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模型31 “十字架”模型
基礎模型
正方形與矩形中“十字架”模型解題的相同點：尋找(構造)兩條“十字架線”所在的特殊三角形，再利用等角代換證明另一組角相等；
不同點：正方形暗含邊相等，得到全等三角形，矩形得到相似三角形.
結論：
證明:如圖①,AE,BF交于點 G,∵四邊形ABCD為正方形,.
在△ABF和. 中，
∴△ABF≌△DAE(ASA),∴BF=AE.
結論:EF=GH
自主證明:如圖②,分別過點H,F作HI⊥BC于點I,FJ⊥AB于點J,JF與HG交于點M,EF與HG交于點 O.
結論：
證明:如圖③,BD,CE交于點F,∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BCD=∠CDE=90°,
∵CE⊥BD,∴∠BFC=90°,
∴∠DBC+∠BCF=90°,
∵∠DCE+∠BCF=90°,
∴∠DBC=∠DCE,
∴△BCD∽△CDE,
結論：
自主證明：如圖④，EF 與 GH交于點I，過點E作 于點J，過點G作( 于點K,GK與EF交于點 L.
模型解題三步法
例1 如圖,在矩形ABCD中有兩條相交線段EG,FH,點E,F,G,H分別在邊AB,BC,CD,DA上,若 則 FH的長為 .
例2 如圖，在 中， ,BD是AC邊上的中線,過點A 作AE 交BD 于點F,交BC于點E,則 的值為 .
題以類解
1. 如圖,在矩形ABCD 中,點 E 是邊 AB 上一點，將 沿CE 折疊，使點B 落在AD邊上的點F處，連接BF.則折痕CE的長為 .
2. 如圖，已知. 在正方形ABCD 的邊AD 上任取一點. DE),連接BE,作( 交AB 于點 F,連接EF 并延長交CB 的延長線于點 P.若點 E，F恰好分別是AD，AB 的黃金分割點，則 PB (用含a的代數式表示)
3.如圖，在正方形ABCD中,E是邊AB 上的點,連接CE,過點D作 DF⊥CE,分別交 BC,CE于點 F,G.若AB=3，圖中陰影部分的面積和與正方形ABCD的面積之比為4:9,則△DCG的面積為 ,CG+DG的長為 .
4. 如圖,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,點D為AC 的中點,連接BD,過點 C作CE⊥BD交AB 于點 E,交 BD 于點 F,則CE的長為 .
5. 如圖,在正方形 ABCD 中,E,F 分別為 AD,CD 的中點,AF,BE 交于點 O,連接DO并延長交AB 于點 G,若 ,則OB= .
6. 如圖,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點 D，E分別是線段AC，BC上的點，且滿足AD=CE,連接 DE,過點 C 作 DE 的垂線,垂足為點 F,交線段AB 于點 G.
求證：((1)CG=DE;
7.如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上的動點,連接AE,過點 B 作BH⊥AE,交AE 于點 G,交 CD 于點 F,過點 D 作 DH⊥BH 于點 H.
(1)如圖①,當點E是BC中點時,若AB=6, 求FH的長；
(2)如圖②,連接HC,當點 E 在 BC 邊上運動時，試判斷FH，EG，BG之間的數量關系，并說明理由.
自主證明:(結論:EF=GH)
如圖②,分別過點 H,F 作 HI⊥BC 于點I,FJ⊥AB 于點 J,JF 與 HG交于點 M,EF 與HG交于點O,
∴∠EJF=∠GIH=90°,JF=HI.
∵EF⊥GH,∴∠GOF=90°,
∴∠OMF+∠OFM=90°,
又∵∠MHI+∠OMF=90°,
∴∠OFM=∠MHI.
在△EJF 和△GIH中,
∴△EJF≌△GIH(ASA),
∴EF=GH.
自主證明：(結論：
如圖④,EF與GH交于點I,過點 E作EJ⊥BC于點 J,過點 G作 GK⊥CD 于點 K,GK與EF 交于點 L.
∴∠EJF=∠GKH=90°,
∵EF⊥GH,
∴∠GIL=90°,
∴∠HGK+∠GLI=90°,
∵∠FEJ+∠GLI=90°,
∴∠HGK=∠FEJ,
∴△HGK∽△FEJ,
模型解題三步法
例 1 8 【解析】找模型：矩形中是否存在兩條線段相交且垂直：矩形ABCD中,線段EG,FH 相交,EG⊥HF,抽離模型:如解圖，用模型：根據矩形不過頂點型“十字架”模型可得： 解得FH=8.
例2 2 【解析】根據正方形過頂點型“十字架”模型可得:△ACG≌△BAD(ASA),∴CG=AD= AC= AB,∵BA∥CG,∴△CEG∽△BEA(8字型相似)， 即
題以類解
【解析】找模型：矩形中是否存在兩條線段相交且垂直：在矩形 ABCD 中，線段BF,CE 相交,BF⊥CE.抽離模型:如解圖,用模型:∵ 四邊形ABCD 是矩形,∴ BC=AD=5,CD=AB=3,由折疊的性質可得,CF=BC=5,∴ 在 Rt△CDF 中, -3 =4,∴AF=AD-DF=5-4=1,∴BF= 由折疊的性質可得，BF⊥CE，根據矩形過頂點型“十字架”模型可得： 即 解得
2. a 【解析】找模型正方形中是否存在兩條線段相交且垂直：正方形ABCD中，線段BE，CF相交，BE⊥CF.抽離模型.如解圖，用模型：根據正方形過頂點型“十字架”模型可得:△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF,∵ AD∥CP,∴△AEF∽△BPF,∴AEBP=AFBF,∵點E,F恰好分別是AD，AB 的黃金分割點，且AE>
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【解析】∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為4:9,AB=3,∴陰影部分的面積為 ∴空白部分的面積為9-4=5,∵在正方形 ABCD 中,CD=BC,∠DCF=∠CBE=90°,DF⊥CE,∴ ∠CFD+∠BCE = 90°,∵ ∠BCE + ∠BEC = 90°,∴∠CFD=∠BEC,∴△DCF≌△CBE(AAS)
(正方形過頂點型“十字架”模型),∴ S△DCC= 設DG=a(a>0),CG=b(b>0),則 又∵ 即 (負值已舍去)，即
【解析】如解圖，過點 A 作AC 的垂線，過點 B 作 BC 的垂線，兩垂線交于點 G，延長CE交AG于點 H,∵ ∠ACB=90°,∴四邊形 AGBC 為矩形,∴ ∠CAH=90°,∵ 點 D是AC的中點,∴CD=AD=2,∵BC=3,∴BD 90°,∴ ∠BCF +∠CBD = 90°,∵ ∠BCF +∠ACH=90°,∴∠ACH=∠CBD,∴△CAH∽ 即 易證△AEH∽△BEC(由平行可得“8字型”相似)， 即 解得
5. 【解 析】在 △ABE 和△DAF 中,
(正方形過頂點型“十字架”模型)，∴∠ABE=∠DAF,BE=AF.∵∠ABE+∠AEB=90°,∴∠DAF+∠AEB=90°,∴∠AOB=90°,∴△ABE∽△OBA,設AE=a,則DF=a,AB=2a,在 Rt△ABE中, 同理得 在△AOE 中, 得 (負值已舍去)， F 如解圖，將△ODE 繞點 D 逆時針旋轉90°得到△O'DF,則△O'DF≌△ODE,∴ ∠DFO'=∠DEO,∵∠AEO=∠DFA,∠AEO+∠DEO=180°,∴∠DFO'+∠DFA=180°,即點O,F,O'在同一直線上. 在 Rt△ODO'中, 即 解得a=
6. 證明:(1)如解圖,將△ACG 沿 AC 平移到△DMN的位置,點N在BC上,連接ME,GN,∴DN∥AG且DN=AG,MN=CG,
∵∠CAB=45°,
∴∠CDN=45°,
∴CD=CN,
∵CG⊥DE,
∴ ∠DCF+∠CDF=90°,
∵∠CMN+∠MNC=90°,
∴∠MNC=∠EDC,
7. 解:(1)∵四邊形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=6.
∵AE⊥BH,
∴∠BGE=90°,
∴ ∠GBE+∠GEB=90°.
∵∠BAE+∠GEB=90°,
∴∠BAE=∠GBE,
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA)(正方形過頂點型“十字架”模型)，
∴DF=CF=3.
在Rt△DHF 中,
(2)FH,EG,BG之間的數量關系為 FH+EG=BG，理由如下：
如解圖,連接BD,過點C作CK⊥BH于點K,
∵∠DHF=∠BCF=90°,∠DFH=∠BFC,
∴△DFH∽△BFC,
∵∠HFC=∠DFB,
∴△HFC∽△DFB,
∴∠FHC=∠FDB.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠FHC=∠BDF=45°.
由(1)可得△ABE≌△BCF,∴BE=CF.
∵CK⊥BF,
∴ ∠KBC+∠KCB=90°.
∵∠FCK+∠KCB=90°,
∴∠KBC=∠FCK,
在△BEG和△CFK中,
∴△BEG≌△CFK(AAS),
∴EG=KF,BG=CK.
∵∠FHC=45°,∠CKH=90°,
∴FH+KF=CK,
∴FH+EG=BG.

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