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模型39 三角形外接圓
基礎模型
如圖，已知直角三角形的外接圓，則△ABC 的外心為斜邊的中點.
模型解題三步法
例1 如圖， 內接于⊙O， 則⊙O 的半徑為 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
例2 如圖，在4×4的正方形網格中，A，B，C是三個格點，其中每個小正方形的邊長為1，則△ABC 的外心可能是( )
A. 點M B. 點N C. 點 P D. 點Q
題以類解
1.如圖，在平面直角坐標系中，A(0,-3),B(2,-1),C(2,3),則△ABC 的外心坐標為( )
A. (2,-1) B. (-2,1)
C. (1,-2) D. (1,2)
2. 如圖,等邊△ABC是⊙O 的內接三角形,⊙O的半徑為6，分別沿AB和AC 折疊⊙O紙片， 和 都經過圓心O，則圖中陰影部分的面積為 ( )
A. 9 B. 8 D. 12
3. 如圖，O是△ABC的外心，連接AO并延長交BC于點 D,過點 D 作DE⊥AB于點 E,若∠ADC=2∠C,DE=2,則AC的長為 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如圖,△ABC 為⊙O 的內接三角形,AD⊥BC,垂足為D.
(1)尺規作圖:①作∠BAD 的平分線交⊙O于點E；
②作△ABE的外接圓圓心 P(不寫作法，保留作圖痕跡)；
(2)在(1)的條件下,若AE為⊙P的直徑,AE與 BC交于點 F.
①求證:∠AEB=∠AFD;
②若AB=10,BF=5,求DF的長.
模型39 三角形外接圓
模型解題三步法
例1 B 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，三角形三頂點是否共圓：是，是否存在圓心，點O，抽離模型：如解圖，用模型：連接AO 并延長交⊙O 于點 D,連接BD,∵AB=AB,∴∠C=∠D(同弧所對的圓周角相等), ∵AD 為⊙O 的直徑,∴∠ABD=90°(直徑所對的圓周角為 根據“三角形外接圓”模型得 OA=OD=6,∴⊙O 的半徑為6.
例2 D 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，缺少：三角形三個頂點共圓，構造模型：如解圖，用模型：根據“三角形外接圓”模型得外心為三角形三邊垂直平分線的交點，在網格中分別作AB，BC 的垂直平分線交于點 Q,∴點 Q 是△ABC 的外心.
題以類解
1. B 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，缺少：三角形三個頂點共圓，構造模型：如解圖.用模型：分別作 AB，BC 的垂直平分線 MN，EF，根據“三角形外接圓”模型得△ABC 的外心即三角形三邊垂直平分線的交點,∴EF與MN的交點 O'即為所求的△ABC的外心,∴ △ABC 的外心坐標是(-2,1).
2. A 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，三角形三頂點是否共圓：是，是否存在圓心：點O，抽離模型：如解圖，用模型：連接AO,BO,CO,延長AO 交 BC 于點 D,根據“三角形外接圓”模型可得OA=OB=OC=6,AD 為 BC 的垂直平分線,∴BD=CD,AD⊥BC,在 Rt△OBD 中, 3,∴BC=2BD=6 ,∵AB和. 都經過圓心，∴陰影部分面積即為△OBC 的面積，
3. B 【解析】如解圖,連接OB,作△ABC 的外接圓,∵ O 是△ABC 的外心,∴ ∠AOB =2∠ACB,AO=BO,又∵ ∠ADC =2∠ACB,∴∠AOB=∠ADC,∴ ∠BOD=∠BDA,∴ BO=BD,∴AO=BD.連接CO,過點 O 作 OF⊥AC于點 F,可得 AF=CF,∠AOF=∠COF,∵∠AOC=2∠ABD,∴∠AOF=∠ABD.∵ DE⊥AB,∴ ∠BED=∠OFA=90°,∴ △BED≌△OFA(AAS),∴DE=AF=2,∴AC=2AF=4.
4. (1)解:作圖如解圖①:
(2)①證明:∵AE為⊙P 的直徑,
∴∠ABE=90°(直徑所對的圓周角是90°),
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADF=90°,
∴∠AFD+∠FAD=90°,
∵AE 平分∠BAD,
∴ ∠BAE=∠FAD,
∴∠AEB=∠AFD(等角代換);
②解:如解圖②,過點 F 作 FM⊥AB 于點 M,則∠AMF=90°,
∵∠AFD=∠BFE,∠AFD=∠AEB,
∴∠BFE=∠AEB(等角代換),
∴BE=BF=5,
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE(兩角分別對應相等的兩三角形相似)，
即
設MF=x,
則AM=2x,
∴ BM=10-2x,
在Rt△BMF中,
解得x=3或x=5(舍去),
即MF=3,
∵AE 平分∠BAD,AD⊥BC,
∴DF=MF=3(角平分線上的點到角兩邊的距離相等).

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