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模型44 四點共圓
基礎模型
圖示 點 C,D 在AB的同側 點C,D 在AB的異側
條件 在由點A,B,C,D 構成的四邊形中,∠ADB=∠ACB=90°
結論 1. 點A,B,C,D在同一個圓上,AB為⊙O的直徑; 2.圓內接四邊形的對角互補
模型拓展
拓展方向：直徑不確定的情況下，四點共圓的判定
圖示
條件 AB 為△ABC 和△ABD的公共邊,點 C,D在AB的同側,且∠C=∠D 在四邊形ABCD中,∠D+∠B=180°(圓內接四邊形對角互補)
結論 點A，B，C，D在同一個圓上
模型解題三步法
例 如圖,在四邊形ABCD中,連接AC,BD,∠BAD=∠BCD=90°,∠BDC=25°,則∠CAD的度數為 .
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題以類解
1. 如圖,點 D,E 分別是等邊△ABC 的邊 BC,AB上的點,∠ADE =60°,點 M 在 AC 上,且∠ADM=60°.若BE=3,則CM的長為 ( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
2. 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,點P是AB上方一點,且∠CPB=∠A,過點 C 作 CP 的垂線，與PB 的延長線交于點Q，則CQ 的最大值為 ( )
A. C.
3. 如圖,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,點 P 為對角線BD 上一動點,過點 P 作PE⊥PF 分別交AB,BC于點E,F,則 的值為 .
4.如圖,已知AC=BC=4,點 D是AB下方一點,且∠C=∠D=90°,則四邊形 ACBD 面積的最大值為 .
5. 如圖,在等腰△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=6，點 P是BA延長線上的一個動點，過點 P分別作 PE⊥BC 于點 E,PF⊥AC 于點F,連接EF,則EF的最小值為 .
6. 如圖,在正方形ABCD中,E是AB的中點,F是AD上一點,且ED=FC,ED,FC 交于點G,連接 BG,BH平分∠GBC 交 FC 于點 H,連接DH.求證：△DGH是等腰直角三角形.
模型44 四點共圓
模型解題三步法
例 65° 【解析】如解圖,根據四點共圓可作⊙O，∵∠BCD=90°,∠BDC=25°,∴ ∠CBD=65°,∵∠CBD=∠CAD(同弧所對的圓周角相等),∴∠CAD=65°.
題以類解
1. C 【解析】∵ △ABC 為等邊三角形,∴ ∠BAC = 60°,∵ ∠ADE = 60°,∠ADM =60°,∴ ∠EDM=120°,∴∠EAM+∠EDM =180°.找模型：是否存在四邊形：四邊形AEDM，是否存在兩個互補的對角：∠EAM和∠EDM.抽離模型：如解圖，用模型：作隱形圓,連接 EM,∴∠AME=∠ADE=60°(同弧所對的圓周角相等),∵ ∠BAC =60°∴△AEM為等邊三角形,∴ AE=AM,∵ AB=AC,∴CM=BE=3.
2. D 【解析】找模型：是否存在圓上四個點：點A，C，B，P，是否存在同弧所對的兩個角相等:∠CPB和∠BAC.抽離模型,如解圖,用模型:根據四點共圓模型作⊙O,∵ ∠ACB =90°,∴AB 是⊙O 的直徑(直徑所對的圓周角為 90°),∴ 點 P 在⊙O 上運動,∵ CP⊥CQ,∴∠PCQ=∠ACB=90°,∴∠A=∠CPB,∴△ABC∽△PQC(兩組對角分別相等的兩三角形相似)， 當 PC 最大時,CQ 最大,∴當PC為⊙O 的真徑時，PC取得最大值(圓中的最長線段為真徑),
∴PC 的最大值為5，∴CQ的最大值為
3. 【解析】如解圖,連接EF,∵ 四邊形 AB-CD 是矩形,∴∠ABC=90°,AD=BC=8(矩形的四個角為90°,對邊相等).∵ PE⊥PF,∴B,F,P,E 四點共圓,∴∠PFE=∠ABD(同弧所對的圓周角相等).
4. 16 【解析】如解圖,過點 C 作 CE⊥AB 于點E,過點 D 作 DF⊥AB 于點 F,∵ ∠ACB =∠ADB=90°,∴A,C,B,D 四點共圓且AB 是圓的直徑,∵ AC = BC = 4,∴ AB = 4 ∴當CE 與 DF 的和等于圓的直徑時，四邊形ACBD的面積最大，即當 時， ∴四邊形ACBD 面積的最大值為16.
【解析】如解圖,過點 A 作AG⊥BC 于點G,∵在等腰△ABC中,∠BAC=120°,AB= 「 連接 PC,取 PC 的中點 O,連接 OE,OF,∵PE⊥BC 于點 E,PF⊥AC 于點 F,∴∠PEC=∠CFP=90°,∴C,P,F,E 四點共圓,∴∠EOF=2∠ECF=2×30°=60°,∵OE=OF,∴△OEF 是等邊三角形,∴ EF =OE= 求EF 的最小值，即求 PC 的最小值.∵∠B=∠ECF=30°,∴當 CP⊥BP 時,PC= 最小，此時EF的值最小，∴EF的最小值為
6. 證明:在正方形ABCD 中,AD=CD,∵ED=FC,∠CDA=∠A=90°,即在 Rt△AED 和 Rt△DFC中,
∴ Rt△AED≌Rt△DFC(HL),
∴∠AED=∠DFC,
∵∠AFC+∠DFC=180°,
∴∠AFC+∠AED=180°,
∴∠A+∠FGE=180°(四邊形內角和定理),
∵∠A=90°,∴∠FGE=90°,
∴∠EGC+∠EBC=180°,如解圖,連接CE,以CE 為直徑畫圓,B,C,G，E四點共圓，
∴∠AED=∠BCG,∠BGC=∠BEC,
在 Rt△BCE 和 Rt△ADE中,
∴ Rt△BCE≌Rt△ADE(SAS),
∴∠AED=∠BEC,∴∠BGC=∠AED,
∴∠BGC=∠BCG,∴BG=BC,
又∵ BH平分∠GBC交 FC于H,
∴BH是 GC的中垂線,
∴GH=HC,∠BHC=90°,
∵ ∠BCH+∠GCD = 90°,∠GCD+∠GDC =90°,∴∠BCH=∠CDG,
∵∠DGC=∠BHC=90°,CD=CB,
∴ 在 △BHC 和△CGD中,
∴ △BHC ≌ △CGD(AAS),
∴DG=HC,
∵ GH=HC,∴GH=DG,又∵∠DGH=90°,
∴ △DGH是等腰直角三角形.

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