資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024-2025人教版八年級數學下大單元結構化整合系列
17.1 勾股定理十四大題型解題技巧
知識點一 勾股定理
文字描述：
在直角三角形中， 兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方 。
幾何語言：
如圖。若直角三角形的兩直角邊分別是，斜邊是，則有：
。
變形式： ；
；
。
知識點二 勾股定理的驗證
方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．
　　　 圖（1）中，所以．
　　　　　
方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．
　　　　 　　圖（2）中，所以．
　　　　　　
方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以．
題型歸納
題型突破、典例精析
【題型1 勾股定理的證明】
【例1-1】．【教材呈現】如圖是華師版八年級上冊數學教材第117頁的部分內容．
把兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點、、在同一條直線上，利用此圖的面積表示式證明勾股定理．
(1)請結合圖①，寫出完整的證明過程；
(2)如圖②，等腰直角三角形，，，是射線上一點，以為直角邊在邊的右側作，使，．過點，作于點，，求的長．
【變式1-1】．勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”．世界上幾個文明古國都已發現并且進行了廣泛深入的研究，其中一個有趣的證法如下：把兩個全等的直角三角形（如圖1放置，，點在邊上，現設兩直角邊長分別為、，斜邊長為，請用、、分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理，
(1)請根據上述圖形的面積關系證明勾股定理；
(2)如圖2，鐵路上、兩點（看作直線上的兩點）相距16千米，為兩個村莊（看作直線上的兩點），，，垂足分別為、，千米，千米，則兩個村莊的距離為_____千米．
(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一個供應站，使得，請在圖2中作出點的位置并求出的距離．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
【變式1-2】．閱讀與思考
請閱讀下列材料，并完成相應的任務．中國古代數學著作《周髀算經》（如圖1）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經隅五．”這句話的意思是如果直角三角形的兩直角邊的長分別為3和4，那么斜邊的長為5．上述記載表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之間的數量關系是____．對于這個數量關系，我國漢代數學家趙爽根據“趙爽弦圖”（如圖2，它是由八個全等的直角三角形圍成的一個正方形），利用面積法進行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過程補充完整：證明：∵，，，且______，∴____________．整理，得，∴．
任務：
(1)補全材料中的填空．
(2)如圖3，在中，是邊上的高，，，．設，求x的值．
【變式1-3】《勾股舉隅》為梅文鼎研究中國傳統勾股算術的著作，其中的主要成就是證明了勾股定理和對勾股算術算法進行了推廣．書中的證明方法是將4個三邊長分別為，，的全等直角三角形拼成如圖1所示的五邊形，然后通過添加輔助線，用面積法證明勾股定理．下面是小華給出的相關證明：
如圖2，延長交_____①_____于點．用兩種不同的方法表示五邊形的面積：方法一：將五邊形看成是由正方形與，拼成，則_____②_____．方法二：將五邊形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，則．根據面積相等可以得到_____④_____，即． 　
則下列說法錯誤的是（ ）
A．①代表 B．②代表
C．③代表正方形 D．④代表
【題型2 利用勾股定理的基本計算】
【例2-1】．在中，，若，則等于（ ）
A．4 B．16 C．20 D．25
【變式2-1】．如圖，用籬笆圍一個直角三角形花田，若，米，米，則邊需要的籬笆長為（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【變式2-2】．若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三邊長為 ．
【變式2-3】．如圖是一臺手機支架的示意圖，，可分別繞點，轉動，測得，，若，，垂足為點，，則點到的距離為 ．
【題型3 已知兩點坐標求兩點距離】
【例3-1】如圖，已知和四點在同一條直線上，，且，現將沿直線方向左右平移，則平移過程中的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】．在平面直角坐標系中，有一定點，一動點，當線段最短時，點的坐標為 ．
【變式3-2】．如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是．
(1)將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出；
(2)請畫出關于y軸對稱的；
(3)直接寫出的長度．
【變式3-3】．在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上（小正方形的頂點稱為格點），請解答下列問題．
(1)畫出關于y軸對稱的；
(2)在x軸上存在點P，使得最小，在圖中畫出點P的位置；
(3)在（2）的條件下求出此時的周長．
【題型4 利用勾股定理求線段長度】
【例4-1】．如圖，小麗在公園里蕩秋千，在起始位管處擺繩與地面垂直，擺繩長，向前蕩起到最高點處時距地面高度，擺動水平距離為，然后向后擺到最高點處．若前后擺動過程中繩始終拉直，且與成角，則小麗在處時距離地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】．定義：如圖，點把線段分割成，若以為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點是線段的勾股分割點．已知點、是線段的勾股分割點，且為直角邊，若，則的長為 ．
【變式4-2】．“趙爽弦圖”中，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數學風車”，這個風車的外圍周長（虛線部分）為76，則 ．
【變式4-3】．“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．某校八年級（1）班的小明和小亮為了測得風箏的垂直高，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為1.65米．
(1)求風箏的垂直高度；
(2)如果小明想風箏沿方向下降12米，則他應該往回收線多少米？
【題型5 利用勾股定理求面積】
【例5-1】．如圖，在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形，面積分別記為，，，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【變式5-1】．小金同學在學習了課本第78頁閱讀材料《從勾股定理到圖形面積關系的拓展》之后，進一步探索：如圖1，以的各邊為邊分別向外作等邊三角形，再把較小的兩個等邊三角形紙片放置在最大的等邊三角形內的和處，如圖2所示．若要求的面積，則只需知道（ ）的面積．
A． B．四邊形
C．四邊形 D．四邊形
【變式5-2】．如圖，在中，，，以斜邊和直角邊為直徑的半圓面積分別記為、，則 ．（結果保留π）
【變式5-3】．如圖，以的三邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，其面積分別是，且，，當 時，．
【題型6 勾股定理與無理數】
【例6-1】．如圖，數軸上的點A表示的數是，點B表示的數是1，于點B，且，以點A為圓心，為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式6-1】．如圖，已知正方形的面積為5，點A在數軸上，且表示的數為．現以點A為圓心，以的長為半徑畫圓，所得圓和數軸交于點E（E在A的右側），則點E表示的數為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】．綜合與實踐
如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形．由此得到了一種能在數軸上畫出無理數對應點的方法．
(1)圖2中A、B兩點表示的數分別為______，_____．
(2)請你參照上面的方法：
①把圖3中的長方形進行剪裁，并拼成一個大正方形．在圖3中畫出裁剪線，并在圖4的正方形網格中畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長_____；（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）
②在①的基礎上，參照圖2的畫法，在數軸上用點M表示數．（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法．）
【變式6-3】．如圖，方格中每個小正方形的邊長都為1．
(1)圖①中正方形的面積為 ，邊長為 ；
(2)在圖②的數軸上，用尺規準確地找出表示實數的點P的位置．
【題型7 勾股樹】
【例7-1】．有一個邊長為1的正方形，經過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了如圖，如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．1
【變式7-1】．有一個邊長為1的大正方形，經過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過1次“生長”后，形成的圖形如圖所示．如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，那么“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（　?。?br/>A．2024 B．2023 C． D．
【變式7-2】．有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上“生長”出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了如圖所示的形狀圖，如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（ ）
A．1012 B．2024 C．2025 D．2026
【變式7-3】．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面積分別是3，5，2，3，則正方形E的面積是 ，正方形F的面積是 ，正方形G的面積是 ．
【題型8 以弦圖為背景的計算】
【例8-1】．如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形和正方形（趙爽弦圖），連接，交、分別于點，，連接，已知，且，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B．5 C． D．10
【變式8-1】．我國是最早了解勾股定理的國家之一，在《周髀算經》中記載了勾股定理的公式與證明，相傳是由商高發現，故又稱之為“商高定理”．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩條直角邊長分別為m、n，則 ．
【變式8-2】．如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．
(1)弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a．較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖①，試驗證勾股定理；
(2)如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓線的周長為80，，求該飛鏢狀圖案的面積；
(3)如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為、、，若，求．
【變式8-3】．第十四屆國際數學教育大會于2021年在上海舉辦，其大會標識（如圖1）的中心圖案是趙爽弦圖（如圖2），它是我國古代數學家趙爽證明勾股定理而創制的一幅圖，其證明思路是用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度的有關問題，這種方法稱為等面積法，請你用等面積法探究下列問題：
(1)如圖2是趙爽弦圖，它是由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形，請用它驗證勾股定理：；
(2)如圖3，在中，，是邊上的高，，求的長度．
【題型9 利用勾股定理解三角形】
【例9-1】．如圖，中，，，三角形的頂點在相互平行的三條直線，、、上，且、之間的距離為1，、之間的距離為3，則的長是（ ）
A． B． C． D．7
【變式9-1】．如圖，中，，，．點是線段上的一個動點，則的最小值為 ．
【變式9-2】．如圖，解放廣場的草坪上有，，CD，DA，AC五條小路，且，，，．
(1)求小路的長度；
(2)淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點O處，小狗從點O開始以的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到點A時停止，設奔跑中小狗的位置為點Q，小狗奔跑的時間為．
①若淇淇手中和小狗身上分別有一個信號器，當兩個信號器的距離不超過時，可以接收到彼此發出的信號，當小狗在小路上奔跑時，求兩個信號器可以接收到彼此發出信號的時長；
②當為以為腰的等腰三角形時，直接寫出t的值．
【變式9-3】．如圖，，，，垂足分別為，．
(1)求證：；
(2)若，，則________，________．（無需解答過程）
【題型10利用勾股定理證明線段關系】
【例10-1】．如圖，在等邊三角形中，在邊上（不包含A、C）取兩點M、N，使，若，則x，m，n滿足的數量關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】．在學習等腰直角三角形的過程中，小宛同學遇到了一個問題：在等腰直角中，，，點為線段BC上任意一點，試說明，，之間的數量關系．小宛的思路是：首先過點作的垂線，再構造與全等的三角形，從而轉化，，使問題得到解決．請根據小宛的思路完成下面的作圖與填空：
尺規作圖：過點作的垂線，在上方的直線上截取，連接，（用基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法、結論）．
證明：為等腰直角三角形，，，
，
，
______，
在和中，，
，
，______，
，
，
，
在中，，，
在中，，______，
又，
，
．
【變式10-2】．如圖，在中，，，點是斜邊上的動點，點在直線上，滿足，于點，設．

(1)當時，求的度數（用含有的代數式表示）．
(2)當時，請用一個等式表示線段與之間的數量關系，并說明理由．
(3)當時，請用一個等式直接寫出線段，，之間的數量關系．
【變式10-3】．如圖，中，．
(1)圖1中，若，，則邊上的高的長為______；
(2)在圖2中尺規作圖：在線段上找一點P，使得，畫出點P的位置并說明理由．
【題型11 利用勾股定理求最值】
【例11-1】．如圖，在中，，．若點P在邊上移動，則的最小值是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．4.8
【變式11-1】．如圖，有一個圓柱形油罐，其底面周長是，高為，現在要以點A為起點環繞油罐表面建梯子，終點正好建在位于點A正上方的點B處，則所修梯子的長最少為（ ）
A． B． C． D．
【變式11-2】．如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點離點的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是 ．
【變式11-3】．如圖，在中，點D是中點，
(1)求證：是等邊三角形．
(2)點分別是上任意一點，連接，若，則的最小值為_______．
【例12-1】．如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)找一格點C，使為等腰直角三角形．
(2)找一格點D，使為等腰鈍角三角形．
(3)在直線上找一點E，連接，使平分．
【變式12-1】．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為一個單位．
(1)在圖①中畫出一個以為一邊，面積為12的三角形；
(2)在圖②中畫出一個以為腰的等腰三角形．
【變式12-2】．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長都為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點在格點上．只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網格中畫圖，不要求寫畫法．
(1)在圖①中找一格點，連結AB，使線段；
(2)在圖②中畫出等腰，點、在格點上，使為頂角且；
(3)在圖③中畫出等腰，點、在格點上，使為頂角且腰長為5，則這個三角形的面積是______．
【變式12-3】．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，和的頂點都在格點上．求證：．

【題型13 利用勾股定理解決折疊問題】
【例13-1】．在長方形中，，，是邊上一點，連接，把沿翻折，點恰好落在邊上的處，延長，與的平分線交于點，交于點，則的長度為（　　）．
A． B． C．4 D．
【變式13-1】．小明在幫妹妹完成手工作業的時候發現了其中的數學問題，如圖，在中，，，，沿過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，再次折疊，使點與點重合，折痕交于點E，則的長度為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式13-2】．如圖，長方形中，，，，把它沿折疊，使得點D與點B重合，點C落在點M的位置上．
(1)求證：；
(2)若，，求的面積；
(3)若，為等邊三角形，直接寫出的長．
【變式13-3】．長方形在平面直角坐標系中的位置如圖，已知點的坐標為，將沿直線折疊，點恰好落在邊上的點處．
(1)點的坐標為______，點的坐標為______；
(2)求和的長；
(3)求四邊形的面積．
【題型14 構造勾股定理圖形解決問題】
【例14-1】．跨學科一束光線從軸上一點出發，經過軸上點，然后反射經過點，則光線從點到點經過的路線長是 ．
【變式14-1】．數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的．
(1)【經歷體驗】已知m，n均為正實數、且，求的最小值．通過分析，小明想到了利用下面的構造解決此問題：如圖，，，，，，點E是線段上的動點，且不與端點重合，連接，，設，．
①用含m的代數式表示 ，用含n的代數式表示 ；
②據此寫出的最小值是 ；
(2)【類比應用】根據上述的方法，代數式的最小值是 ；
(3)【感悟探索】
①已知a，b，c為正數，且，試運用構圖法，畫出圖形，并寫出的最小值；
②若a，b為正數，寫出以，，為邊的三角形的面積是 ．
【變式14-2】．2024年12月4日，我國傳統節日春節申遺成功．為慶祝這一喜訊，鄭州市新湖社區舉辦了名為“鄭好遇見，大美非遺”的創意文化市集，諸多非遺有關文化項目集中亮相．圖圖和涵涵在市集上買了一個年畫風箏，在試飛風箏過程中，他們想利用數學知識測量風箏的垂直高度．以下是他們測量高度的過程：
①先測得放飛點與風箏的水平距離的長為8米；
②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為10米；
③牽線放風箏的手離地面的距離為1.5米．
已知點在同一平面內．
(1)求風箏離地面的垂直高度；
(2)在測高的過程中涵涵提出了一個新的問題：在手中剩余線僅剩7.5米的情況下，若想要風箏沿射線方向再上升9米，長度不變，能否成功呢？請你幫助解決涵涵提出的問題．
【變式14-3】．“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．趙爽為中國古代以形證數形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范．
(1)如圖1，某同學制作了一個“趙爽弦圖”紙板，設，，．
①請你利用圖1驗證：；
②若大正方形的邊長為13，小正方形的邊長為7，求．
(2)如圖2，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路，且．測得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知在中，，，，求的面積．
2024-2025人教版八年級數學下大單元結構化整合系列
17.1 勾股定理十四大題型解題技巧（解析版）
知識點一 勾股定理
文字描述：
在直角三角形中， 兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方 。
幾何語言：
如圖。若直角三角形的兩直角邊分別是，斜邊是，則有：
。
變形式： ；
；
。
知識點二 勾股定理的驗證
方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．
　　　 圖（1）中，所以．
　　　　　
方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．
　　　　 　　圖（2）中，所以．
　　　　　　
方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以．
題型歸納
題型突破、典例精析
【題型1 勾股定理的證明】
【例1-1】．【教材呈現】如圖是華師版八年級上冊數學教材第117頁的部分內容．
把兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點、、在同一條直線上，利用此圖的面積表示式證明勾股定理．
(1)請結合圖①，寫出完整的證明過程；
(2)如圖②，等腰直角三角形，，，是射線上一點，以為直角邊在邊的右側作，使，．過點，作于點，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
（1）先證是等腰直角三角形，由面積和差關系可得，再用三角形邊長表示，進而整理變形即可得結論；
（2）由等腰直角三角形的性質可求，由可證，可得，，由勾股定理可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴=，
∴．
（2）解：如圖②，過點作于，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式1-1】．勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”．世界上幾個文明古國都已發現并且進行了廣泛深入的研究，其中一個有趣的證法如下：把兩個全等的直角三角形（如圖1放置，，點在邊上，現設兩直角邊長分別為、，斜邊長為，請用、、分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理，
(1)請根據上述圖形的面積關系證明勾股定理；
(2)如圖2，鐵路上、兩點（看作直線上的兩點）相距16千米，為兩個村莊（看作直線上的兩點），，，垂足分別為、，千米，千米，則兩個村莊的距離為_____千米．
(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一個供應站，使得，請在圖2中作出點的位置并求出的距離．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)
(3)
【分析】本題主要考查勾股定理的證明，勾股定理與最短路徑的計算方法，
（1）根據全等三角形的性質可得，則，分別用含的式子，結合圖形表示出梯形、四邊形、的面積，根據，代入計算即可求解；
（2）如圖所示，連接，作于點，可得，的長，在中，運用勾股定理可得，由此即可求解；
（3）連接作的垂直平分線交于點，設，則，運用勾股定理可得，，再根據，代入計算即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意，，
∴，則，
∴，，，
∵，
∴，整理得，；
（2）解：如圖所示，連接，作于點，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案為：；
（3）解：如圖所示，設，則，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
兩邊同時平方得，，
解得，，
∴．
【變式1-2】．閱讀與思考
請閱讀下列材料，并完成相應的任務．中國古代數學著作《周髀算經》（如圖1）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經隅五．”這句話的意思是如果直角三角形的兩直角邊的長分別為3和4，那么斜邊的長為5．上述記載表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之間的數量關系是____．對于這個數量關系，我國漢代數學家趙爽根據“趙爽弦圖”（如圖2，它是由八個全等的直角三角形圍成的一個正方形），利用面積法進行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過程補充完整：證明：∵，，，且______，∴____________．整理，得，∴．
任務：
(1)補全材料中的填空．
(2)如圖3，在中，是邊上的高，，，．設，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此題考查了勾股定理的證明和勾股定理的應用．
（1）根據題意得到，則．整理得，即可得到結論；
（2）利用勾股定理得到，得到，解方程即可．
【詳解】（1）證明：∵，，，
且，
∴．
整理，得，
∴．
（2）解：由題意可得，，
∵是邊上的高，
∴，
∴，
∴，
即
解得
【變式1-3】《勾股舉隅》為梅文鼎研究中國傳統勾股算術的著作，其中的主要成就是證明了勾股定理和對勾股算術算法進行了推廣．書中的證明方法是將4個三邊長分別為，，的全等直角三角形拼成如圖1所示的五邊形，然后通過添加輔助線，用面積法證明勾股定理．下面是小華給出的相關證明：
如圖2，延長交_____①_____于點．用兩種不同的方法表示五邊形的面積：方法一：將五邊形看成是由正方形與，拼成，則_____②_____．方法二：將五邊形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，則．根據面積相等可以得到_____④_____，即． 　
則下列說法錯誤的是（ ）
A．①代表 B．②代表
C．③代表正方形 D．④代表
【答案】C
【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，根據題意用兩種方法表示出S，然后根據兩種表示方法表示的相等，即可得到結論．
【詳解】解：如圖所示，延長交于G，
方法一：將五邊形看成是由正方形與，拼成，則；
方法二：將五邊形看成是由正方形，正方形，，拼成，則 ，
根據面積相等可以得到，即，
故選：C．
【題型2 利用勾股定理的基本計算】
【例2-1】．在中，，若，則等于（ ）
A．4 B．16 C．20 D．25
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．根據勾股定理求得，代入式子即可求解．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
【變式2-1】．如圖，用籬笆圍一個直角三角形花田，若，米，米，則邊需要的籬笆長為（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據勾股定理計算即可．
【詳解】解：在中，，
米，米，
（米），
邊需要的籬笆長為3米．
故選：D．
【變式2-2】．若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三邊長為 ．
【答案】5或
【分析】此題考查勾股定理，由題意這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況利用勾股定理進行解答．
【詳解】解：分兩種情況：
① 3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊為；
② 3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊為．
故答案為：5或．
【變式2-3】．如圖是一臺手機支架的示意圖，，可分別繞點，轉動，測得，，若，，垂足為點，，則點到的距離為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理應用，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．連接，根據勾股定理得到，根據垂直的定義得到，根據等腰直角三角形的性質得到，于是得到結論．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點D到的距離為，
故答案為：
【題型3 已知兩點坐標求兩點距離】
【例3-1】如圖，已知和四點在同一條直線上，，且，現將沿直線方向左右平移，則平移過程中的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖所示，過點作于點，過點作于點，設交于點，證明，得出，以直線為軸，為軸建立平面直角坐標系，勾股定理求得的長，進而轉化為到和的距離的和，作關于軸的對稱點，求得的長，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，過點作于點，設交于點，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
以直線為軸，為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
依題意，，則，
，則，
設，
∵
∴
∴
即到和的距離的和
如圖所示，作關于軸的對稱點
∴ 的長為的最小值，最小值為．
故選：D ．
【點睛】本題考查了等腰三角的性質，全等三角形的性質，勾股定理的應用，軸對稱的性質求線段和的最值問題，坐標與圖形，轉化線段的長為的長是解題的關鍵．
【變式3-1】．在平面直角坐標系中，有一定點，一動點，當線段最短時，點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查兩點間的距離公式和非負數的性質，將的值化簡為非負數，進而得到最小值是解題的關鍵．
先根據兩點間距離公式得到，根據非負數的性質可得當的值最小，進而求出點P的坐標．
【詳解】解：，
，
整理得：，
∴當時，的值最小，即的值最小，此時，
∴點P的坐標為．
故答案為：．
【變式3-2】．如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是．
(1)將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出；
(2)請畫出關于y軸對稱的；
(3)直接寫出的長度．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據平移的方式進行作圖即可；
（2）根據與關于軸對稱作圖即可；
（3）根據題意可得，，然后利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所示；
（2）解：如圖所示，即為所求；
（3）解：由題意知，，，
∴，
∴
【點睛】本題考查了平移作圖，軸對稱作圖，勾股定理的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
【變式3-3】．在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上（小正方形的頂點稱為格點），請解答下列問題．
(1)畫出關于y軸對稱的；
(2)在x軸上存在點P，使得最小，在圖中畫出點P的位置；
(3)在（2）的條件下求出此時的周長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查軸對稱作圖，軸對稱的性質，兩點間的距離公式，掌握軸對稱作圖與性質是解題的關鍵．
（1）先作出點A、B、C關于y軸的對稱點，然后順次連接即可；
（2）作點B關于x軸的對稱點，連接與x軸交點P即為所求，因為，由兩點之間線段最短即可求解；
（3）的周長轉化為，再根據兩點間距離公式求解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求：
（2）解：如圖，點P即為所求；
（3）解：由題意得，周長為，
由題意得，，
∴，，
∴周長為．
【題型4 利用勾股定理求線段長度】
【例4-1】．如圖，小麗在公園里蕩秋千，在起始位管處擺繩與地面垂直，擺繩長，向前蕩起到最高點處時距地面高度，擺動水平距離為，然后向后擺到最高點處．若前后擺動過程中繩始終拉直，且與成角，則小麗在處時距離地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點作于點，擺繩與地面的垂點為，由勾股定理得到，進而得出，證明，得到，進而求出，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過點作于點，擺繩與地面的垂點為，
由題意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即小麗在處時距離地面的高度是，
故選：A．
【變式4-1】．定義：如圖，點把線段分割成，若以為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點是線段的勾股分割點．已知點、是線段的勾股分割點，且為直角邊，若，則的長為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了勾股定理， 根據題意需分類討論：①當為最長線段時，由勾股定理求出；②當 為最長線段時，由勾股定理求出即可．
【詳解】解：，
,
設則，
①當為最長線段時，
可得，可得，
解得；
②當為最長線段時，
可得，可得，
解得；
故答案為：或．
【變式4-2】．“趙爽弦圖”中，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數學風車”，這個風車的外圍周長（虛線部分）為76，則 ．
【答案】5
【分析】本題考查勾股定理在實際情況中應用，解題關鍵是注意運用隱含的已知條件來解答此類題．
根據風車外圍的周長可求出“數學風車”的斜邊，再通過勾股定理可將“數學風車”的直角邊求出．
【詳解】解：根據題意，得，
∴，
，
，即，
，
故答案為：5．
【變式4-3】．“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．某校八年級（1）班的小明和小亮為了測得風箏的垂直高，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為1.65米．
(1)求風箏的垂直高度；
(2)如果小明想風箏沿方向下降12米，則他應該往回收線多少米？
【答案】(1)21.6米
(2)8米
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，用勾股定理解三角形，準確運用勾股定理是解題的關鍵．
（1）先根據勾股定理求出來的長，然后加上小明的身高即可；
（2）先根據降低的高度求出的長，然后根據勾股定理求出的長，然后用風箏線長減去的長即可求出結果．
【詳解】（1）在中，
由勾股定理得，
由，得
米．
∴風箏的垂直高度為米；
（2）如圖，設下降后的點為F，
∵
∴，
在中
由勾股定理得，．
由得．
米，
他應該往回收線8米．
【題型5 利用勾股定理求面積】
【例5-1】．如圖，在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形，面積分別記為，，，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根據可得出的值，即可求解．
【詳解】解：由勾股定理得：，即，
，
，
由圖形可知，陰影部分的面積為，
故選：A．
【變式5-1】．小金同學在學習了課本第78頁閱讀材料《從勾股定理到圖形面積關系的拓展》之后，進一步探索：如圖1，以的各邊為邊分別向外作等邊三角形，再把較小的兩個等邊三角形紙片放置在最大的等邊三角形內的和處，如圖2所示．若要求的面積，則只需知道（ ）的面積．
A． B．四邊形
C．四邊形 D．四邊形
【答案】B
【分析】本題考查的是勾股定理，設、、處面積分別為，，，的面積為，由勾股定理可得，由面積和差關系可求解．
【詳解】解：設、、處面積分別為，，，的面積為，
，
，
要求的面積，則只需知道四邊形的面積．
故選：B．
【變式5-2】．如圖，在中，，，以斜邊和直角邊為直徑的半圓面積分別記為、，則 ．（結果保留π）
【答案】
【分析】根據題意，得，，根據勾股定理，得，代入解答即可．
本題考查了圓的面積，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意，得，，
∴
∵，
∴，
故答案為：．
【變式5-3】．如圖，以的三邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，其面積分別是，且，，當 時，．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質．根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可得、，如果是等腰直角三角形，則有，根據等腰直角三角形的性質可得，根據三角形的面積公式可求．
【詳解】解：如下圖所示，
若，則有，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
，
同理可得：，
，
是等腰直角三角形，
，，
．
故答案為： ．
【題型6 勾股定理與無理數】
【例6-1】．如圖，數軸上的點A表示的數是，點B表示的數是1，于點B，且，以點A為圓心，為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理，實數與數軸；
利用勾股定理求出，可得的長，然后根據數軸可得答案．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴點D表示的數為，
故選：C．
【變式6-1】．如圖，已知正方形的面積為5，點A在數軸上，且表示的數為．現以點A為圓心，以的長為半徑畫圓，所得圓和數軸交于點E（E在A的右側），則點E表示的數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查實數與數軸及兩點間距離，根據兩點間距離及點的位置判斷出點所表示的數是解題的關鍵．
根據正方形的邊長是面積的算術平方根得，再根據勾股定理可得，再結合A點所表示的數及間距離可得點E所表示的數．
【詳解】解：∵正方形的面積為5，
∴，
∴
∵點A表示的數是，且點E在點A的右側，
∴點E表示的數為．
故選：A．
【變式6-2】．綜合與實踐
如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形．由此得到了一種能在數軸上畫出無理數對應點的方法．
(1)圖2中A、B兩點表示的數分別為______，_____．
(2)請你參照上面的方法：
①把圖3中的長方形進行剪裁，并拼成一個大正方形．在圖3中畫出裁剪線，并在圖4的正方形網格中畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長_____；（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）
②在①的基礎上，參照圖2的畫法，在數軸上用點M表示數．（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法．）
【答案】(1)，
(2)①作圖見解析，；②作圖見解析
【分析】本題主要考查了數軸上的點表示無理數，
對于（1），根據勾股定理求出對角線的長，以原點為圓心，對角線長為半徑畫弧，即可得出答案；
對于（2）①，將圖3分成4個直角三角形和1個小正方形，再圖4中拼成正方形，進而得出正方形的邊長；
②以數1為圓心，對角線為半徑在右側畫弧，與數軸交點即為所求作.
【詳解】（1）解：對角線的長為，
所以點A，點B表示的數是；
故答案為：；
（2）解：①如圖所示，
正方形的面積為5，所以邊長；
故答案為：；
②如圖所示，點M即為所求作．
【變式6-3】．如圖，方格中每個小正方形的邊長都為1．
(1)圖①中正方形的面積為 ，邊長為 ；
(2)在圖②的數軸上，用尺規準確地找出表示實數的點P的位置．
【答案】(1)17，
(2)見解析
【分析】本題考查了勾股定理的應用，實數與數軸以及尺規作圖:
（1）由勾股定理可求正方形的邊長，即可求正方形的面積；
（2）連接，由勾股定理求出，再以點O為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點P，即可得解．
【詳解】（1）解：由勾股定理得：，
∴正方形的面積為，
故答案為：17，；
（2）解：如圖②，連接，
由勾股定理得：，
以點O為圓心，為半徑畫弧，交數軸于點P，
點P即為所求．
【題型7 勾股樹】
【例7-1】．有一個邊長為1的正方形，經過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了如圖，如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．1
【答案】A
【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．根據勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結合圖形總結規律，根據規律解答即可．
【詳解】解：如圖，
由題意得，正方形的面積為1，
由勾股定理得，正方形的面積正方形的面積，
“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，
同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，
“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，
“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為，
故選：A
【變式7-1】．有一個邊長為1的大正方形，經過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過1次“生長”后，形成的圖形如圖所示．如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，那么“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（　?。?br/>A．2024 B．2023 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理以及規律型：圖形的變化類，根據勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結合圖形總結規律，根據規律解答即可，能夠根據勾股定理發現每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關系是解答本題的關鍵．
【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，
由勾股定理得，正方形B的面積正方形C的面積正方形A的面積，
“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，
同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，
“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，
以此類推，“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2024，
故選A．
【變式7-2】．有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上“生長”出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了如圖所示的形狀圖，如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（ ）
A．1012 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本題考查的是勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．根據勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結合圖形總結規律，根據規律解答即可．
【詳解】解：如圖，由題意得，正方形的面積為，由勾股定理得，正方形的面積正方形的面積為，
“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，
同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，
“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，
……
“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2025，
故選：C．
【變式7-3】．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面積分別是3，5，2，3，則正方形E的面積是 ，正方形F的面積是 ，正方形G的面積是 ．
【答案】 8 5 13
【分析】本題考查了勾股定理，正方形的面積，解題的關鍵是熟練應用勾股定理求得正方形的邊長．先由正方形A，B，C，D的面積分別為3，5，2，3，得到對應的邊長分別為，然后利用勾股定理求得正方形的邊長分別為，從而求得正方形和的面積，正方形的邊長，即可得到正方形的面積．
【詳解】解：正方形A，B，C，D的面積分別為3，5，2，3，
正方形A，B，C，D的邊長分別為，
由勾股定理得，正方形的邊長為，正方形的邊長為，
正方形的面積為8，正方形的面積為5，正方形的邊長為，
正方形的面積為13，
故答案為：8，5，13．
【題型8 以弦圖為背景的計算】
【例8-1】．如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形和正方形（趙爽弦圖），連接，交、分別于點，，連接，已知，且，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的證明．根據正方形的面積可得正方形邊長的平方，設，則，根據勾股定理可得的平方的值，再根據題意可得，然后可得陰影部分的面積之和為梯形的面積．
【詳解】解：，
，
設，
則，
，
，
根據題意可知：
，，
，
，
，
陰影部分的面積之和為：
．
故選：B．
【變式8-1】．我國是最早了解勾股定理的國家之一，在《周髀算經》中記載了勾股定理的公式與證明，相傳是由商高發現，故又稱之為“商高定理”．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩條直角邊長分別為m、n，則 ．
【答案】12
【分析】本題考查了勾股定理，以及完全平方式，由題意可得，，，進而可得．
【詳解】解：∵大正方形的面積是25，
∴，
∵小正方形的面積是1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：12．
【變式8-2】．如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．
(1)弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a．較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖①，試驗證勾股定理；
(2)如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓線的周長為80，，求該飛鏢狀圖案的面積；
(3)如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為、、，若，求．
【答案】(1)見解析
(2)120
(3)9
【分析】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質，一元二次方程．
（1）依據圖1中的大正方形的面積可以用四個三角形面積和中間小正方形面積之和表示，也可以用直角三角形斜邊的邊長表示，即可得；
（2）可設，根據勾股定理列出方程可求x，再根據直角三角形面積公式計算即可求解；
（3）設每個三角形的面積都為y，則，，即可得，根據，即可得．
【詳解】（1）解：根據題意得，
，
則；
（2）解：∵四個全等的直角三角形，外圍輪廓線的周長為80，
∴，
設，則，
由勾股定理可得，，
，
，
解得：，
∴，
∴該飛鏢狀圖案的面積是；
（3）解：設每個三角形的面積都為y，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【變式8-3】．第十四屆國際數學教育大會于2021年在上海舉辦，其大會標識（如圖1）的中心圖案是趙爽弦圖（如圖2），它是我國古代數學家趙爽證明勾股定理而創制的一幅圖，其證明思路是用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度的有關問題，這種方法稱為等面積法，請你用等面積法探究下列問題：
(1)如圖2是趙爽弦圖，它是由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形，請用它驗證勾股定理：；
(2)如圖3，在中，，是邊上的高，，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了勾股定理、以弦圖為背景的計算題、等面積法等知識點，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）先用兩種方法表示出圖形的面積，然后整理即可；
（2）由勾股定理可得，再運用等面積的方法解答即可．
【詳解】（1）解：∵外面大正方形的面積，里面小正方形的面積個直角三角形的面積，
∴，整理，得．
（2）解：在中，，，
由勾股定理，得：，
是邊上的高，
，
∴．
【題型9 利用勾股定理解三角形】
【例9-1】．如圖，中，，，三角形的頂點在相互平行的三條直線，、、上，且、之間的距離為1，、之間的距離為3，則的長是（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性質，證得是解答本題的關鍵．作于D，作于E，再證明，因此可得，再結合勾股定理求得，然后再根據勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：如圖：作于D，作于E，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，根據勾股定理得：，
在中，根據勾股定理得：．
故選：A．
【變式9-1】．如圖，中，，，．點是線段上的一個動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查勾股定理，垂線段最短，勾股定理求出的長，根據垂線段最短結合等積法求出的最小值即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∵點是線段上的一個動點，
∴當時，的值最小，
此時：，
∴，
∴；
故答案為：．
【變式9-2】．如圖，解放廣場的草坪上有，，CD，DA，AC五條小路，且，，，．
(1)求小路的長度；
(2)淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點O處，小狗從點O開始以的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到點A時停止，設奔跑中小狗的位置為點Q，小狗奔跑的時間為．
①若淇淇手中和小狗身上分別有一個信號器，當兩個信號器的距離不超過時，可以接收到彼此發出的信號，當小狗在小路上奔跑時，求兩個信號器可以接收到彼此發出信號的時長；
②當為以為腰的等腰三角形時，直接寫出t的值．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本題考查了勾股定理的應用，等腰三角形的性質，關鍵是勾股定理的熟練應用．
（1）先根據勾股定理求出，再由勾股定理求出即可得到答案；
（2）①由點到直線距離垂線段最短，過O作于B，如圖所示，利用等面積法即可得到，在中，由勾股定理求出，即可得到小狗奔跑的路程，從而得到小狗奔跑的時間為；
②由①中求解過程，結合為以為腰的等腰三角形，分兩種情況：；；分類討論求解即可得到答案．
【詳解】（1）在中，，，，則由勾股定理可得
在中，，，，則由勾股定理可得
∴小路的長度；
（2）①由點到直線距離垂線段最短，過O作于B，如圖所示：
∴在中，，
則
解得，
當時，在中，根據勾股定理得，，
當小狗在上時，兩個信號器可以接收到信號的路程為，
小狗的速度為，
時長為
答：兩個信號器可以接收到彼此發出信號的時長為；
②由①知，當時，，
是以為腰的等腰三角形，
分兩種情況：
①當時，如圖所示：
由等腰三角形性質可知，
∴小狗跑的路程為，
∵小狗以的速度奔跑，
∴小狗奔跑的時間為；
②當時，如圖所示：
∴小狗跑的路程為，
∵小狗以的速度奔跑，
∴小狗奔跑的時間為；
∴當為以為腰的等腰三角形時，t的值為或．
【變式9-3】．如圖，，，，垂足分別為，．
(1)求證：；
(2)若，，則________，________．（無需解答過程）
【答案】(1)見解析
(2)10，4
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．
（1）利用“”可證明；
（2）先利用全等三角形的性質得到，再利用勾股定理計算出，從而得到的長，然后計算即可．
【詳解】（1）證明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【題型10利用勾股定理證明線段關系】
【例10-1】．如圖，在等邊三角形中，在邊上（不包含A、C）取兩點M、N，使，若，則x，m，n滿足的數量關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，旋轉的性質，勾股定理的應用，
將繞點B順時針旋轉得到，連接，根據全等三角形的性質得，進而說明，可得，接下來得出，可得答案．
【詳解】如圖所示．將繞點B順時針旋轉得到，連接，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
可知，
∴，
即．
故選：C．
【變式10-1】．在學習等腰直角三角形的過程中，小宛同學遇到了一個問題：在等腰直角中，，，點為線段BC上任意一點，試說明，，之間的數量關系．小宛的思路是：首先過點作的垂線，再構造與全等的三角形，從而轉化，，使問題得到解決．請根據小宛的思路完成下面的作圖與填空：
尺規作圖：過點作的垂線，在上方的直線上截取，連接，（用基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法、結論）．
證明：為等腰直角三角形，，，
，
，
______，
在和中，，
，
，______，
，
，
，
在中，，，
在中，，______，
又，
，
．
【答案】圖見解析，；；；．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是利用輔助線構造全等三角形，利用勾股定理得出線段平方關系．
根據題意作出圖形，根據等腰直角三角形的性質得到，，進一步證明，得到，，從而證明，利用勾股定理分別表示出，，從證明結論．
【詳解】解：如圖，
證明：∵為等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，，
又∵，
∴，
∴．
【變式10-2】．如圖，在中，，，點是斜邊上的動點，點在直線上，滿足，于點，設．

(1)當時，求的度數（用含有的代數式表示）．
(2)當時，請用一個等式表示線段與之間的數量關系，并說明理由．
(3)當時，請用一個等式直接寫出線段，，之間的數量關系．
【答案】(1)
(2)
(3)當時，；當時，
【分析】（1）根據等邊對等角可得，，進而根據三角形的外角的性質得出；
（2）過點作交的延長線于點，交于點，根據平行線的性質以及余角的定義得出，則，等量代換得出，證明得出，進而根據是等腰直角三角形，得出，即可得證；
（3）當時，由（2）可得是等腰直角三角形，，根據等腰直角三角形的性質，勾股定理可得，，在中，勾股定理得出關系式；當時，先證明，同理可得，，之間的數量關系．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵是的一個外角，
∴；
（2）解：如圖所示，過點作交的延長線于點，交于點，

∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：當時，
如圖所示，

設，，
由（2）可得是等腰直角三角形，，
∴，，
在中，，
∴
當時，如圖所示，過點作于點，

∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴,
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
設，，
∴，，
在中，，
∴，
當時，，等式仍然成立，
∴當時，，
綜上所述，當時，；當時，．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理與三角形的外角的性質，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【變式10-3】．如圖，中，．
(1)圖1中，若，，則邊上的高的長為______；
(2)在圖2中尺規作圖：在線段上找一點P，使得，畫出點P的位置并說明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查作圖—復雜作圖、線段垂直平分線的性質、勾股定理．
（1）由勾股定理得，，根據，可得答案；
（2）作線段的垂直平分線，交于點P，連接，由線段垂直平分線的性質可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知點P即為所求．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：；
（2）解：如圖2，作線段的垂直平分線，交于點P，連接，
則點P即為所求，理由如下：
∵直線為線段段的垂直平分線，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
即點P符合題意．
【題型11 利用勾股定理求最值】
【例11-1】．如圖，在中，，．若點P在邊上移動，則的最小值是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．4.8
【答案】D
【分析】本題考查了等腰三角形的性質、勾股定理以及三角形的面積等知識，正確理解題意、熟練掌握上述知識是解題的關鍵．
作于點D，如圖，根據等腰三角形的性質和勾股定理可求出，根據垂線段最短可知：當時，最小，再利用三角形的面積求解即可．
【詳解】解：作于點D，如圖，
∵，，
∴，，
根據垂線段最短可知：當時，最小，
則由，
可得，
解得；
即線段的最小值是．
故選：D．
【變式11-1】．如圖，有一個圓柱形油罐，其底面周長是，高為，現在要以點A為起點環繞油罐表面建梯子，終點正好建在位于點A正上方的點B處，則所修梯子的長最少為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是平面展開 最短路徑問題，根據題意畫出圖形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．把圓柱沿側面展開，連接，再根據勾股定理即可得出結論．
【詳解】解：如圖，
在中，，
，
所修梯子的長最少為，
故選：．
【變式11-2】．如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點離點的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是 ．
【答案】25
【分析】本題主要考查兩點之間線段最短，勾股定理，關鍵是將長方體側面展開，然后利用兩點之間線段最短解答．要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側面展開，然后利用兩點之間線段最短解答．
【詳解】解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：
長方體的寬為10，高為20，點離點的距離是5，
，，
在直角三角形中，根據勾股定理得：
；
只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：
長方體的寬為10，高為20，點離點的距離是5，
，，
在直角三角形中，根據勾股定理得：
；
只要把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：
長方體的寬為10，高為20，點離點的距離是5，
，
在直角三角形中，根據勾股定理得：
；
，
螞蟻爬行的最短距離是25，
故答案為：25.
【變式11-3】．如圖，在中，點D是中點，
(1)求證：是等邊三角形．
(2)點分別是上任意一點，連接，若，則的最小值為_______．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查等邊三角形判定，全等三角形判定及性質，勾股定理．
（1）證明，再利用全等性質即可得到本題答案；
（2）過作于，交于，此時有最小值，且等于，再證明，再利用勾股定理求出，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵點D是中點，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形；
（2）解：過作于，交于，此時有最小值，且等于，
∵是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
【題型12 利用勾股定理解決網格問題】
【例12-1】．如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)找一格點C，使為等腰直角三角形．
(2)找一格點D，使為等腰鈍角三角形．
(3)在直線上找一點E，連接，使平分．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查作圖-應用設計作圖，勾股定理，勾股定理逆定理等，熟記等腰三角形性質是解題的關鍵．
（1）根據等腰直角三角形定義結合網格特點作圖即可；
（2）根據等腰三角形及鈍角三角形結合網格作圖即可；
（3）根據等腰三角形三線合一性質作圖即可．
【詳解】（1）解：根據網格對角線可得，
∴找到格點，如下圖所示：
，
此時，，
∵，
∴，即為等腰直角三角形；
（2）解：如下圖所示，格點如下：
；
（3）解：連接，即正方形對角線，即平分，如下圖所示：
．
【變式12-1】．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為一個單位．
(1)在圖①中畫出一個以為一邊，面積為12的三角形；
(2)在圖②中畫出一個以為腰的等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要幾何圖形的變換，理解題意，根據圖形的面積公式及等腰三角形的定義即可求解，解題的關鍵就是對圖形性質的理解．
（1）根據三角形的面積為，由，可先構造高為4的三角形，即可；
（2）直接取格點，使或即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求作的三角形；（答案不唯一）
（2）解：如圖，即為所求作的三角形．（答案不唯一）
【變式12-2】．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長都為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點在格點上．只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網格中畫圖，不要求寫畫法．
(1)在圖①中找一格點，連結AB，使線段；
(2)在圖②中畫出等腰，點、在格點上，使為頂角且；
(3)在圖③中畫出等腰，點、在格點上，使為頂角且腰長為5，則這個三角形的面積是______．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)10或．
【分析】（1）利用網格結合勾股定理畫圖即可；
（2）結合等腰三角形的判定，畫以為頂角且底邊為2，高為2的等腰三角形或者畫底邊為，高為的等腰三角形即可；
（3）結合勾股定理畫出等腰，使即可；利用三角形面積公式或者割補法算出三角形面積．
【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求．
（2）解：如圖所示， 即為所求．
（3）解：如圖所示，即為求．
三角形面積：或．
故答案為：10或
【點睛】本題主要考查了作圖——應用與設計作圖、等腰三角形的判定、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本題的關鍵．
【變式12-3】．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，和的頂點都在格點上．求證：．

【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理的運用，驗證兩個三角形的對應邊相等是解題的關鍵．利用勾股定理可分別求出兩個三角形的各個邊長，再驗證對應邊相等即可證明．
【詳解】證明：由網格特點得，，，，，，
∴，，，
∴，
∴．
【題型13 利用勾股定理解決折疊問題】
【例13-1】．在長方形中，，，是邊上一點，連接，把沿翻折，點恰好落在邊上的處，延長，與的平分線交于點，交于點，則的長度為（　?。?br/>A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本題考查折疊的性質，勾股定理，角平分線的性質，過點作，可得，設，勾股定理求出的長，表示出的長，等積法列出方程求出的值即可．
【詳解】解：過點作，
∵長方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
設，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故選：B．
【變式13-1】．小明在幫妹妹完成手工作業的時候發現了其中的數學問題，如圖，在中，，，，沿過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，再次折疊，使點與點重合，折痕交于點E，則的長度為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．
根據題意可得，，，，可得，繼而設，則，根據勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊上的點D處，，
∴，，
∵折疊紙片，使點C與點D重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設，，
則，
∴，
解得，
即，
故選：B．
【變式13-2】．如圖，長方形中，，，，把它沿折疊，使得點D與點B重合，點C落在點M的位置上．
(1)求證：；
(2)若，，求的面積；
(3)若，為等邊三角形，直接寫出的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】本題主要考查翻折變換的性質、等腰三角形的判定及勾股定理，熟練掌握翻折變換的性質是解題的關鍵．
（1）已知，，根據折疊的性質得到，，，求得，根據全等三角形的判定定理得到結論；
（2）設，根據折疊的性質得到，根據勾股定理得到，根據三角形的面積公式即可得到結論∶
（3）根據折疊的性質得到，為等邊三角形，可得．則可求出、的長，根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）證明：長方形沿折疊，
，，，．
，
．
，
．
．
．
在和中
．
（2）解：，
長方形沿折疊，
，
在中，
，即．
解得：，即．
則
，
．
．
．
．
（3）解：長方形沿折疊，
．
為等邊三角形，
．
，
．
，
．
，
，．
【變式13-3】．長方形在平面直角坐標系中的位置如圖，已知點的坐標為，將沿直線折疊，點恰好落在邊上的點處．
(1)點的坐標為______，點的坐標為______；
(2)求和的長；
(3)求四邊形的面積．
【答案】(1)；
(2)，
(3)
【分析】本題考查了平面直角坐標系、折疊的性質、勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
（1）結合長方形的性質和點的坐標，即可解答；
（2）由折疊的性質得，，在利用勾股定理求出的長，得到的長，設，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的長，即可解答；
（3）利用四邊形的面積即可求解．
【詳解】（1）解：長方形，點的坐標為，
，，
點的坐標為，點的坐標為．
故答案為：；．
（2）解：由折疊的性質得，，，
，
，
設，則，
在中，，
即，
解得：，即，
綜上所述，，．
（3）解：由（2）得，，
，
由折疊的性質得，，
四邊形的面積
，
四邊形的面積為．
【題型14 構造勾股定理圖形解決問題】
【例14-1】．跨學科一束光線從軸上一點出發，經過軸上點，然后反射經過點，則光線從點到點經過的路線長是 ．
【答案】
【分析】本題考查勾股定理，軸對稱的知識．根據題意，作點關于的對稱點交軸于點，則，，過點作軸，根據點，可得，，根據勾股定理，求出，即可．
【詳解】解：作點關于的對稱點交軸于點，
∴，，
過點作軸，
∵點，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴光線從點到點經過的路線長是．
故答案為：．
【變式14-1】．數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的．
(1)【經歷體驗】已知m，n均為正實數、且，求的最小值．通過分析，小明想到了利用下面的構造解決此問題：如圖，，，，，，點E是線段上的動點，且不與端點重合，連接，，設，．
①用含m的代數式表示 ，用含n的代數式表示 ；
②據此寫出的最小值是 ；
(2)【類比應用】根據上述的方法，代數式的最小值是 ；
(3)【感悟探索】
①已知a，b，c為正數，且，試運用構圖法，畫出圖形，并寫出的最小值；
②若a，b為正數，寫出以，，為邊的三角形的面積是 ．
【答案】(1)①，；②5
(2)20
(3)①見解析，；②
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，也考查了勾股定理和類比的方法．
（1）①利用勾股定理可得和的長；
②利用三角形三邊的關系得到（當且僅當C、E、D共線時取等號），作交的延長線于H，易得四邊形為長方形，利用勾股定理計算出，從而得到結論；
（2）利用（1）中的方法畫出圖形，設，，，，則，利用勾股定理得到，，；根據三角形三邊的關系得到而（當且僅當C、E、D共線時取等號），作交的延長線于H，易得四邊形為長方形，利用勾股定理計算出即可得到代數式的最小值；
（3）①利用類比的方法，仿照（1）的方法畫出邊長為1的正方形，再利用兩點之間線段最短即可得出結論；
②利用類比的方法，仿照（1）的方法畫出邊長，的長方形，利用勾股定理構圖解答即可．
【詳解】（1）解：①在中，，
在中，，
故答案為：，；
②連接，
由①得，
而（當且僅當C、E、D共線時取等號），
作交的延長線于H，如圖1，易得四邊形為長方形，
∴，，
在中，，
∴的最小值為5，
即的最小值是5；
故答案為：5；
（2）解：如圖，
設，，，，則，
在中，，
在中，；
∴，
而（當且僅當C、E、D共線時取等號），
作交的延長線于H，易得四邊形為長方形，
∴，，
∴，
在中，，
∴的最小值為20，
即的最小值為20．
故答案為：20；
（3）解：畫出邊長為1的正方形，在邊上截取出長為a，b，c的線段，作圖如下：
則，，，，
∴，
利用兩點之間線段最短可知：（當且僅當A、B、C、D共線時取等號），
∵，
∴的最小值為，
∴的最小值為；
②分別以，為邊長作出長方形，則，，上取一點E，使，則，取的中點為F，連接，，，如圖，
∴，，，，，
∴，
，
，
∴以，，為邊的三角形的面積，
∵
，
∴以，，為邊的三角形的面積為，
故答案為：．
【變式14-2】．2024年12月4日，我國傳統節日春節申遺成功．為慶祝這一喜訊，鄭州市新湖社區舉辦了名為“鄭好遇見，大美非遺”的創意文化市集，諸多非遺有關文化項目集中亮相．圖圖和涵涵在市集上買了一個年畫風箏，在試飛風箏過程中，他們想利用數學知識測量風箏的垂直高度．以下是他們測量高度的過程：
①先測得放飛點與風箏的水平距離的長為8米；
②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為10米；
③牽線放風箏的手離地面的距離為1.5米．
已知點在同一平面內．
(1)求風箏離地面的垂直高度；
(2)在測高的過程中涵涵提出了一個新的問題：在手中剩余線僅剩7.5米的情況下，若想要風箏沿射線方向再上升9米，長度不變，能否成功呢？請你幫助解決涵涵提出的問題．
【答案】(1)7.5米
(2)能成功，見解析
【分析】本題主要考查勾股定理的運用，解題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形解決問題．
（1）過點作于點，在中，根據勾股定理即可求解；
（2）假設能上升9米，作圖，根據勾股定理可得米，再根據題意，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1所示，過點作于點，
則米，米，，
∴（米），
∴（米）；
（2）能成功，理由如下：
假設能上升9米，如圖所示，延長至點，連接，
則米，
∴（米），
∴（米），
∵米，余線僅剩7.5米，
∴，
∴能上升9米，即能成功．
【變式14-3】．“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．趙爽為中國古代以形證數形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范．
(1)如圖1，某同學制作了一個“趙爽弦圖”紙板，設，，．
①請你利用圖1驗證：；
②若大正方形的邊長為13，小正方形的邊長為7，求．
(2)如圖2，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路，且．測得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知在中，，，，求的面積．
【答案】(1)①見解析，②
(2)新路比原路少千米；
(3)
【分析】本題主要考查了勾股定理的弦圖、勾股定理的應用等知識點，靈活運用勾股定理成為解題的關鍵．
（1）①用兩種不同的方法去求正方形的面積，然后整理即可解答．②利用①中發現的結論求解即可；
（2）設千米，則千米，然后運用勾股定理列方程可得，即千米，然后根據線段的和差即可解答；
（3）如圖：作，垂足為H，設，，然后運用勾股定理列方程求得，即；再運用勾股定理求得，然后根據三角形的面積公式計算即可．
【詳解】（1）①證明：中間小正方形的邊長為，
四個直角三角形的面積為：，
，
．
②解：由①可知，，
，
，
，
．
（2）解：設千米，
千米，
在中，根據勾股定理得：，
，解得，即千米，
（千米）．
答：新路CH比原路CA少0.2千米．
（3）解：如圖：作，垂足為H，
設，
，
，，，，
∴在中，，在中，，
，即，解得：，
，
，
．
知識要點歸納
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21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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