.
自學檢測
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.D　【解析】如
圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DC⊥CC',BC⊥CC',BC與DC相交;
DA⊥CC',BC⊥CC',DA與BC平行;
A'C'⊥CC',BC⊥CC',BC與A'C'互為異面直線.故選D.
3.B　【解析】因為a∥OA,且異面直線所成的角為銳角或直角,
所以a與OB所成的角為60°.
4.60°　【解析】依題意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其補角就是異面直線BD與AC所成的角,又∠GEF=120°,所以異面直線BD與AC所成的角為60°.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:不同,可以通過角度表示.
問題2:有,通過平移,用同一平面內兩直線的夾角來刻畫異面直線所成的角.
新知生成
(1)任　角　夾角　(2)0°<θ≤90°　90°　a⊥b
新知運用
例1　【解析】
如圖所示,把三棱柱補為四棱柱ABDC-A1B1D1C1,連接BD1,A1D1,AD,
由四棱柱的性質知BD1∥AC1,則∠A1BD1(或其補角)就是異面直線A1B與AC1所成的角.
設AB=a,∵AA1與AC,AB所成的角均為60°,且AB=AC=AA1,
∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos 30°=a.又∠BAC=90°,
在矩形ABDC中,AD=a,
∴A1D1=a,∴A1+A1B2=B,
∴∠BA1D1=90°,在Rt△BA1D1中,cos∠A1BD1===.
例2　【解析】如圖,連接HE,HG,在△ABD中,因為H,E分別為AD,AB的中點,所以HE∥BD,HE=1.
在△ACD中,因為H,G分別為AD,CD的中點,所以HG∥AC,HG=1,因為AC與BD所成的角為60°,所以∠EHG=60°或∠EHG=120°.
當∠EHG=60°時,△EHG為等邊三角形,所以EG=1.
當∠EHG=120°時,由余弦定理可得EG2=1+1-2×1×1×-=3,即EG=.
所以EG的長為1或.
鞏固訓練　【解析】(1)連接AC(圖略).
∵EG∥AC,∴∠ACB就是BC和EG所成的角.
∵在長方體ABCD-EFGH中,AB=AD=BC=2,
∴∠ACB=45°,
∴直線BC和直線EG所成的角是45°.
(2)∵AE∥BF,∴∠FBG就是AE和BG所成的角.
易知tan∠FBG=,又∵∠FBG∈0,,∴∠FBG=60°,
∴直線AE和BG所成的角是60°.
探究2　情境設置
問題1:直線與直線垂直是指兩直線所成的角是直角.
問題2:不一定.當兩條異面直線所成的角為90°時,這兩條異面直線垂直,但不相交.
新知運用
例3　【解析】
如圖,連接A1C1,B1D1,并設它們相交于點O,取DD1的中點G,連接OG,A1G,C1G.
則OG∥DB1,EF∥A1C1.
∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.
∵GA1=GC1,O為A1C1的中點,
∴GO⊥A1C1,
∴異面直線DB1與EF所成的角為90°,即DB1⊥EF.
鞏固訓練　【解析】如圖所示,
∵M,N,P,Q分別是四條邊的中點,
∴MN∥AC,且MN=AC,PQ∥AC,且PQ=AC,
∴MN∥PQ且MN=PQ,
∴四邊形MNPQ是平行四邊形.
又∵BD∥MQ,AC⊥BD,
∴MN⊥MQ,
∴平行四邊形MNPQ是矩形.
隨堂檢測·精評價
1.A　【解析】過點P且與l成30°角的異面直線有無數條,并且異面直線在以P為頂點的圓錐的側面上.
2.C　【解析】連接BD(圖略),∵四邊形ABCD為正方形,
∴AC⊥BD.
∵B1D1∥BD,∴AC⊥B1D1,故選C.
3.A　【解析】如圖,取AD的中點H,連接FH,EH,∵E,F分別
為AC,BD的中點,∴EH∥CD,HF∥AB,∴∠HEF為直線EF與CD所成的角(或其補角),在△EFH中,∵EF⊥AB,∴∠EFH=90°,∵CD=2AB,∴HE=2HF,
∴∠HEF=30°,故選A.
4.60°　【解析】
連接AD1,如圖所示,則AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其補角)就是AC與BC1所成的角,
連接CD1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,
∴∠CAD1=60°,即AC與BC1所成的角為60°.8.6 課時4 平面與平面垂直
【學習目標】
1.借助長方體,通過直觀感知,理解空間中平面與平面的垂直關系.(直觀想象)
2.了解二面角的相關概念,平面與平面垂直的定義.(數學抽象)
3.歸納出平面與平面垂直的判定定理和性質定理.(邏輯推理)
【自主預習】
1.二面角的定義是什么
2.二面角的平面角的定義是什么
3.二面角的平面角α的取值范圍是什么
4.面面垂直是怎樣定義的
5.面面垂直的判定定理的內容是什么
6.面面垂直的性質定理的內容是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系. ( )
(2)組成二面角的平面角的兩邊所在直線確定的平面與二面角的棱垂直. ( )
(3)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的任意一條直線,則α⊥β. ( )
(4)若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則該直線也垂直于另一個平面. ( )
2.若直線l⊥平面α,l 平面β,則α與β的位置關系是( ).
A.平行　　　　B.可能重合
C.垂直　　　　D.相交但不垂直
3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直線m⊥α,則直線m與n的位置關系是 .
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-AC-B1的正切值為 .
【合作探究】
　二面角的概念
隨手打開一本書,每兩頁書之間所在的平面都形成一個角度;修水壩時,為了使水壩堅固耐用,必須使水壩面與水平面成適當的角度.
問題1:根據上述問題,你發現兩個半平面形成的角有何特點
問題2:兩個半平面所成的角θ的范圍是什么
問題3:二面角的平面角的大小是否與角的頂點在棱上的位置有關
1.二面角的定義:從一條直線出發的 所組成的圖形.
相關概念:①這條直線叫作二面角的 ;②兩個半平面叫作二面角的 .
2.二面角的畫法:
二面角的記法:可記為二面角 或 或 或P-AB-Q.
3.二面角的平面角:若O l,OA α,OB β,OA l,OB l,則二面角α-l-β的平面角是 .
特別提醒:(1)二面角是一個空間圖形,而二面角的平面角是平面圖形,二面角的大小可以用它的平面角來度量,體現了由空間圖形向平面圖形轉化的思想;(2)二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角,不是兩條直線的夾角,因此,二面角的平面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.
如圖,已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2,求二面角A-CD-B的余弦值.
【方法總結】求二面角的大小關鍵是作出該二面角的平面角,求二面角的大小的步驟:(1)找出這個平面角;(2)證明這個角是二面角的平面角;(3)作出這個角所在的三角形,解這個三角形,求出角的大小.
如圖,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求二面角A-BD-C的大小.
　平面與平面垂直的判定
建筑工地上,泥水匠砌墻時,為了保證墻面與地面垂直,泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線,再沿著該線砌墻,如圖,這樣就能保證墻面與地面垂直.
問題1:由上述可知,當直線與平面垂直時,過此直線可作無數個平面,那么這些平面與已知平面有何關系
問題2:若要判斷兩個平面是否垂直,根據上述問題能否得出一個方法
1.平面與平面垂直的定義
一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直,記作α⊥β.
2.平面與平面垂直的判定定理
(1)文字語言:如果一個平面過另一個平面的 ,那么這兩個平面垂直.
(2)符號語言:l⊥α, α⊥β.
(3)圖形語言:
特別提醒:平面與平面垂直的判定定理告訴我們,證明兩個平面垂直的問題可以轉化為證明直線與平面垂直的問題,進而轉化為證明線線垂直的問題.通常我們將其記為“若線面垂直,則面面垂直”.
如圖,四邊形ABCD為正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,G,F分別為PB,PC的中點,點E在MB上.求證:平面EFG⊥平面PDC.
【方法總結】證明面面垂直的方法
(1)定義法:證明兩個半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直,即把問題轉化為“線面垂直”.
(3)性質法:若兩個平行平面中的一個平面垂直于第三個平面,則另一個平面也垂直于此平面.
如圖,P為圓錐PO的頂點,A,B為底面圓O上的兩點,∠AOB=,E為PB的中點,點F在線段AB上,且AF=2FB.證明:平面AOP⊥平面OEF.
　平面與平面垂直的性質
教室內的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直.
問題1:在黑板上任意畫的一條線與地面垂直嗎
問題2:怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直
問題3:如果兩個平面垂直,那么一個平面內的直線與另一個平面有什么位置關系呢 如果直線和它們的交線垂直,那么這條直線和另一個平面垂直嗎
　　平面與平面垂直的性質定理
文字 語言 兩個平面垂直,如果 有一直線垂直于這兩個平面的 ,那么這條直線與另一個平面
符號 語言 a⊥β
圖形 語言
作用 ①面面垂直 垂直; ②作面的垂線
如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形.側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G為AD的中點,求證:BG⊥平面PAD.
(2)求證:AD⊥PB.
【方法總結】證明線面垂直,一種方法是利用線面垂直的判定定理,另一種方法是利用面面垂直的性質定理.本題已知面面垂直,故可考慮使用面面垂直的性質定理.
利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時,要注意以下三點:(1)兩個平面垂直;(2)直線必須在其中一個平面內;(3)直線必須垂直于兩平面的交線.
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,AC=BC=CC1,D是AA1的中點,且∠ACB=90°,∠DAC=60°.證明:AA1⊥平面CBD.
【隨堂檢測】
1.已知平面α,β,若α⊥β,α∩β=l,點P∈α,點P l,則下列說法正確的是( ).
①過點P且垂直于l的平面垂直于β;
②過點P且垂直于l的直線垂直于β;
③過點P且垂直于α的直線平行于β;
④過點P且垂直于β的直線在α內.
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①③④
2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結論錯誤的是( ).
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
3.如圖,PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B.若∠APB=80°,則二面角α-l-β的大小為 .
4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.證明:平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
參考答案
課時4　平面與平面垂直
自主預習·悟新知
預學憶思
1.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.
2.在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構成的∠AOB叫作二面角的平面角.
3.二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.
4.一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.
5.如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直.
6.兩個平面垂直,如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直.
自學檢測
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.C　【解析】由面面垂直的判定定理,得α與β垂直,故選C.
3.平行　【解析】因為α⊥β,α∩β=l,n β,n⊥l,所以n⊥α.
又m⊥α,所以m∥n.
4.　【解析】
如圖,連接AB1,B1C,AC,取AC的中點O,連接B1O,BO.
由AB=BC,得BO⊥AC.由AB1=B1C,得B1O⊥AC.故∠B1OB為二面角B-AC-B1的平面角.不妨設正方體的棱長為1,則在△ABC中,BO=AC=.因為B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥BO,所以∠B1BO=90°.又B1B=1,所以tan∠B1OB==.
合作探究·提素養
探究1　情境設置
問題1:可以是零角、銳角、直角、鈍角、平角.
問題2:0°≤θ≤180°.
問題3:
無關.如圖,根據等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關,只與二面角的大小有關.
新知生成
1.兩個半平面
2.①棱　②面
4.α-l-β　α-AB-β　P-l-Q
5.∈　 　 　⊥　⊥　∠AOB
新知運用
例1　【解析】
如圖,取CD的中點為M,連接AM,BM,則AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定義可知,∠AMB為二面角A-CD-B的平面角.
設H是△BCD的重心,
則AH⊥平面BCD,且點H在BM上.
在Rt△AMH中,AM=×2=,HM=×2×=,則cos∠AMB==.
故二面角A-CD-B的余弦值為.
鞏固訓練　【解析】因為AC⊥平面BCD,BD 平面BCD,
所以BD⊥AC.
又因為BD⊥CD,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,
所以BD⊥平面ACD.
因為AD 平面ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC為二面角A-BD-C的平面角.
在Rt△ACD中,因為AC=AD,所以∠ADC=30°,即所求二面角的大小為30°.
探究2　情境設置
問題1:垂直.
問題2:可以,只需在一個平面內找一條直線垂直于另一個平面即可.
新知生成
2.(1)垂線　(2)l β
新知運用
例2　【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA,
∴PD⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD,∴PD⊥BC.
∵四邊形ABCD為正方形,∴BC⊥DC.
又PD∩DC=D,PD,DC 平面PDC,
∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中,G,F分別為PB,PC的中點,
∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.
又GF 平面EFG,
∴平面EFG⊥平面PDC.
鞏固訓練　【解析】設圓O的半徑為r,在△AOB中,OA=OB=r,∠AOB=,所以∠OAB=,故AB=r.
又AF=2FB,所以AF=.
在△AOF中,由余弦定理得OF2=OA2+AF2-2OA·AF·cos∠OAF=r2.
因為OA2+OF2=AF2,所以OA⊥OF.
在圓錐PO中,因為PO⊥平面OAB,OF 平面OAB,所以PO⊥OF.又OA∩OP=O,OA,OP 平面AOP,所以OF⊥平面AOP.
又OF 平面OEF,所以平面AOP⊥平面OEF.
探究3　情境設置
問題1:不一定,也可能平行、相交(不垂直).
問題2:只要保證所畫的線與兩平面的交線垂直即可.
問題3:平行或相交;如果直線和它們的交線垂直,那么這條直線和另一個平面垂直.
新知生成
一個平面內　交線　垂直　a α　a⊥l　①線面
新知運用
例3　【解析】(1)如圖,連接PG,BD,
∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形.
∵G為AD的中點,
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,∵△PAD為正三角形,G為AD的中點,∴PG⊥AD.
又PG∩BG=G,PG,BG 平面PBG,∴AD⊥平面PBG.又PB 平面PBG,∴AD⊥PB.
鞏固訓練　【解析】如圖,連接CA1,由題意可知,△ACA1為等邊三角形,且D是AA1的中點,所以CD⊥AA1.
因為平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面ABC=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面ACC1A1.因為AA1 平面ACC1A1,所以BC⊥AA1.又CD∩BC=C,CD,BC 平面CBD,所以AA1⊥平面CBD.
隨堂檢測·精評價
1.D　【解析】當過點P且垂直于l的直線不在α內時,該直線與β不垂直,故②不正確;①③④正確.
2.C　【解析】由題意及面面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,故A,B,D正確.
3.100°　【解析】設所求的角為θ,
∵PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B,
∴θ+∠APB=180°,∴θ=100°.
4.【解析】因為A1C⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以A1C⊥BC.
因為∠ACB=90°,所以AC⊥BC.
又因為A1C,AC 平面ACC1A1,A1C∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
因為BC 平面BCC1B1,
所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.

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