資源簡介

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模型43 定點定長確定圓
基礎模型
類型 一點作圓 三點定圓
圖示
條件 平面內(nèi)，點O 為定點，點B為動點，且OB長度固定 OA=OB=OC
結(jié)論 點B的軌跡在以點 O為圓心，OB長為半徑的圓上 點A,B,C均在⊙O上
模型拓展
拓展方向：定點定長確定圓在圖形變化中的應用
類型 翻折生圓 旋轉(zhuǎn)成圓
圖示
條件 在矩形ABCD中，點E是AB邊上的定點，點F 是BC 邊上一點,將△BEF 沿 EF 折疊得到△B'EF 將△ABC 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°得到△AB'C'
結(jié)論 點 B'的運動軌跡是以點 E 為圓心，BE 長為半徑的一段圓弧(如圖中的虛線圓弧) 點B(C)的運動軌跡是以點A為圓心，AB(AC)長為半徑的一段圓弧(如圖中的虛線圓弧)
模型解題三步法
例1 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,D是△ABC外一點,且AD=AC,則∠BDC的度數(shù)AB=AD=AC為 .
例2 如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E為CD邊上靠近點C的三等分點，點 F為BC上一動點,將△ECF沿EF 折疊,點C的對應點為C',連接BC',則 +EC'的最小值為 .
題以類解
1.如圖，將矩形ABCD 繞點A 逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,點 B 的對應點 E落在邊 CD上,且DE=EF,若 則點 C 運動到點 F時的路徑長為 ( )
2. 如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=5,BC=2,則BD的長為 .
3. 如圖,在矩形 ABCD中， 點P為DC邊上一點，將 沿AP 折疊得到 點 D 到點 E的運動軌跡為 當線段EC 的長度最短時，圖中陰影部分的周長是 .
4. 如圖,在△ABC 中,AB =6,BC =4,現(xiàn)將△ABC繞點 B旋轉(zhuǎn),點 C 的對應點為 C',則AC'的最大值與最小值的和為 .
5. 如圖,在邊長為4 的菱形 ABCD 中,∠B =60°,點 E,F 分別是邊AB,BC 上的動點,將△BEF沿 EF 翻折,點 B 的對應點為點 G,連接DG.
(1)如圖①,若點 E 是邊 AB 的中點,求點 F從點 B 運動到 BC 的中點過程中，四邊形AEGD 面積的最大值；
(2)如圖②,若 點 B 的對應點 G恰好落在AD邊上，求BE 的長.
模型解題三步法
例 1 50°或130° 【解析】根據(jù)定點定長模型可知,點B,C,D在⊙A上,如解圖①,當點D在優(yōu)弧 上時,∵∠BAC 是 所對的圓心角,而∠BDC 是 所對的圓周角， (在同圓或等圓中同弧所對的圓周角等于圓心角的一半)，如解圖②，當點 D 在劣弧 上時， ∠DAC),∵ ∠BAD+∠DAC=∠BAC=100°, 綜上所述,∠BDC 的度數(shù)為50°或130°.
例2 2 【解析】根據(jù)定點定長模型作圓，如解圖，連接BE交⊙E于點 P,則BC' 即 的最小值為 BE 的長(兩點之間線段最短)，∵正方形ABCD的邊長為6,點 E 為 CD 邊靠近點 C的三等分點,∴ BC = 6,EC =2,∴ BE = 即 的最小值為
題以類解
1. C 【解析】找模型:矩形ABCD 中是否存在定長：AC.抽離模型：如解圖，用模型：連接AC,AF,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,BC=EF,AB =AE,∵DE=EF,∴DE=BC=AD,在 Rt△ADE中,DE=AD,∴∠DAE=45°,AE= AD= =AB,∴∠EAB=90°-45°=45°,即旋轉(zhuǎn)角為45°,∴ ∠FAC = 45°,在 Rt△ABC 中,AC = ∴點 C 運動到點 F 處時的路徑長為
2. 4 【解析】找模型：題中是否存在一定點和定線段：定點為點 A，定線段為 AB，AC，AD.∵AB=AC=AD=5,∴點 B,C,D 在以A為圓心，AB 長為半徑的同一個圓上(三點定圓)，抽離模型：如解圖，用模型：延長 BA 交⊙A 于點 F,連接IDF.∵ DC∥AB,∴DF=BC,∴DF=CB=2,BF=5+5=10,∵ FB 是⊙A 的直徑,.
【解析】由折疊的性質(zhì)可知，AE=AD，∴點 E 的運動軌跡是以點A 為圓心，AD長為半徑的圓弧，∴當EC的長度最短時，A，E，C三點共線，如解圖，∵在矩形ABCD中，AB= ,AD = 1,∴ AC = 2,∠DCA = 30°,∠DAC=60°，由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可知,PE=PD,∠PEC=90°,∴PC=2PE.
∵ PC
4.12 【解析】如解圖,以點 B 為圓心,BC 長為半徑作圓,AC '即為AC'的最大值,AC '即為AC'的最小值(點圓最值).∵AB=6,BC=4, 10+2=12,即 AC'的最大值與最小值的和為12.
5.解:(1)如解圖①,以E為圓心,BE 長為半徑作圓，由題意可得，點G 的運動軌跡為⊙E的一部分(三點定圓)，
過點 E 作 EH⊥DA 交 DA 的延長線于點 H,∵點E為AB的中點,∠B=60°,AD∥BC,
在Rt△EHD中, 當EG⊥DE時,S△DEC 取得最大值,
∴ 當點 F 運動到 F 的位置時,此時 EG⊥ED,S△DEC 的值最大,即 S四邊形AEGD 的值最大,∵EG=EB=2,
∴ 四邊形AEGD 面積的最大值為
(2)∵ BF的長為定值,
∴如解圖②，以F 為圓心，BF 長為半徑作圓,交AD于點 G,過點E作EQ⊥BC于點Q,過點A作AH⊥BC于點 H,
∵AB=4,∠B=60°,AH⊥BC,
由折疊可知
∵AH是AD與BC 的距離,
∴ FG是AD 與BC 的距離,∴FG⊥BC,由折疊可知∠BFE=∠GFE=45°,
∵EQ⊥BC,∠B=60°,∠EFQ=45°,
∴∠BEQ=30°,∠EFQ=∠FEQ=45°,
解得

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