資源簡介

3　單擺
1～7題每題6分，共42分
考點一　單擺及其運動規律
1．(多選)下列有關單擺的說法，正確的是(　　)
A．一根橡皮筋一端系在懸點，另一端連接一個小球，可以構成一個單擺
B．單擺的擺動一定是簡諧運動
C．若單擺在同一平面內擺動，且偏角小于5°，可以認為該單擺的運動是簡諧運動
D．單擺做簡諧運動時，擺長越長(其他條件不變)，其運動周期越大
2．(多選)一單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖所示，以下說法正確的是(　　)
A．t1時刻擺球速度為零，擺球的合外力為零
B．t2時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最小
C．t3時刻擺球速度為零，擺球的回復力最大
D．t4時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大
3．關于單擺，下列說法中正確的是(　　)
A．擺球運動的回復力是它重力沿圓弧切線方向上的分力
B．擺球在運動過程中加速度的方向始終指向平衡位置
C．擺球在運動過程中經過軌跡上的同一點，加速度是改變的
D．擺球經過平衡位置時，加速度為零
考點二　單擺的周期
4．(2023·洛南中學高二月考)一單擺由甲地移到乙地后，發現走時變快了，其變快的原因及調整的方法是(　　)
A．g甲>g乙，將擺長縮短 B．g甲C．g甲g乙，將擺長增大
5．(多選)惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘。擺鐘運行中克服摩擦所需的能量由重錘的重力勢能提供，運動的速率由鐘擺控制。旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動，如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．當擺鐘不準時需要調整圓盤的上、下位置
B．擺鐘快了應使圓盤沿擺桿上移
C．由冬季變為夏季時應使圓盤沿擺桿上移
D．把擺鐘從廣州移到北京應使圓盤沿擺桿上移
6．(2023·綿陽市高二期中)圖甲是利用沙擺演示簡諧運動圖像的裝置。當盛沙的漏斗下面的薄木板被水平勻速拉出時，做簡諧運動的漏斗漏出的沙在板上形成的曲線顯示出沙擺的振動位移時間的變化關系。已知木板被水平拉動的速度為0.20 m/s，圖乙所示的一段木板的長度為0.80 m，則這次實驗沙擺的擺長為(取g＝π2)(　　)
A．0.56 m B．0.65 m
C．1.00 m D．2.25 m
考點三　單擺模型的拓展
7. 如圖所示，表面光滑、半徑為R的圓弧形軌道AP與水平地面平滑連接，AP弧長為s，s R。半徑為r的小球從A點靜止釋放，運動到最低點P時速度大小為v，重力加速度為g，則小球從A運動到P的時間是(　　)
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
8～12題每題9分，共45分
8．(2023·成都市高二月考)如圖所示為同一地點的兩個單擺甲、乙的振動圖像，下列說法正確的是(　　)
A．甲擺的擺長比乙擺的擺長大
B．甲擺的振幅是乙擺振幅的3倍
C．甲擺的機械能比乙擺的機械能大
D．在t＝1 s時有正向最大加速度的是乙擺
9．(2023·江夏實驗高中高二月考)一個單擺掛在電梯內，發現單擺的周期增大為原來的2倍，則電梯的加速度a為(g為重力加速度)(　　)
A．方向向上，大小為 B．方向向上，大小為
C．方向向下，大小為 D．方向向下，大小為
10．(多選)(2023·安慶一中月考)如圖所示，三根細線在O點處打結，A、B兩端固定在同一水平面上相距為L的兩點上，△AOB為直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC長為L，下端C點處系著一個小球(忽略小球的半徑，小球擺動時偏角θ<5°)，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A．讓小球在紙面內擺動，周期T＝2π
B．讓小球在垂直紙面方向擺動，周期T＝2π
C．讓小球在紙面內擺動，周期T＝2π
D．讓小球在垂直紙面方向擺動，周期T＝π
11．(2023·四川涼山高二月考)一單擺在豎直平面內做小角度擺動。擺球從左側最高點A運動到最低點C時，擺線被懸點O(未畫出)正下方的釘子P擋住，之后球運動到右側最高點B，該過程中的頻閃照片如圖所示，已知閃光的時間間隔相等，OC＝l。則O、P間的距離為(　　)
A.l B.l C.l D.l
12. 將一個擺長為l的單擺放在一個光滑且傾角為α的斜面上，其擺角為θ(θ<5°)，如圖所示。小球質量為m，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A．擺球做簡諧運動的最大回復力為mgsin θsin α
B．擺球做簡諧運動的最大回復力為mgsin θ
C．擺球做簡諧運動的周期為2π
D．擺球在運動過程中，經過平衡位置時，擺線的拉力為T拉＝mgsin α
13．(13分)(2023·金華十校調研)如圖甲所示，擺球在豎直平面內做簡諧運動，通過力傳感器測量擺線拉力F，F的大小隨時間t變化規律如圖乙所示，擺球經過最低點時的速度大小v＝ m/s，忽略空氣阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求：
(1)(4分)單擺的擺長l；
(2)(4分)擺球的質量m；
(3)(5分)擺線拉力的最小值。
3　單擺
1．CD　2.CD
3．A　[根據回復力的定義單擺運動的回復力是重力沿圓弧切線方向上的分力，故A正確；擺球在運動過程中，回復力產生的加速度的方向始終指向平衡位置，而向心加速度指向懸點，合成后，加速度方向不是始終指向平衡位置，故B錯誤；擺球在運動過程中經過軌跡上的同一點，受力情況相同，加速度是不變的，故C錯誤；擺球經過平衡位置時，加速度不為零，有向心加速度，故D錯誤。]
4．B　[根據單擺的周期公式T＝2π，振動變快了，則周期變短了，說明乙地的重力加速度大于甲地的重力加速度，即g乙>g甲，為了增大周期，可以增大擺長，B正確。]
5．AC　[調整圓盤的上、下位置可改變擺長，從而達到調整周期的作用，A正確；若擺鐘變快，是因為周期變小，應增大擺長，即下移圓盤，B錯誤；由冬季變為夏季，擺桿變長，應上移圓盤，C正確；從廣州到北京，g值變大，周期變小，應增加擺長，即下移圓盤，D錯誤。]
6．C　[木板勻速拉出，則x＝vt，解得t＝＝ s＝4 s，結合題圖乙知t＝2T，則T＝2 s；根據單擺周期公式T＝2π，解得l＝1.00 m，故選C。]
7．B　[因為AP弧長為s，且s R，所以小球做單擺運動，根據單擺的周期公式可得T＝2π，由題意可知，擺長為l＝R－r，小球從A運動到P的時間為四分之一個周期，即有t＝，故選項A、C、D錯誤，B正確。]
8．D　[由題圖可知，兩單擺的周期相同，同一地點重力加速度g相同，由單擺的周期公式T＝2π，知甲、乙兩單擺的擺長相等，故A錯誤；甲擺的振幅為6 cm，乙擺的振幅為3 cm，則甲擺的振幅是乙擺振幅的2倍，故B錯誤；盡管甲擺的振幅比乙擺大，兩擺的擺長相等，但由于兩擺的擺球質量未知，故無法比較機械能的大小，故C錯誤；在t＝1 s時，甲擺經過平衡位置，振動的加速度為零，而乙擺的位移為負的最大，則乙擺具有正向最大加速度，故D正確。]
9．D　[由T＝2π可知，周期增大為原來的2倍，以豎直向下為正方向，等效重力加速度g′＝，則有g－a＝g′，解得a＝，則大小為，方向向下，綜上分析，D正確。]
10．AD　[當小球在紙面內做小角度的擺動時，擺動圓弧的圓心為O點，擺長為L，故周期為T＝2π，故A正確，C錯誤；當小球在垂直紙面方向做小角度的擺動時，圓心在A、B所在水平面上且在O點正上方，由幾何關系知擺長為L′＝(1＋)L，故周期為T＝2π＝π，故B錯誤，D正確。]
11．A　[設相鄰兩次閃光的時間間隔為t，則擺球在左側的運動周期為T1＝12t，擺球在右側的運動周期為T2＝8t，可得T1∶T2＝3∶2；根據單擺周期公式T＝2π，解得LPC＝l，則O、P間的距離為LOP＝l－LPC＝l，故選A。]
12．A　[回復力由重力沿斜面向下的分力的切向分力提供，重力沿斜面向下的分力為mgsin α，沿斜面向下的分力的切向分力的最大值為mgsin αsin θ，故A正確，B錯誤；該模型類似于單擺模型，等效重力加速度為gsin α，故周期為T＝2π，故C錯誤；擺球在運動過程中，經過平衡位置時，擺線的拉力和重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力，故T拉－mgsin α＝m，故T拉>mgsin α，故D錯誤。]
13．(1)1 m　(2)0.1 kg　(3)0.99 N
解析　(1)由題圖乙可知單擺周期為T＝2 s
根據單擺周期公式T＝2π
解得l＝1 m。
(2)當拉力最大時，即F＝1.02 N
擺球處在最低點
由牛頓第二定律得F－mg＝m
解得m＝0.1 kg。
(3)從最低點到最高點，由動能定理得
－mgl(1－cos θ)＝0－mv2
解得cos θ＝0.99
在最高點擺線的拉力最小，最小值為
F′＝mgcos θ＝0.99 N。3　單擺
[學習目標]　1.理解單擺模型和單擺做簡諧運動的條件，知道單擺振動時回復力的來源(重點)。2.知道影響單擺周期的因素，能熟練應用單擺的周期公式解決有關問題(重點)。
一、單擺及其運動規律
如圖所示，生活中，在不同的地點我們能夠觀察到很多的機械振動，風鈴的擺動、鐘擺的擺動、秋千的擺動，它們與彈簧振子的結構不同，試著從三種擺動的共性出發，抽象出一種物理模型。
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1．單擺
(1)實際擺看成單擺的條件
①細線的________與小球相比__________。
②小球的________與線的長度相比________________。
③擺線的____________與擺線長度相比________________。
④________________與擺球的重力及細線的拉力相比________________。
(2)單擺是一種理想化模型。
2．單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿________________方向的分力G1(G1＝________)。
(2)回復力的特點：在最大偏角很小的條件下(θ為5°左右)，sin θ≈tan θ≈，其中x為擺球偏離平衡位置O點的位移。單擺的回復力F＝________，令k＝，則F＝________。
3．單擺的運動規律：在擺角________時，單擺做簡諧運動。
(1)單擺在做簡諧運動時，在平衡位置的回復力是否為零？合外力是否為零？
(2)單擺的擺動只要在同一豎直面內，其運動即可看作簡諧運動，這種說法是否正確？
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例1　(2024·眉山市高二月考)關于做簡諧運動的單擺，下列說法正確的是(　　)
A．擺球經過平衡位置時所受合力為零
B．只有在最高點時，回復力才等于重力和擺線拉力的合力
C．擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比
D．擺球在任意位置處，回復力都不等于重力和擺線拉力的合力
例2　(多選)如圖所示為一單擺的振動圖像，則(　　)
A．t1和t3時刻擺線的拉力等大
B．t2和t3時刻擺球速度相等
C．t3時刻擺球速度正在減小
D．t4時刻擺線的拉力正在減小
二、單擺的周期
如圖a、c所示，擺球質量相同、擺長不同的單擺，擺動周期不同；如圖a、b所示，擺長相同而擺球質量不同或振幅不同的單擺振動周期卻相同，這說明什么？
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周期公式
(1)提出：周期公式是物理學家__________提出的。
(2)公式：T＝____________，即周期T與擺長l的二次方根成________，與重力加速度g的二次方根成________，而與振幅、擺球質量________。
說明：①單擺的周期公式在單擺偏角很小時(5°左右)成立。
②公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離l＝l線＋，d為擺球的直徑。
③公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
1．圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來，甲擺的等效擺長________乙擺的擺長，用圖中信息表示甲擺的等效擺長：______。
2．圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長________甲擺的擺長，用圖中信息表示乙擺的等效擺長：____________；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長________丙擺的擺長。用圖中信息表示乙擺的等效擺長：________。
例3　一個在地球上做簡諧運動的單擺，其振動圖像如圖甲所示，現將此單擺移至某一行星上，其簡諧運動圖像如圖乙所示。取π2＝10，地球表面重力加速度g1取10 m/s2，求：
(1)此單擺的擺長；
(2)行星表面重力加速度g2；
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(3)在地球上將擺長縮短到原擺長的，則此單擺的頻率是多少？
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例4　(2024·眉山市高二月考)如圖所示是兩個理想單擺的振動圖像，縱軸表示擺球偏離平衡位置的位移。下列說法中正確的是(　　)
A．t＝4 s時，兩單擺的回復力最大
B．乙擺球在第1 s末和第3 s末速度相同
C．甲、乙兩個擺的擺長之比為1∶2
D．甲擺球位移隨時間變化的關系式為x＝2sin(t) cm
三、單擺模型的拓展
1．類單擺模型
除了前面學習的單擺模型，有些物體的運動規律與單擺的運動類似，該類物體的運動即為類單擺模型。如在光滑圓弧面上來回滾動的小球。在圓弧半徑R遠大于運動弧長的情況下，小球的運動可以看成簡諧運動，周期T＝2π。
例5　如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一個小球B放在MN上離最低點C很近的D處(弧BC所對圓心角小于5°)，致使兩小球同時靜止釋放，則(　　)
A．球A先到達C點
B．球B先到達C點
C．兩球同時到達C點
D．無法確定哪個球先到達C點
2．不同系統中的等效重力加速度
在不同的運動系統中，單擺周期公式中的g應理解為等效重力加速度，其大小等于單擺相對系統靜止在平衡位置時的擺線拉力與擺球質量的比值。
情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度
g等效＝g－a g等效＝
g等效＝g＋a g等效＝g
g等效＝ g等效＝g
例6　如圖所示的幾個相同單擺在不同條件下擺動，關于它們的周期關系，下列判斷正確的是(　　)
A．T甲>T乙>T丙>T丁
B．T甲C．T甲>T乙＝T丙>T丁
D．T甲答案精析
一、
三種擺動都可以抽象為一根輕繩懸掛一個質點在豎直面內做往復運動。
梳理與總結
1．(1)①質量　可以忽略　②直徑　可以忽略　③形變量　可以忽略
④空氣阻力　可以忽略
2．(1)圓弧切線　mgsin θ
(2)－x　－kx
3．很小
討論交流
(1)在平衡位置回復力為零，但合外力不為零。
(2)不正確。因為只有在擺角很小時，單擺的振動才是簡諧運動。
二、
這說明單擺的周期與擺長有關而與擺球質量及振幅無關。
梳理與總結
(1)惠更斯　(2)2π　正比　反比　無關
討論交流
1．等于　lsin α
2．等于　l1＋l2sin α　等于　l1
例1　B　[擺球經過平衡位置時回復力為0，但根據圓周運動的規律可知單擺此時所受合力不為零，故A錯誤；根據牛頓第二定律可知，擺球在最大位移處時，速度為零，向心加速度為零，重力沿擺線方向的分力等于擺線對擺球的拉力，回復力才等于重力和擺線拉力的合力，在其他位置時，速度不為零，向心加速度不為零，重力沿擺線方向的分力小于擺線對擺球的拉力，回復力不等于重力和擺線拉力的合力，故B正確，D錯誤；擺球所受回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，重力沿擺線方向的分力與擺線對擺球的拉力的合力提供向心力，所以擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小不成正比，故C錯誤。]
例2　AD　[由題圖可知，t1和t3時刻擺球的位移相等，根據對稱性可知單擺振動的速度大小相等，故擺線拉力大小相等，故A正確；t2時刻擺球在負的最大位移處，速度為零，t3時刻擺球向平衡位置運動，所以t2和t3時刻擺球速度不相等，故B錯誤；t3時刻擺球正衡位置，速度正在增大，故C錯誤；t4時刻擺球正遠離平衡位置，速度正在減小，擺線拉力也減小，故D正確。]
例3　(1)1 m　(2)2.5 m/s2　(3)1 Hz
解析　(1)由題圖知，單擺在地球表面上的振動周期T1＝2 s，根據T1＝2π，有L＝，代入數據解得L＝1 m
(2)由題圖知，單擺在某行星上的振動周期T2＝4 s，而T2＝2π，得＝()2＝，則g2＝，所以行星表面的重力加速度g2＝＝2.5 m/s2。
(3)當擺長縮短為時，周期T1′＝2π＝T1＝1 s，此單擺的頻率是f1′＝＝1 Hz。
例4　D　[t＝4 s時，兩單擺處于平衡位置，該位置的回復力為零，故A錯誤；乙擺球在第1 s末和第3 s末速度大小相等方向相反，故B錯誤；由單擺的周期公式可知T＝2π，得甲、乙兩個擺的擺長之比為＝＝，故C錯誤；由題圖可知，甲擺的振幅為2 cm，周期為4 s，且零時刻位于平衡位置并開始向上運動，故甲擺球位移隨時間變化的關系式為x＝2sin(t) cm，故D正確。]
例5　A　[球A做自由落體運動，到達C點的時間為tA＝＝，當弧DC所對的圓心角小于5°時，球B在圓弧的支持力N和重力G的作用下做簡諧運動(與單擺類似)，它的振動周期為T＝2π＝2π，因此球B運動到C點所需的時間是
tB＝＝，故tA例6　C　[題圖甲中，當擺球偏離平衡位置時，重力沿斜面的分力mgsin θ為等效重力，即單擺的等效重力加速度g甲＝gsin θ；題圖乙中兩個帶電小球的斥力總與運動方向垂直，不影響回復力；題圖丙為標準單擺；題圖丁擺球處于超重狀態，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g丁＝g＋a，由單擺做簡諧運動的周期公式T＝2π，知T甲>T乙＝T丙>T丁，選項C正確。](共60張PPT)
DIERZHANG
第二章
3　單擺
1.理解單擺模型和單擺做簡諧運動的條件，知道單擺振動時回復力的來源(重點)。
2.知道影響單擺周期的因素，能熟練應用單擺的周期公式解決有關問題(重點)。
學習目標
一、單擺及其運動規律
二、單擺的周期
課時對點練
三、單擺模型的拓展
內容索引
單擺及其運動規律
一
如圖所示，生活中，在不同的地點我們能夠觀察到很多的機械振動，風鈴的擺動、鐘擺的擺動、秋千的擺動，它們與彈簧振子的結構不同，試著從三種擺動的共性出發，抽象出一種物理模型。
答案　三種擺動都可以抽象為一根輕繩懸掛一個質點在豎直面內做往復運動。
1.單擺
(1)實際擺看成單擺的條件
①細線的_____與小球相比_________。
②小球的_____與線的長度相比_________。
③擺線的_______與擺線長度相比_________。
④_________與擺球的重力及細線的拉力相比_________。
(2)單擺是一種理想化模型。
梳理與總結
質量
可以忽略
直徑
可以忽略
形變量
可以忽略
空氣阻力
可以忽略
2.單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿_________方向的分力G1(G1＝_______)。
圓弧切線
mgsin θ
－kx
3.單擺的運動規律：在擺角_____時，單擺做簡諧運動。
很小
(1)單擺在做簡諧運動時，在平衡位置的回復力是否為零？合外力是否為零？
討論交流
答案　在平衡位置回復力為零，但合外力不為零。
(2)單擺的擺動只要在同一豎直面內，其運動即可看作簡諧運動，這種說法是否正確？
答案　不正確。因為只有在擺角很小時，單擺的振動才是簡諧運動。
　(2024·眉山市高二月考)關于做簡諧運動的單擺，下列說法正確的是
A.擺球經過平衡位置時所受合力為零
B.只有在最高點時，回復力才等于重力和擺線拉力的合力
C.擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比
D.擺球在任意位置處，回復力都不等于重力和擺線拉力的合力
例1
√
擺球經過平衡位置時回復力為0，但根據圓周運動的規律可知單擺此時所受合力不為零，故A錯誤；
根據牛頓第二定律可知，擺球在最大位移處時，速度為零，向心加速度為零，重力沿擺線方向的分力等于擺線對擺球的拉力，回復力才等于重力和擺線拉力的合力，在其他位置時，速度不為零，向心加速度不為零，重力沿擺線方向的分力小于擺線對擺球的拉力，回復力不等于重力和擺線拉力的合力，故B正確，D錯誤；
擺球所受回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，重力沿擺線方向的分力與擺線對擺球的拉力的合力提供向心力，所以擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小不成正比，故C錯誤。
　(多選)如圖所示為一單擺的振動圖像，則
A.t1和t3時刻擺線的拉力等大
B.t2和t3時刻擺球速度相等
C.t3時刻擺球速度正在減小
D.t4時刻擺線的拉力正在減小
例2
√
√
由題圖可知，t1和t3時刻擺球的位移相等，根據
對稱性可知單擺振動的速度大小相等，故擺線
拉力大小相等，故A正確；
t2時刻擺球在負的最大位移處，速度為零，t3時刻擺球向平衡位置運動，所以t2和t3時刻擺球速度不相等，故B錯誤；
t3時刻擺球正衡位置，速度正在增大，故C錯誤；
t4時刻擺球正遠離平衡位置，速度正在減小，擺線拉力也減小，故D正確。
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二
單擺的周期
如圖a、c所示，擺球質量相同、擺長不同的單擺，擺動周期不同；如圖a、b所示，擺長相同而擺球質量不同或振幅不同的單擺振動周期卻相同，這說明什么？
答案　這說明單擺的周期與擺長有關而與擺球質量及振幅無關。
周期公式
(1)提出：周期公式是物理學家_______提出的。
(2)公式：T＝_______，即周期T與擺長l的二次方根成______，與重力加速度g的二次方根成______，而與振幅、擺球質量_____。
說明：①單擺的周期公式在單擺偏角很小時(5°左右)成立。
②公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離l＝l線＋ ，d為擺球的直徑。
③公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
梳理與總結
惠更斯
正比
反比
無關
1.圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來，甲擺的等效擺長_____乙擺的擺長，用圖中信息表示甲擺的等效擺長：______。
討論交流
等于
2.圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長_____甲擺的擺長，用圖中信息表示乙擺的等效擺長：__________；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長_____丙擺的擺長。用圖中信息表示乙擺的等效擺長：____。
lsin α
等于
l1＋l2sin α
等于
l1
　一個在地球上做簡諧運動的單擺，其振動圖像如圖甲所示，現將此單擺移至某一行星上，其簡諧運動圖像如圖乙所示。取π2＝10，地球表面重力加速度g1取10 m/s2，求：
(1)此單擺的擺長；
例3
答案　1 m
(2)行星表面重力加速度g2；
答案　2.5 m/s2
(3)在地球上將擺長縮短到原擺長的 ，則此單擺的頻率是多少？
答案　1 Hz
　(2024·眉山市高二月考)如圖所示是兩個理想單擺的振動圖像，縱軸表示擺球偏離平衡位置的位移。下列說法中正確的是
A.t＝4 s時，兩單擺的回復力最大
B.乙擺球在第1 s末和第3 s末速度相同
C.甲、乙兩個擺的擺長之比為1∶2
例4
√
t＝4 s時，兩單擺處于平衡位置，該位置的回復力為零，故A錯誤；
乙擺球在第1 s末和第3 s末速度大小相等方向相反，故B錯誤；
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單擺模型的拓展
三
1.類單擺模型
除了前面學習的單擺模型，有些物體的運動規律與單擺的運動類似，該類物體的運動即為類單擺模型。如在光滑圓弧面上來回滾動的小球。在圓弧半徑R遠大于運動弧長的情況下，小球的運動可以看成簡諧運動，
周期T＝ 。
　如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一個小球B放在MN上離最低點C很近的D處(弧BC所對圓心角小于5°)，致使兩小球同時靜止釋放，則
A.球A先到達C點
B.球B先到達C點
C.兩球同時到達C點
D.無法確定哪個球先到達C點
例5
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情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度
g等效＝g－a g等效＝
2.不同系統中的等效重力加速度
在不同的運動系統中，單擺周期公式中的g應理解為等效重力加速度，其大小等于單擺相對系統靜止在平衡位置時的擺線拉力與擺球質量的比值。
情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度
g等效＝g＋a g等效＝g
g等效＝ g等效＝g
　如圖所示的幾個相同單擺在不同條件下擺動，關于它們的周期關系，下列判斷正確的是
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙＝T丙>T丁
D.T甲例6
√
返回
題圖甲中，當擺球偏離平衡
位置時，重力沿斜面的分力
mgsin θ為等效重力，即單擺
的等效重力加速度g甲＝gsin θ；題圖乙中兩個帶電小球的斥力總與運動方向垂直，不影響回復力；題圖丙為標準單擺；題圖丁擺球處于超重狀態，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g丁＝g＋a，
課時對點練
四
考點一　單擺及其運動規律
1.(多選)下列有關單擺的說法，正確的是
A.一根橡皮筋一端系在懸點，另一端連接一個小球，可以構成一個單擺
B.單擺的擺動一定是簡諧運動
C.若單擺在同一平面內擺動，且偏角小于5°，可以認為該單擺的運動
是簡諧運動
D.單擺做簡諧運動時，擺長越長(其他條件不變)，其運動周期越大
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基礎對點練
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一根不可伸長的細繩一端系在懸點，另一端連接一個質量較大且可以看成質點的小球可以構成一個單擺，橡皮筋受到拉力時形變量較大，連接小球構成的裝置不可看成單擺，A錯誤；
若單擺在同一平面內擺動，且偏角小于5°，可以認為該單擺的運動是簡諧運動，B錯誤，C正確；
13
2.(多選)一單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖所示，以下說法正確的是
A.t1時刻擺球速度為零，擺球的合外力為零
B.t2時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最小
C.t3時刻擺球速度為零，擺球的回復力最大
D.t4時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大
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由題圖可知t1時刻擺球在正向最大位移處，速度為零，回復力最大，合外力不為零，故A錯誤；
t2、t4時刻位移為零，說明擺球在平衡位置，擺球速度最大，懸線對它的拉力最大，故B錯誤，D正確；
t3時刻擺球在負向最大位移處，速度為零，回復力最大，故C正確。
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3.關于單擺，下列說法中正確的是
A.擺球運動的回復力是它重力沿圓弧切線方向上的分力
B.擺球在運動過程中加速度的方向始終指向平衡位置
C.擺球在運動過程中經過軌跡上的同一點，加速度是改變的
D.擺球經過平衡位置時，加速度為零
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根據回復力的定義單擺運動的回復力是重力沿圓弧切線方向上的分力，故A正確；
擺球在運動過程中，回復力產生的加速度的方向始終指向平衡位置，而向心加速度指向懸點，合成后，加速度方向不是始終指向平衡位置，故B錯誤；
擺球在運動過程中經過軌跡上的同一點，受力情況相同，加速度是不變的，故C錯誤；
擺球經過平衡位置時，加速度不為零，有向心加速度，故D錯誤。
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考點二　單擺的周期
4.(2023·洛南中學高二月考)一單擺由甲地移到乙地后，發現走時變快了，其變快的原因及調整的方法是
A.g甲>g乙，將擺長縮短 B.g甲C.g甲g乙，將擺長增大
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5.(多選)惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘。擺鐘運行中克服摩擦所需的能量由重錘的重力勢能提供，運動的速率由鐘擺控制。旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動，如圖所示，下列說法正確的是
A.當擺鐘不準時需要調整圓盤的上、下位置
B.擺鐘快了應使圓盤沿擺桿上移
C.由冬季變為夏季時應使圓盤沿擺桿上移
D.把擺鐘從廣州移到北京應使圓盤沿擺桿上移
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調整圓盤的上、下位置可改變擺長，從而達到調整周期的作用，A正確；
若擺鐘變快，是因為周期變小，應增大擺長，即下移圓盤，B錯誤；
由冬季變為夏季，擺桿變長，應上移圓盤，C正確；
從廣州到北京，g值變大，周期變小，應增加擺長，即下移圓盤，D錯誤。
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6.(2023·綿陽市高二期中)圖甲是利用沙擺演示簡諧運動圖像的裝置。當盛沙的漏斗下面的薄木板被水平勻速拉出時，做簡諧運動的漏斗漏出的沙在板上形成的曲線顯示出沙擺的振動位移時間的變化關系。已知木板被水平拉動的速度為0.20 m/s，圖乙所示的一段木板的長度為0.80 m，則這次實驗沙擺的擺長為(取π2＝10)
A.0.56 m B.0.65 m
C.1.00 m D.2.25 m
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考點三　單擺模型的拓展
7.如圖所示，表面光滑、半徑為R的圓弧形軌道AP與水平地面平滑連接，AP弧長為s，s R。半徑為r的小球從A點靜止釋放，運動到最低點P時速度大小為v，重力加速度為g，則小球從A運動到P的時間是
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8.(2023·成都市高二月考)如圖所示為同一地點的兩個單擺甲、乙的振動圖像，下列說法正確的是
A.甲擺的擺長比乙擺的擺長大
B.甲擺的振幅是乙擺振幅的3倍
C.甲擺的機械能比乙擺的機械能大
D.在t＝1 s時有正向最大加速度的是乙擺
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能力綜合練
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甲擺的振幅為6 cm，乙擺的振幅為3 cm，則甲擺的振幅是乙擺振幅的2倍，故B錯誤；
盡管甲擺的振幅比乙擺大，兩擺的擺長相等，但由于兩擺的擺球質量未知，故無法比較機械能的大小，故C錯誤；
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在t＝1 s時，甲擺經過平衡位置，振動的加速度為零，而乙擺的位移為負的最大，則乙擺具有正向最大加速度，故D正確。
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10.(多選)(2023·安慶一中月考)如圖所示，三根細線在O點處打結，A、B兩端固定在同一水平面上相距為L的兩點上，△AOB為直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC長為L，下端C點處系著一個小球(忽略小球的半徑，小球擺動時偏角θ<5°)，重力加速度為g，下列說法正確的是
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11.(2023·四川涼山高二月考)一單擺在豎直平面內做小角度擺動。擺球從左側最高點A運動到最低點C時，擺線被懸點O(未畫出)正下方的釘子P擋住，之后球運動到右側最高點B，該過程中的頻閃照片如圖所示，已知閃光的時間間隔相等，OC＝l。則O、P間的距離為
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12.將一個擺長為l的單擺放在一個光滑且傾角為α的斜面上，其擺角為θ(θ<5°)，如圖所示。小球質量為m，重力加速度為g，下列說法正確的是
A.擺球做簡諧運動的最大回復力為mgsin θsin α
B.擺球做簡諧運動的最大回復力為mgsin θ
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D.擺球在運動過程中，經過平衡位置時，擺線的拉力為T拉＝mgsin α
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回復力由重力沿斜面向下的分力的切向分力提供，重力沿斜面向下的分力為mgsin α，沿斜面向下的分力的切向分力的最大值為mgsin αsin θ，故A正確，B錯誤；
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13.(2023·金華十校調研)如圖甲所示，擺球在豎直平面內做簡諧運動，通過力傳感器測量擺線拉力F，F的大小隨時間t變化規律如圖乙所示，擺球經過最低點時的速度大小v＝ m/s，忽略空氣阻力，取g＝10 m/s2，π2≈10，求：
(1)單擺的擺長l；
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尖子生選練
答案　1 m
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由題圖乙可知單擺周期為T＝2 s
解得l＝1 m。
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(2)擺球的質量m；
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答案　0.1 kg
當拉力最大時，即F＝1.02 N
擺球處在最低點
解得m＝0.1 kg。
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(3)擺線拉力的最小值。
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答案　0.99 N
從最低點到最高點，由動能定理得
解得cos θ＝0.99
在最高點擺線的拉力最小，最小值為
F′＝mgcos θ＝0.99 N。
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