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模型34 圓周角定理
基礎(chǔ)模型
定理 同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
圖示
結(jié)論 ∠ACB= ∠AOB
結(jié)論：
證明:如圖,連接CO并延長交⊙O于點D,∵OA=OB=OC,
∴∠CAO=∠ACO,∠OCB=∠OBC,
∵∠AOD=∠ACO+∠CAO=2∠ACO,∠BOD=∠OCB+∠OBC=2∠OCB,
模型拓展
拓展方向：直徑所對圓周角的特點及同圓(或等圓)中同弧(或等弧)所對圓周角的特點
推論 直徑(半圓)所對的圓周角是直角(90°) 在同圓(或等圓)中，同弧(或等弧)所對的圓周角相等
條件 AB為⊙O的直徑,點C在⊙O上(不與A,B重合) 點A,B,C,D在⊙O上,AB=AB
圖示
結(jié)論 ∠ACB=90° ∠ACB=∠ADB
模型解題三步法
例1 如圖,AB是⊙O 的直徑,C,D是⊙O上的兩點,且∠BDC=32°,則∠BOC的度數(shù)為 ( )
A. 32° B. 64° C. 90° D. 104°
例2 如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB 是⊙O 的直徑, \angle A C B的平分線 CD交⊙O 于點 D,連接AD,∠ACB=90° ∠BCD=45°若 ,則弦AC 的長為 .
題以類解
1. 如圖,點A,B,C都在⊙O 上,連接AB,BC,AC,OA,OB,若∠BAO=25°,則∠ACB 的度數(shù)是( )
A. 90° B. 75°
C. 65° D. 50°
2. 如圖,AB是⊙O的直徑,C,D,E是⊙O 上三點,連接AD,CD,CE,EB,若∠CEB=20°,則∠D 的度數(shù)是 ( )
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
3.如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點(網(wǎng)格線的交點)上，以AB 為直徑的⊙O 經(jīng)過 C,D 兩點,則tan∠ADC= .
4. 如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,若∠A=75°,∠B=60°,AB長為2 ，則⊙O的直徑為 .
5. 如圖,四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O,∠DAB =12 B,若E為 的中點,連接AE,則∠DAE的度數(shù)為 .
6.如圖，在半徑為6的⊙O中，AB與CD為⊙O 的兩條平行弦，E是 上一點,連接AC,AE,BE,CE,若AC=4,∠DCE=30°,則弦BE 的長為 .
7.如圖,四邊形 ABCD 是⊙O 的內(nèi)接四邊形,對角線AC,BD交于點E,AB=AC.
(1)如圖①,BD 是⊙O 的直徑,∠ACD =28°,求∠BAC 及∠DBC 的度數(shù);
(2)如圖②,∠ABC+∠DCB =90°,AD=7,BC=24,求AB 的長.
模型解題三步法
例 1 B 【解析】找模型：是否存在同弧所對的兩個角:圓周角:∠CDB,圓心角:∠BOC,抽離模型如解圖，用模型：根據(jù)圓周角定理得，∠BDC= ∠BOC,∴∠BOC=2×32°=64°.
例2 【解析】根據(jù)圓周角定理作解圖，連接BD,∵ AB 是⊙O 的直徑,∴ ∠ACB =∠ADB = 90°,∵ CD 是∠ACB 的平分線, ∠BCD=45°(同弧所對的圓周角相等)，在Rt△ADB中, 在Rt△ABC中,·
題以類解
1. C 【解析】找模型：是否存在同弧所對的兩個角:圓周角:∠ACB,圓心角:∠AOB,抽離模型:如解圖,用模型:∵ AO=OB,∠BAO=25°,∴ ∠OBA = 25°,∴ ∠AOB = 180°-
2. D 【解析】找模型：是否存在 所對的圓周角和圓心角：圓周角：∠CEB，是否存在AC)所對的圓周角和圓心角：圓周角：∠ADC，缺少：圓心角；構(gòu)造模型：如解圖，連接OC,用模型:∵∠CEB= 20°, ∴ ∠BOC =2∠CEB=40°(同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半).∵∠AOB=180°(平角),∴∠AOC=180°-40°=140°,∴∠D= ∠AOC=70°(同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半).
3. 【解析】如解圖,連接AC,BC.∵ AB 為⊙O 的直徑,∴∠ACB=90°(直徑所對的圓周角為90°),∵∠ADC=∠ABC(同弧所對的圓周角相等),AC=3,BC=2,∴tan∠ABC=
4. 4 【解析】如解圖,連接OA,OB,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ABC = 60°,.. ∠ACB =180°-∠BAC-∠ABC =45°,∴ ∠AOB =90°(同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半),∵OA=OB,∴△OAB 是等腰直角三角形,. ∴⊙O 的直徑為4.
5. 30° 【解析】如解圖,連接AC,∵四邊形AB-CD 內(nèi)接于⊙O,∴ ∠ABC+∠ADC = 180°,∠DAB+∠DCB=180°(圓內(nèi)接四邊形對角和為180°).∵ ∠DAB = 120°,∠ABC = 90°,∴∠BCD= 60°,∠ADC = 90°.∵AD=AB,∴∠BCA=∠DCA=30°(同弧所對的圓周角相等),∴∠DAC=90°-30°=60°.∵ E 為 的中點，
【解析】如解圖,連接OD,OE,DE,BD,過點 D 作 DF⊥BE 于點 F,∵ AB∥CD,AC=4,∴ BD=AC=4(弧相等所對的弦也相等),∵∠DCE=30°,∴∠EBD=30°(同弧所對的圓周角相等),∴∠DOE=60°(同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半)，∵OD=OE,∴△ODE是等邊三角形(一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)，∴DE=6,在 Rt△BFD 中, 在Rt△DFE 中,
7. 解:(1)∵BD是⊙O 的直徑,
∴ ∠DCB=90°(直徑所對的圓周角是90°),
∵∠ACD=28°,
∴∠ACB=62°,∠ABD=28°(同弧所對的圓周角相等)，
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=62°,
∴∠BAC=180°-2∠ABC=56°,
∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=34°;
(2)如解圖，延長BA 與CD 的延長線交于點 F，連接BO 并延長交⊙O 于點 G,連接 CG,連接AO交BC于點H,
∵∠ABC+∠DCB=90°,
··∠F=180°-(∠ABC+∠DCB)=90°(△BCF的內(nèi)角和為180°),
∴∠1+∠BDF = 90°(△BDF 的內(nèi)角和為180°),
∵四邊形 DBGC 是⊙O 的內(nèi)接四邊形,
∴∠BDF=∠G(圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角)，
∵ BG為⊙O 的直徑,
∴∠BCG=90°(直徑所對的圓周角為90°),
∴∠2+∠G=90°(△BCG的內(nèi)角和為180°),
∴∠1=∠2(等角代換),
∴ GC=AD=7(角相等所對的弦相等),
∵AB=AC,∴OA⊥BC(垂徑定理),
∴BH=HC=12,

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