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模型42 定角定高
模型展現
圖示
條件 在△ABC中,AD⊥BC于點D,其中∠BAC=α(定角),AD是BC邊上的高,且AD=h(定高)
結論 構成等腰三角形(AB=AC)時： 1. BC的長最小; 2. △ABC的周長最小; 3. △ABC的面積最小
結論1：構成等腰三角形(AB=AC)時，BC的長最小
證明:如圖①,作△ABC的外接圓⊙O,連接OA,OB,OC,
過點O作OE⊥BC于點E,設⊙O的半徑為r,∵ ∠BAC=α,AD=h,
∴∠BOE=∠BAC=α,
∴BC=2BE=2OB·sinα=2r·sinα,OE=r·cosα.
∵OA+OE≥AD(當且僅當點A,O,E三點共線時,等號成立),
∴r+rcosα≥h,
∴當取等號時r有最小值，此時BC的長最小.
結論2：構成等腰三角形(AB=AC)時， 的周長最小
證明：如圖②，延長CB 至點 E，使得 ,延長 BC 至點 F,使得( 連接AE,AF,
∴△ABC的周長為
∴當EF最小時,△ABC 的周長最小.
∵ BA=BE,CA=CF,
∴當 時，EF的長最小，即. 時， 周長最小.
結論3：構成等腰三角形 時， 的面積最小
自主證明：
模型解題三步法
例 在 中， 交BC于點D.
(1)如圖①,若 ，則BC 的最小值為 ；
(2)如圖②,若 則△ABC 面積的最小值為 .
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題以類解
1. 如圖,在△ABC 中,∠BAC=90°,BC 邊上的高AD=6,則△ABC周長的最小值為 .
2.如圖，在平面直角坐標系中，A(4,0),OB=AB,∠ABO=90°,點 M,N 在OA 上運動,且∠MBN=30°,則 MN的最小值為 .
3. 如圖,在 ABCD中,AD 與BC之間的距離為2,點 E 是AD邊上一點,且∠BEC=45°,則線段 BC 的最小值為 .
4. 如圖,在△ABC 中,∠BAC = 60°,AD 平分∠BAC 交BC于點 D.若AD=6,則△ABC面積的最小值為 .
5.真實問題情境
【問題提出】
(1)如圖①,直線m∥n,m,n之間的距離為12,點 P 在直線m上,點 E,F在直線n上,若∠EPF=45°,求EF 的最小值;
【問題解決】
(2)如圖②，四邊形ABCD 為某運動場館外的廣場草坪設計示意圖.在四邊形 ABCD中， AD 與 BC 之間的距離為12米,且∠A+∠D=240°.已知種植草坪的成本為每平方米20元.為了節省費用，四邊形 ABCD 的面積是否存在最小值 若存在，求出此時四邊形ABCD 面積的最小值，并預估此種情況下種植草坪的成本(成本的計算結果保留整數)；若不存在，請說明理由.(參考數據：
模型42 定角定高
模型展現
自主證明：
如圖,作△ABC的外接圓⊙O,連接OA,OB,OC,過點O作OE⊥BC于點 E,
AD 為定值,
∴ BC 取得最小值時，△ABC 的面積最小.當 AB =AC 時,點 D與點E重合，此時BC的長最小，即△ABC的面積最小.
模型解題三步法
例 (1)20 【解析】根據定角定高模型作⊙O,如解圖①,連接 OA,∵ ∠BAC = 90°,∴BC為 ⊙O 的直徑,BC=2OA,∵ OA≥AD(直角三角形的斜邊>直角邊，重合時取得等號),∴當點 O 與點 D 重合時,OA 取得最小值,最小值為AD的長,此時BC=2AD=20,∴BC的最小值為20；
【解析】如解圖②，根據定角定高模型，得 (垂徑定理),OA=OB=OC,∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∠OBC=∠OCB=30°,設 OA=OB=OC=r,則 OE= 解得 ∴當A,O,E三點共線,即點 D 與點 E 重合時，BC取得最小值，此時
△ABC 面積的最小值為
題以類解
【解析】找模型：是否存在三角形:△ABC,三角形中是否存在定角:∠BAC,三角形中是否存在定高：AD.抽離模型：如解圖，用模型：延長CB 至點 B'，使 延長BC至點 C',使CC'=AC,∴ △ABC 的周長為 135°,作△AB'C'的外接圓⊙O,連接 OA,OB',OC',過點 O 作 OE⊥B'C'于點 E,則 ∠OC'B'=45°,設( ,則B'E= 解得 12+12 ,∴ △ABC 周長的最小值為 12+
【解析】找模型：是否存在三角形：△BMN，三角形中是否存在定角：∠MBN，三角形中是否存在定高：點B 到 x軸的距離.抽離模型:如解圖,用模型:∵ OB =AB,∠ABO=90°,∴△ABO 為等腰直角三角形,根據定角定高模型作△BMN的外接圓⊙P，連接PM,PN,BP,過點 P 作 PQ⊥MN 于點Q,過點 B作 BG⊥MN于點 G,∵A(4,0),∴OA=4,BG=AG=OG=2,∵∠MBN=30°,∴∠MPN=60°,∵ PM=PN,∴ △PMN 為等邊三角形,∴∠MPQ=30°,設⊙P 的半徑為 r,則 當且僅當點B，P，Q三點共線，即點Q 與點G重合時 此時r最小，解得 ，即MN的最小值為
【解析】如解圖,過點 E 作 EF⊥BC于點 F,作△BEC 的外接圓⊙O,連接OB,OC,OE,過點 O 作OG⊥BC 于點 G,由題意得 ∠BOC=2∠BEC,∵∠BEC=45°,∴∠BOC=90°,∠OBC=∠OCB=45°.設OB=OC=OE=r,則 解得，r≥4-2 ,∴BC 當G，O，E三點共線，即點F 與點G重合時，BC有最小值，最小值為
【解析】∵ ∠BAC = 60°,AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD=30°,如解圖,過點 D作 DH⊥AB 于點 H,作DG⊥AC 于點 G,則 60°,∴∠HDG=120°(四邊形內角和等于360°),∴∠BDH+∠CDG=60°,在線段 AH 上截取 HE=CG,連接 DE,則△DHE≌△DGC,∴∠EDH=∠CDG,∴ ∠BDE=∠BDH+∠EDH=∠BDH+∠CDG=60°,易證 2S△ADC,而 要使△ABC面積最小，只需△BDE 面積最小，作△BDE 的外接圓⊙O,過點 O 作 ON⊥BE 于點N.連接 OD,OB,OE,∵ ∠BDE=60°,∴∠BOE=120°,設⊙O 的半徑為r,則 BE= E面積的最小值為 ∴ △ABC 面積的最小值
5. 解:(1)如解圖①,作△PEF的外接圓⊙O,連接OE,OF,OP.設OE=OF=OP=r,過點O作OG⊥EF于點 G,過點 P 作 PH⊥EF 于點 H,由題意得PH=12,
∵∠EPF=45°,∴∠EOF=2∠EPF=90°,
∵OE=OF,∴∠OEF=45°,
∵OG+OP≥PH,即
當G與H重合時取等號，
∴r的最小值為
∴EF的最小值為
(2)存在.
如解圖②,過點 D 作 DE∥AB 交 BC 于點 E,作△DEC 的外接圓⊙O,過點 O 作 OH⊥EC于點H,過點D作DF⊥EC于點 F,連接OD,DH,OE,設⊙O半徑為 R,∴∠A+∠ADE=180°.∵∠A+∠ADC=240°,∴ ∠EDC=240°-180°=60°.
∵OD+OH≥DH≥DF,OH⊥EC,
∴∠EOH=∠EDC=60°,
即R≥8.
∵EC=2EH=2OE·sin∠EOH=2OE· sin 60°= R;
∴當D,O,H三點共線,即點 F 與點 H重合時，EC的值最小，此時R=8,EC=8
∵AD∥BE,AB∥DE,
∴四邊形ABED 為平行四邊形，
∴ S四邊形ABCD=S平行四邊形ABED+S△DEC,
∴四邊形 ABCD 面積的最小值為 (平方米)，
(元).
答：四邊形ABCD 的面積存在最小值，四邊形ABCD 面積的最小值為96 平方米，種植草坪的成本約為3322元.

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