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模型36 切割線定理
模型展現
類型 切割線定理 割線定理
圖示
條件 在⊙O 中,弦AB 的延長線交⊙O的切線 CD 于點 D 在⊙O 中,弦AB 與弦 CD的延長線交于點E，點E在⊙O外
結論 CD =BD·AD EB·EA=ED·EC
切割線定理結論：
證明:如圖①,連接CO并延長交⊙O 于點E,連接BE,AC,BC.
∵CE是⊙O的直徑,∴∠CBE=90°,∴∠CEB+∠ECB=90°.
∵CD是⊙O的切線,∴∠ECD=90°,∴∠ECB+∠BCD=90°,
∴∠CEB=∠BCD,∵∠CAB=∠CEB,∴∠CAB=∠BCD,
割線定理結論:EB·EA=ED·EC
證明:方法一:如圖②,連接AD,BC.∵∠E=∠E,∠A=∠C,∴△AED∽△CEB,
D方法二:如圖③,連接BD,AC,根據△EBD∽△ECA,證得EB·EA=ED·EC.
模型解題三步法
例1 如圖,AB是⊙O 的直徑,AC是⊙O的切線,A為切點,割線CF交AB于點E,與⊙O 交于點D,且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4,則⊙O的直徑為 .
例2 如圖，AB為⊙O 的直徑，C，D分別為AB 兩側⊙O 上的點，連接CB并延長交AD的延長線
直徑所對的圓周角為直角
于點 E,連接AC,若 B為CE的中點,則AD 的長為 .
在 Rt△ACE 中,據此計算出AE,CE,CB 的長
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題以類解
1.如圖,AB 為⊙O 的直徑,點 P 為 AB 延長線上一點,過點 P 作⊙O 的切線 PC,C 為切點，若PC=2 ,PB=2,則圖中陰影部分的面積為 .(用含π的式子表示)
2.如圖,PA 與⊙O 相切于點 A,連接 PO 并延長與⊙O交于點 B,C,連接AB,AD,BD,CD,若∠P=∠BAD,PA=15,PB=5,則BD 的長為 .
3. 新考法 新圖形 如圖,在△ABC中,AB=6,D為AB邊的中點,E為AC邊上的點,且∠BDC=∠BEC,若AE=2,則AC的長為 .
4. 如圖,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,點 E 在邊AB 上,以AE 為直徑的⊙O 與 BC 相切于點D,且AD平分∠BAC.已知AC=4,AD=2
(1)求⊙O 的半徑;
(2)求 tan B的值.
模型36 切割線定理
模型解題三步法
例1 【解析】找模型：是否存在一條切線和一條弦的延長線在圓外交于一點：弦：DF,切線:AC,交點:點 C,抽離模型:如解圖,用模型:連接AD,BF,設 CD=x,∵CD:DE:EF=1:2:1,∴DE=2x,EF=x,CF=4x,由切割線定理得 即 解得x=2(負值已舍去),∴CD=2,DE=4,EF=2,CE=CD+DE=6,∵AB 是⊙O 的直徑,AC 是⊙O 的切線,∴ AB ⊥AC,在 Rt△ACE中, ∵ ∠DAB=∠DFB,∠DEA=∠BEF,∴△DEA∽△BEF(兩組對角分別相等的兩個三角形相似)，. 即 解得 ∴⊙O 的直徑為
例2 5 【解析】找模型：是否存在圓中的兩條弦在圓外相交：弦：CB 和AD，交點：點E，抽離模型：如解圖，用模型：∵AB 是⊙O 的直徑，∴ B 為CE的中點, 根據“割線定理”得，BE·
題以類解
【解析】找模型：是否存在一條切線和一條弦的延長線在圓外交于一點：弦：AB，切線：CP，交點：點P.抽離模型：如解圖，用模型：根據“切割線定理”得， PA,∵PC=2 ,PB=2,∴(2 ) =2PA, 解得PA=6,∴AB=PA-PB=6-2=4,∴OB=OC
2.32 【解析】找模型：是否存在一條切線與一條弦的延長線在圓外交于一點：弦：CB，切線：AP，交點：點P.抽離模型：如解圖，連接OA，用模型：根據“切割線定理”得， PC,∴PC=PA P =45,∴BC=40,OB=OC=OA=20,∴OP=25,∵ BC 為⊙O 的直徑,∴∠BDC=90°(直徑所對的圓周角為90°),∴∠OAP = ∠BDC = 90°,∵ ∠P = ∠BAD(已知),∠C =∠BAD(同弧所對的圓周角相等),∴∠P=∠C,∴△OAP∽△BDC(兩組對角分別相等的兩個三角形相似)， 即20BD= ,∴BD=32.
3. 9 【解析】∵ ∠BDC=∠BEC,∴B,C,E,D四點共圓,如解圖,以BC 為弦作⊙O.∵AB=6,D為AB的中點,∴AD=3,由“割線定理”可得AD·AB =AE ·AC,∵ AE =2,∴ AC =
4. 解:(1)∵在 Rt△ACD中,AC=4,AD=2
如解圖,連接OD,過點D作DF⊥AB 于點 F,
∵AD平分∠BAC,
(角平分線上的點到角兩邊的距離相等).
∵CD=FD,AD=AD,
∴ Rt△ACD≌Rt△AFD(HL).
∴AC=AF=4.
設⊙O的半徑為r,∴OF=4-r.
在Rt△ODF 中,(
即 解得r=3.
即⊙O 的半徑為3；
(2)如解圖,由(1)知AF=AC=4,OA=3,
∴OF=1,則 EF=2.
∵ BC是⊙O 的切線,點 D 是⊙O 的切點,
(切割線定理)，
即
又∵
即
解得BE=6,
∴BF=8,

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