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模型37 垂徑定理
模型展現
弦和直徑垂直于圓內一點，根據“相交弦定理”解題時.
從題中找①過圓心；②垂直弦；③平分弦(非直徑)；④平分優弧；⑤平分劣弧，若已知其中的兩個，就能推出其余三個.
結論：
證明:如圖,連接OC,OD,則OC=OD.
∵AB⊥CD,
∴∠OEC=∠OED=90°,
在 和 中
∴CE=DE,∠BOC=∠BOD,
∵AB為⊙O 的直徑,
模型解題三步法
例1 如圖,AB為⊙O 的直徑,C,D是圓上兩點,AB⊥CD于點E,連接CO并延長交⊙O 于點F,連接AC,FD,若∠A=40°,則∠CFD的度數為 ( )
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
例2 如圖,AB是⊙O 的弦,C是 的中點,D為⊙O上一點,且∠ADC=30°,若AB=6,則⊙O的半徑為 .
題以類解
1.如圖,點 P 為⊙O 半徑OA 上一點,弦 BC 過點 P 且垂直于 OA,若⊙O 的半徑為5,AP=2，則BC的長為 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 新考法 數學文化情境 筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，圖①是筒車的實景圖，圖②是筒車抽象成的平面示意圖.筒車盛水桶的運行軌道是以軸心 O 為圓心的圓.已知圓心O 在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB 長為6米，若運行軌道的最低點 C 到弦 AB 的距離是 1 米,則⊙O的半徑為 米.
3.如圖，AB為⊙O 的直徑，過點A 的切線交弦 BD 的延長線于點 C，點E 為線段 BD 上一點(不與點 B 重合)，且OE = DE. 若 AB = 8, AC = 6, 則 DE 的長為 .
4.如圖,在⊙O 中,弦AC⊥BD于點 P,BC=BD,E 是 的中點.若 則 PD 的長為 .
5.如圖，在半徑為7的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為2，則在⊙O 中與弦AB 距離為3的弦長為 .
6. 如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上的一點,連接AC,BC,D是 的中點,過點 D 作 DE⊥AB 于點 E,交BC 于點 F.
(1)求證:BC=2DE;
(2)若AC=6,AB=10,求DF的長.
模型解題三步法
例1 C 【解析】如解圖，連接AD.根據“垂徑定理”得BC=BD,∴∠CAB=∠BAD((等弧所對的圓周角相等),∴ ∠CAD =80°,∴∠CFD=80°(同弧所對的圓周角相等).
例2 2 【解析】如解圖,連接OA,OC,OC交AB 于點 E.∵ ∠ADC=30°,∴ ∠AOC=2∠ADC=60°(同弧所對的圓周角等于圓心角的一半)，∵C 是 的中點，根據“垂徑定理”得 ∴在Rt△AOE中, 即⊙O的半徑為2
題以類解
1. C 【解析】找模型：是否存在半徑和一條弦：半徑：OA，弦：BC；半徑與弦是否存在垂直關系：BC⊥OA.抽離模型.如解圖，用模型：連接OB,∵BC⊥OA,OA=5,AP=2,∴OP=3,∴在 Rt△OPB中, +3 ,解得BP=4(負值已舍去),∵BC=2BP(垂徑定理),∴BC=8.
注：也可延長AO與⊙O 相交，根據相交弦定理求解.
2.5 【解析】找模型：是否存在半徑和一條弦：弦：AB；是否存在AB的中點：點C，缺少：半徑.構造模型：如解圖，連接OA，OC，OC交AB于點 D,用模型:設⊙O 的半徑為 R,則OD=R-1,∵AB 為水面,點 C 為最低點,∴OC在豎直線上,∴OC 垂直平分AB,∴AD (垂徑定理),在Rt△AOD 中,R = (勾股定理),解得 R=5,即⊙O的半徑為5米.
3. 2.5 【解析】如解圖,過點 O 作OP⊥BD 于點P,則PB=PD(垂徑定理),∵AC 是⊙O的切線,.. ∠BAC = 90°(切線的性質),在Rt△ABC中,∵AB=8,AC=6,∴BC=10,∵∠BPO=∠BAC=90°,∠B=∠B,∴△BPOC△BAC(兩組對角分別相等的兩個三角形相似)， 即 解得BP=3.2,OP=2.4,∴PD=3.2,設PE=x,則DE=PD-PE=3.2-x,∵OE=DE,∴OE=3.2-x,在 Rt△OPE中, 即(3.2- 解得x=0.7,即 PE=0.7,∴ DE=3.2-0.7=2.5.
4. 4 【解析】如解圖,連接BE,CD,AD,∵ BC=BD,∴ △BCD 是等腰三角形,∵E是 的中點,∴∠DBE=∠CBE,∴ BE⊥CD,∴ BE是⊙O 的直徑(垂徑定理),∴∠BAE=90°(直徑所對的圓周角為( ∴∠AEB =∠ADB(同弧所對的圓周角相等), = ,∵AP=3,∴PD=4.
5. 4 或8 【解析】①如解圖①，當所求弦在弦AB下方時，CD 即為所求弦，過點 O 作OQ⊥CD 交 AB 于點 P,交 CD 于點 Q,連接O( 由題可知,OC=7,OP=2,PQ=3,∴ OQ=5,在 Rt△OQC 中, ②如解圖②，當所求弦在弦AB上方時,CD 即為所求弦,過點 O 作 OP⊥AB于點 P,反向延長 OP 交 CD 于點 Q,連接 由題可知,OC=7,OP=2,PQ=3,∴OQ=1,在 Rt△OQC中,CQ= 8 .綜上所述，CD的長為4 或8
6. (1)證明:如解圖,延長DE交⊙O 于點 G,
∵AB 為⊙O 的直徑,DE⊥AB,
∴DE=GE(垂徑定理),
∵D是 的中點，
∴BC=DG=2DE;
(2)解:如解圖,連接BD,OD,
∴∠DBC =∠BDF(等弧所對的圓周角相等),∴DF=BF,
∵AB為⊙O 的直徑,AB=10,
∴ ∠ACB=90°(直徑所對的圓周角為90°),
由(1)得
設DF=BF=a,則EF=4-a,
即
解得
∴DF 的長為

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