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模型32 對角互補模型
基礎模型
類型 90°的對角互補模型 60°、120°的對角互補模型
圖示
條件 ∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC ∠ABC= 120°,∠ADC = 60°,BD 平分∠ABC
作法 過點 D分別作DE⊥BC于點 E,DF⊥BA交BA的延長線于點 F
結論 1. AD=CD; 2. AB+BC= BD; 3. Sm邊形ABCO= BD 1. AD=CD; 2. AB+BC=BD; 3. S= AD
結論分析
結論：
證明:如圖,過點D分別作DE⊥BC于點E,DF⊥BA交BA的延長線于點F.
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF.
∵∠ABC=∠ADC=90°,∴∠BAD+∠C=180°,
∵∠BAD+∠DAF=180°,∴∠DAF=∠C,
∴AD=CD(結論1),AF=CE,
∴AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AF=BF+BE.
易證四邊形DFBE為正方形，∴ (結論2);
由三角形全等可知(結論3).
結論：
自主證明：
拓展模型
拓展方向：將角度平分的條件去掉
圖示
條件 ∠ABC+∠ADC=180°
作輔 助線 方法 作∠BDG=∠ADC 過點D分別作DE⊥AB于點E,DF⊥BC交BC的延長線于點F
結論 △DAB∽△DCG △DAE∽△DCF
模型解題三步法
例1 如圖,在等邊△ABC中,點D為BC的中點,E,F分別是AB,AC邊上的點,且
連接AD，則AD平分 ∠EDF+∠BAC=180°=(
若∠BDE=45°,DF=6,則BE的長為 .
例2 如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BD⊥AC于點D,以D為頂點作∠EDF=90°,∠EDF+∠EBC=180°分別交AB,BC于點E,F,則 的值為 .
題以類解
1. 如圖,正方形ABCD 的對角線AC,BD 交于點O,點E是AB邊上一點,連接OE,作OF⊥OE,交BC邊于點 F,若AB=2,則四邊形EBFO 的面積為 .
2.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=115°,∠BCD=65°,CD=2BC,將線段 CA繞點C逆時針旋轉 與AB的延長線交于點E，若△CDA的周長為8,則△CBE的周長為 .
3.(模型遷移) 如圖，在平面直角坐標系中，A(-3,0),B為y軸正半軸上一點,C為y軸負半軸上一點,連接AB,AC,過點 C作CD⊥CA,且使 點D 在第一象限，連接BD，若∠ABD=90°,則點B 的坐標為 .
4.如圖,已知△ABC是等邊三角形,點D,E,F分別是AB,AC,BC邊上的點,∠EDF=120°,設 若3,則n的值為 .
5. 如圖,△ABC內接于⊙O,AD平分∠BAC,交⊙O 于點 D,交BC于點 E,過點A 作AF⊥BC 于點 F,連接 BD.若∠BAC=60°,則 的值為 .
一題多解綜合與實踐
老師留了一道課后作業：
如圖①，在矩形ABCD中，P為對角線AC的中點,M,N 為邊 BC,CD 上兩動點,且∠MPN=90°.求證:
小明和小聰經過思考和交流后，得出兩種解題思路：
小明:過點P分別作PH⊥BC于點 H,PQ⊥CD 于點Q構造出一對相似三角形，再通過矩形對邊分別平行即可得證；
小聰:過點P作PG⊥AC,交BC 于點 G,通過證明兩對三角形相似即可得證.
(1)請你思考小明和小聰的思路哪種可行。并完成此題的證明；
(2)如圖②，老師在原題的基礎上添加條件:“連接MN,若∠MNP=30°,AB=4,且PC平分 小敏提出兩個新問題：①CM與CN是否相等；②DN的長度是多少.
請你解答這兩個問題，并說明理由.
模型展現
自主證明：
如圖,過點 D分別作DE⊥BC于點 E,DF⊥BA 交 BA 的延長線于點 F.
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF.
∵∠ABC=120°,∠ADC=60°,
∴∠DAB+∠DCB=180°.
∵∠DAB+∠FAD=180°,
∴∠DCB=∠FAD.
∵∠F=∠DEC,
∴△DFA≌△DEC(AAS),
∴AD=CD(結論1),AF=CE,
∴AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AF=BF+BE.
∵ BD平分∠ABC,∠ABC=120°,
∴∠DBE=60°,
∴在 Rt△DBE中, 在Rt△BDF中, (結論2);由三角形全等可知， (結論3).
模型解題三步法
例1 2 【解析】如解圖，連接AD，過點 D 分別作 DH⊥AC 于點 H,DG⊥AB 于點 G,∵△ABC 為等邊三角形,∴ ∠BAC=60°,∵ ∠EDF=120°,∴ ∠EAF+∠EDF=180°,∴ ∠AED+∠AFD=180°,根據 60°、120°的對角互補模 型 可得: △DEG ≌ △DFH(AAS),∴DE=DF=6,過點 E 作 EP⊥BC于點 P,
例2 【解析】如解圖，過點D 分別作 DH⊥BC于點H,DG⊥AB 于點 G.∵在 Rt△ABC中,∠C = 60°,BD ⊥AC,∴ ∠DBC = 30°, ∴ 四邊形 GBHD為矩形，. ∠EBF=90°,根據 90°的對角互補模型得:
題以類解
1.1 【解析】找模型：是否存在含一組對角互補的四邊形:四邊形 EBFO 中, ∠ABC +∠EOF=180°,是否存在角度平分:BO 平分∠ABC.抽離模型：如解圖，用模型：根據90°的對角互補模型可得： 在正方形 ABCD 中,∠AOB=90°,OA=OB,∴
2.4 【解析】找模型：是否存在含一組對角互補的四邊形:四邊形 ABCD 中, ∠DAB +∠BCD=180°.是否存在角度平分:不存在.抽離模型：如解圖，用模型：∵線段 CA 繞點C逆時針旋轉65°,∴∠DCB=∠ACE,根據對角互補模型可得:△CDA∽△CBE,∵CD=2B
3. (0,3) 【解析】如解圖,過點 C 分別作 CE⊥AB 于點 E,CF⊥BD交BD 的延長線于點 F,∵∠ABD=∠ACD=90°,∴∠BAC+∠BDC=180°,∵ ∠BDC+∠CDF=180°,∴ ∠CAE =∠CDF,∵∠AEC=∠DFC,AC=DC,∴△CAE≌△CDF(90°的對角互補模型),∴CE=CF,∴ BC 平分∠ABD,∴ ∠ABO=45°,∴△ABO為等腰直角三角形,∴OB=OA=3,∴點B的坐標為(0,3).
或 【解析】如解圖，過點 D作DG∥BC交AC 于點 G,∵△ABC 是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵ DG∥BC,∴∠B=∠ADG=∠C=∠AGD=60°,∠BDG=120°,∴△ADG是等邊三角形,∴AD=DG,∵∠BDG=120°, ∠EDF = 120°,∴ ∠BDF +∠GDF =∠EDG+∠GDF=120°,∴ ∠BDF=∠GDE,∵∠B=∠AGD =60°,∴ △DGE∽△DBF(60°、120°的對角互補模型) 化簡得，n -3n+1=0,解得 ∴n的值為 或
5. 【解析】如解圖,過點 D 分別作 DQ⊥AB于點 Q,DP⊥AC交AC 的延長線于點 P,連接CD,∵AD平分∠BAC,∴ DQ=PD,∵∠BAC=60°,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴BD=CD,∴BD=CD,∴ Rt△DQB≌Rt△DPC(HL)(60°×120°的對角互補模型),∴BQ=CP,∵AQ=AP,∴AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,
6.解：(1)小明和小聰的思路都可行.
選擇小明的思路：
證明:如解圖①,過點 P 分別作 PH⊥BC 于點H,PQ⊥CD于點 Q,
∵四邊形ABCD 是矩形,
∴∠DCB=90°,∴∠QPH=90°,
∴∠MPQ+∠MPH=90°,
··∠MPN=90°,∴ ∠NPQ+∠MPQ=90°,
..∠NPQ=∠MPH,
∵∠PHM=∠PQN=90°,
∴△PHM∽△PQN,
∵PH∥AB,PQ∥AD,
或選擇小聰的思路：
證明:如解圖②,過點 P作PG⊥AC,交BC于點G,則∠GPM=∠CPN,
∵ ∠PNC+∠PMC=180°,∠PMG+∠PMC=180°,
∴∠PMG=∠PNC,∴△GPM∽△CPN,
∵PG⊥AC,∴∠GPC=90°,
∵∠B=90°,∠ACB=∠GCP,
(2)解:①CM=CN.
一題多解
解法一：理由：如解圖③，過點 C 分別作 CK⊥PN于點 K,CL⊥PM,交 PM 的延長線于點L,
∵PC平分∠KPM,∴CK=CL,
又∵ ∠NCK+∠KCM=90°,∠MCL+∠KCM=90°,
∴∠NCK=∠MCL,
又∵∠CKN=∠CLM,
∴△CML≌△CNK(ASA),
∴CM=CN;
解法二：理由：如解圖④，延長PM至點 W，使PW=PN,連接CW,易證CW=CN,
∴∠W=∠CNP,
∵∠PMC+∠CMW=180°,∠PNC+∠PMC=180°,∴∠CNP=∠CMW,
∴∠W=∠CMW,
∴CM=CW,∴CM=CN;
理由:如解圖④,設 PC 交 MN 于點 O,連接PB,
∵∠NPM=90°,∠MCN=90°,PC平分∠MPN,
∴∠NPC=∠MPC=45°,
由(2)①得CM=CN,
∴∠NMC=∠MNC=45°,
∴∠NPC=∠NMC=45°,
又∵∠PON=∠MOC,
∴△PON∽△MOC,
∴∠ACB=∠MNP=30°,
∴∠BAC=60°,
在Rt△ABC中,AB=4,∴AC=2AB=8,
∵P為AC的中點,
∴△PAB 是等邊三角形,
∵ ∠PMB=∠MPC+∠ACB,∠MPB=180°-∠BPA-∠MPC,∠MPC=45°,
∴∠PMB=∠MPB,
∴△BMP 是等腰三角形,
∴PB=BM=4,∴CM=CB-BM=4 -4,
又∵CM=CW=CN,∴CN=4 -4,

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