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模型29 “中點四邊形”模型
模型展現
1.任意四邊形的中點四邊形都是平行四邊形；
2.對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形；對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形；對角線相等且互相垂直的四邊形的中點四邊形是正方形.
結論3：四邊形EFGH是平行四邊形
證明:∵ E,F分別是邊AB,BC的中點,
∴EF為△ABC的中位線,
同理HG為 的中位線，∴
∴EF∥HG,且EF=HG,∴四邊形 EFGH是平行四邊形.
結論4
自主證明：
結論
自主證明：
模型解題三步法
例 如圖,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,連接AC,BD,EF,FG,GH,HE.
(1)四邊形 EFGH的形狀為 ，若對角線， ，則四邊形EFGH的周長是 ；
(2)當 時，四邊形EFGH的形狀為 ，若四邊形 EFGH的周長為40，則四邊形ABCD的對角線AC的長為 ；
(3)當AC與BD互相垂直且相等時，四邊形 EFGH的形狀為 ，若 ,則四邊形 EFGH的面積為 ；
(4)當 時，四邊形 EFGH 的形狀為 ，若四邊形 EFGH的周長為20，則四邊形ABCD 面積的最大值為 .
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題以類解
1.如圖，順次連接四邊形ABCD 各邊中點得到四邊形EFGH，使四邊形EFGH為正方形，應添加的條件分別是( )
A. AB=CD且AC⊥BD
B. AC=BD且AC⊥BD
C. AB∥CD且AB=CD
D. AB∥CD且AC⊥BD
2.如圖,在四邊形 ABCD中,E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,若 則AC= ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
3. 如圖,已知菱形A1B1C1D1的面積為2,順次連 接 菱 形 各 邊 的 中 點 得 到 四 邊 形A B C D ，記為第1次操作；再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點得到四邊形A2B2C2D2,記為第 2次操作;…;依次類推,則操作2024次后得到的四邊形的面積為( )
4.如圖，把矩形A B-CD 沿直線 AC 折疊,點 B 落在 E 處,連接DE.若BC=3,∠BAC=30°,則順次連接四邊形ADEC 各邊中點，得到的四邊形的形狀為 ，面積為 .
5.我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.如圖，四邊形EFGH為四邊形ABCD 的中點四邊形.
(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)已知點 P 是四邊形ABCD 內一點,且 PC=PB,PA=PD,∠APD=∠BPC,請你判斷四邊形 EFGH的形狀，并說明理由.
模型展現
結論4：自主證明：
∵四邊形 EFGH 是平行四邊形，
∴EF=GH,FG=EH,
∴ 四邊形 EFGH 的周長為 EF+GH+FG+EH=2(EF+FG).
∵ EF,FG 分別是△ABC 和△BCD 的中位線，
結論5：自主證明：
∵ EF為△ABC 的中位線,GF 為△BCD 的中位線,HG 為△ACD 的中位線,EH 為△ABD的中位線,
∵S△ABC+S△BCD+S△ACD+S△ABD=2SP四邊形ABCD,
S△AHE)
四邊形ABCD·
模型解題三步法
例 (1)平行四邊形，50 【解析】根據“中點四邊形”模型可得：四邊形 EFGH 是平行四邊形,C四邊形EFGH=AC+BD.∵AC=20,BD=30,∴C四邊形EFGH=20+30=50;
(2)菱形，20 【解析】根據“中點四邊形”模型可得：四邊形 EFGH 是平行四邊形，C四邊形EFGH=AC+BD.∵AC=BD,∴四邊形 EF-GH是菱形.∵四邊形 EFGH 的周長為40,∴AC=20;
(3)正方形,9 【解析】如解圖，根據“中點四邊形”模型可得：四邊形 EFGH是平行四邊形.又∵AC=BD且AC⊥BD,∴EF=EH且EF⊥EH,∴四邊形 EF-GH為正方形.若AC=6,則 正方形 EFGH 的面積為9;
(4)矩形，50 【解析】根據”中點四邊形“模型可得：四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD,∴四邊形 EFGH 是矩形.∵ 四邊形 EFGH的周長為20，設EH的長為x，則相鄰的邊 EF為((10-x),∴S矩形EFGH=EH·EF=x·(10-x),+50,∵-2<0,0題以類解
1. B 【解析】找模型：是否存在相鄰四邊的中點：點E，F，G，H.中點是否構成四邊形：四邊形 EFGH.抽離模型:如解圖,連接AC,BD.用模型：根據“中點四邊形”模型得：四邊形EFGH是平行四邊形，要使平行四邊形 EF-GH為正方形,需滿足 EF=EH 且 EF⊥EH,當EF=EH時,AC=BD,當EF⊥EH時,AC⊥BD,∴應添加的條件是AC=BD且AC⊥BD.
2. A 【解析】找模型：是否存在相鄰四邊的中點：點E，F，G，H.中點是否構成四邊形：四邊形 EFGH. 構造模型:如解圖,連接EF,FG,GH,EH,設點 O 為 EG 與 HF 的交點. 用模
根據“中點四邊形”模型得：四邊形 EFGH為平行四邊形,∵AC=BD,∴ EF=FG,∴平行四邊形 EFGH 為菱形,∴ EG⊥FH,EG=20G 2(負值已舍去),∴AC=2HG=4.
3. C 【解析】由中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半可得第1 次操作后所得四邊形的面積為1，第2次操作后所得四邊形的面積為 ，第3次操作后所得四邊形的面積為 第4次操作后所得四邊形的面積為 ，由此規律(類比、歸納是初中很重要的數學思想方法)可得第 2024 次操作后所得四邊形的面積為
4. 菱形; 【解析】如解圖,設點 F,G,H,I分別為AD,AC,CE,ED的中點,過點 D 向AC作垂線，垂足為點 L.∵ 把矩形 ABCD 沿直線AC 折疊,點B落在點 E 處,∴ CD=AB=AE,順次連接四邊形 ADEC 各邊中點.∵ F，G分別是AD,AC的中點, 同理FI= 又∵ DC=AE,∴ FI=IH=HG=FG,∴四邊形 FGHI是菱形.
∵BC=3,∠BAC=30°,∴AC=2BC=6,AB= 在△ADC 中,AD· 設AE 與CD 交于點 M,在 △DMA 和 △EMC 中,
∴ DM = EM. ∵ ∠EAC = ∠BAC = 30°,
∠EAC+∠BAC=60°,∴ ∠MED =∠MDE =30°,∴ ∠MED =∠EAC,∠MED =∠DAE, (“中點四邊形”模型).
5. (1)證明:如解圖①,連接AC,
∵四邊形 EFGH為四邊形ABCD的中點四邊形，
∴E,F,G,H分別是邊AD,AB,BC,CD的中點,
∴EH∥FG,且EH=FG,
∴ 四邊形 EFGH 是平行四邊形(“中點四邊形”模型)；
(2)解:四邊形 EFGH 是菱形,理由如下:如解圖②,連接AC,BD,
即
又∵PA=PD,PC=PB,
∴△APC≌△DPB(SAS),
∴AC=DB.
∵四邊形 EFGH 為四邊形 ABCD 的中點四邊形，
∴E,F,G,H分別是邊 AD,AB,BC,CD 的中點，
∴EF,FG,GH,EH 分別是△ABD,△ABC,△BCD,△ACD的中位線 ,
(中位線的性質)，
∴EF=FG=GH=EH,
∴ 四邊形 EFGH 為菱形.

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