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模型38 雙切線
模型展現
圖示
條件 點P為⊙O外一點,PA,PB是⊙O的切線,切點分別為A,B
結論 PA=PB
結論:PA=PB
證明:如圖,連接OA,OB,OP,
∵PA,PB是⊙O的切線,切點分別為A,B,∴OA=OB,∠OAP=∠OBP=90°,在Rt△OAP和Rt△OBP中,∴PA=PB.
模型解題三步法
例 如圖,PA,PB是⊙O 的切線,切點分別為A,B.若 ,則AB 的長為 .
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題以類解
1.如圖，四邊形ABCD 為正方形，且邊長為4，點 E是BC 邊上一點，以AB 為直徑的半圓切 DE于點 F,則BE的長為 ( )
A. 2 B. C. 1 D.
2. 如圖,CA,CB為⊙O 的切線,切點分別為A,B. AO與CB 的延長線交于點 E. AB,CO 交于點M，連接OB，若 則 的值為 .
3. 如圖,在扇形AOB 中,點 C,D 在. 上，將 沿弦 CD 折疊后恰好與 OA，OB 相切于點E,F.若 則折痕CD的長為 .
4. 如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC 為直徑的⊙O 與 AB 邊交于點 D,點 E 為 BC的中點，連接DE.
(1)求證:DE是⊙O 的切線;
(2)若AC=4,∠B=45°,是否存在以點O,D，B，E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出此時AD的長，若不存在，請說明理由.
5.如圖①，抖空竹是一項傳統體育運動，是國家級非物質文化遺產之一.小雨對抖空竹的過程進行了研究，如圖②，空竹⊙O 落下時與線AB,CD 分別相切于點 E,F,AB 與 CD 相交于點G,A,B,C,D,O在同一平面內.已知⊙O的半徑為1， ∠D,BC∥EF.
(1)求證:△EFG為等邊三角形;
(2)若F為 CD的中點,求AB 的長.
模型38 雙切線
模型解題三步法
例 3 【解析】找模型：是否存在圓外一點引出的圓的兩條切線：圓外一點 P，切線 PA 和PB，抽離模型：如解圖，用模型：根據“雙切線” 模 型 得, PA = PB, OB ⊥ PB,∵ ∠OBA=30°,∴ ∠PBA =90°-30°=60°,∴ △PAB 為等邊三角形(一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形),∴AB=PA=3.
題以類解
1. C 【解析】∵ 四邊形ABCD 為正方形,∴OA⊥AD,OB⊥BC,∴AD,BC均為半圓的切線.找模型：是否存在圓外一點引出的圓的兩條切線：圓外一點 D，切線 DA 和 DF，抽離模型：如解圖，用模型：根據“雙切線”模型得DA=DF,連接OF,同理EF=BE,設BE=x,則CE=4-x,DE=4+x,在 Rt△DCE中,由勾股定理得 即( x) ,解得x=1,∴BE的長為1.
2. 【解析】找模型：是否存在圓外一點引出的圓的兩條切線：圓外一點 C，切線 CA 和CB，抽離模型：如解圖，用模型：根據“雙切線”模型得 ∠CBO=∠CAO=90°,∴ CO⊥AB,∴∠ABO+∠CBM= ∠BCO+∠CBM = 90°,∴ ∠ABO=∠BCO(等角代換),∵OA=OB,∴∠EAB=∠ABO,∴∠BCO=∠EAB,∴sin∠BOO=OBCO= 設 則 CO=10x,在 Rt △COB 中, 由勾股 定理 得 CB = ∵∠OBE=∠CAE=90°,∠E=∠E,∴△OBEC△CAE(兩組對應角分別相等的兩個三角形相似)，
【解析】如解圖，設翻折后的弧的圓心為O',連接O'E,O'F,OO',O'C,OO'交 CD于點 H,由折疊的性質得 OO'⊥CD,OH=O'H,O'C=OB,∴CH=DH(垂徑定理),∵將 沿弦 CD 折疊后恰好與OA，OB 相切于點E,F,∴∠O'EO=∠O'FO=90°,∴OE=OF(“雙切線”模型)， ∴OB=2OF=3,∴ O'C = O'F = OB =3,在Rt△OO'F 中, 由 勾 股 定 理 得 OO' =
4. (1)證明:如解圖,連接OD,CD,OE,∵AC是⊙O 的直徑,
∴∠ADC=90°(直徑所對的圓周角為90°),
∴∠CDB=90°,
∵點E是BC的中點，
∴CE=DE(直角三角形中線性質)，
∵OC=OD,OE=OE,
∴△OCE≌△ODE(SSS),
∴∠OCE=∠ODE=90°,
∵OD 是⊙O 的半徑,
∴DE是⊙O 的切線(切線的性質)；
(2)解:存在.
∵∠ACB=90°,∠B=45°,∴∠A=45°,
∵OA=OD,∴∠ADO=45°,
∴∠AOD=90°,
∴∠AOD=∠ACB=90°,
∴四邊形ODBE 是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).
此時
5. (1)證明:如解圖,連接OE,OF,過點 O 作OH⊥EF于點H,
∵AB,CD分別與⊙O 相切于點 E,F,
∴∠OEG=∠OFG=90°,GE=GF(“雙切線”模型)，
∵OE=OF,
∴ ∠OEF=∠OFE,
∴∠FEG=∠EFG,
又∵⊙O的半徑為1，
∴∠FEG=60°,
∴△EFG為等邊三角形(一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)；
(2)解:∵ BC∥EF,
∴△EFG∽△BCG.
由(1)知△EFG為等邊三角形，
∴ △BCG是等邊三角形,
∴GC=GB,
在△ACG 和△DBG中,
∴△ACG≌△DBG(AAS),
∴AG=DG,
∴AB=CD,
∵F為CD的中點,

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