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模型53 “阿氏圓”模型
基礎模型
圖示
條件 點P是半徑為r的⊙O上一動點，點A，B為⊙O外兩定點
問題 當r,k滿足r=k·OA(0結論分析
如圖，點P是半徑為r的⊙O上一動點，點A，B為圓外的定點，且 如何確定點 P的位置，使得 的值最小.
一找：找帶有系數k的線段AP；
二構：在線段OA上取一點C，構造
①在線段OA上截取OC，使(
②連接PC,OP,證明
三轉化：通過相似三角形的對應邊成比例，將kPA轉化為PC；
四求解：使得 利用“兩點之間線段最短”轉化為求BC的長.
模型拓展
拓展方向：拓展“阿氏圓”與“胡不歸”之間的關系
共同點 平面上有一動點P，兩定點A，B，如何確定點P 的位置，求解形如kAP+BP的最值
不同點 1.軌跡不同：若點 P的軌跡為一條直線，則考慮“胡不歸”模型；若點P的軌跡為圓或圓 的一部分，則考慮“阿氏圓”模型： 2.解題方法不同：“胡不歸”模型是利用銳角三角函數和垂線段最短解題；“阿氏圓”模 型是利用“A字”型相似三角形解題
模型解題三步法
例1 如圖，在 中， ⊙O 的半徑為2，點P為⊙O上一動點.
的最小值為 ；
的最小值為 .
例2如圖，在 中， D為三角形內部一動點，且 頁 的最小值為 .
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題以類解
1. 如圖,已知點A(1,0), ⊙O 與x軸,y軸分別交于點 M,N,⊙O 的半徑為2,點P是 上一動點，連接PA，PB，則 PB的最小值為 .
2.如圖，在矩形ABCD中， 18, 點P是矩形內部一點，且 15,連接 PC,PD,則 的最小值為 .
3.如圖，正方形ABCD的邊長為4，內切圓記為⊙O，P為⊙O上一動點，則 PB的最小值為 .
4.如圖，拋物線 3與x軸分別交于點A，B(點B在點A的右側),與y軸交于點C,連接BC.點D 與點 C關于原點O 對稱，作射線BD 交拋物線于點E,且
(1)求拋物線的表達式；
(2)過點B作 交拋物線的對稱軸于點 F，以點 C 為圓心，以 的長為半徑作⊙C，點T為⊙C上的一個動點，求 的最小值.
模型解題三步法
例1 (1) 【解析】根據“阿氏圓”模型作
解圖①， (兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似)， 連接AC 與⊙O 交于點 P',點 P'即為使得. 最小時的點 P，此時 的最小值為AC 的長(點圓最值)， OA=6,∠AOC=90°,∴在 Rt△AOC 中,AC= 的最小值為
【解析】找模型：圓上是否存在一動點：點P，圓外是否存在兩定點：點A和點B，是否求一動點和兩定點構造線段和的最小值，且一條線段帶系數： 抽離模型：如解圖，用模型 根據“阿氏圓”模型作解圖②,∴△OPD∽△OAP(兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似)，∴ BP,連接BD與⊙O 交于點 P',點 P'即為使得 的值最小時的點 P，此時 BP 的最小值為 BD 的長(點圓最值),∵ OD ∴在Rt△BOD 中,
的最小值為
例2 點D 點A 和點 B
【解析】根據“阿氏圓”模型作圖如解圖,∴ △MCD∽△DCB(兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似)， 則 連接AM交⊙C 于點 D',點 D'即為 的值最小時的點 D，其最小值為 AM 的長(點圓最值)， = ,AC=4,∠ACB =90°,∴在 Rt△AMC 中, 的最小值為
題以類解
【解析】找模型：圓上是否存在一動點：點P，圓內是否存在兩定點：點A 和點 B，是否求一動點和兩定點構造線段和的最小值，且一條線段帶系數：2PA+PB.抽離模型：如解圖，用模型：根據“阿氏圓”模型，在OA的延長線上作 OH=4,連接BH,OP,PH,∵ ∠POH,∴△AOP∽△POH(兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似)， = ,∴HP=2PA,∴2PA+PB=HP+PB,∴當B,P,H三點共線時,2PA+PB 有最小值,最小值為HB 的長(點圓最值),在 Rt△BOH中， 的最小值為
【解析】找模型1：是否存在一動點：點 P，是否存在一定點：點A，是否存在一定線段：AP，故根據定點定長確定圓作以點A為圓心，AP長為半徑的圓弧，點P 在圓弧上運動.找模型2：是否存在圓上一動點：點P，是否存在圓外兩定點：點C 和點 D，是否求一動點和兩定點構造線段和的最小值，且一條線段帶系數： 抽離模型：如解圖，用模型：根據“阿氏圓”模型在線段AD 上作 ∵四邊形 ABCD 是矩形,∴ =∠DAP,∴△PAE∽△DAP(兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似)， 連接CE交⊙A 于點 P',∴當點 P,P'重合時, 取得最小值，CE 即為 最小時的長(點圓最值),在 Rt△CDE 中,CD=18,DE=AD-AE=16,∴ CE= 18 +16 = 的最小值為
3. 2 【解析】如解圖,連接OP,OB,設⊙O的半徑為r，則 2 ,取OB的中點I,連接PI,AI,∴OI=IB= OBP,∠O是公共角,∴△BOP∽△POI(兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似)， AP+PI(“阿氏圓”模型),∴當A,P,I在一條直線上時， 最小，最小值為 AI的長,過點I作IE⊥AB 于點 D E,∵∠ABO=45°,∴IE= 的最小值為 的最小值是
4. 解:(1)由題意得,C(0,-3),
∵點D與C關于原點O對稱，
∴點D(0,3),
∵BD=DE,
∴點 D 為BE的中點,
設點B(m,0),則點E(-m,6),
將點B(m,0),E(-m,6)代入拋物線 2ax-3中,
得
解得
∴拋物線的表達式為
(2)∵拋物線
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
令y=0,則
解得
∴OB=4,
如解圖，設直線x=1與x軸的交點為 Q，則∠FQB=90°,
∴∠QFB+∠QBF=90°,
∵BF⊥BC,
∴∠FBC=90°,
∴∠OBC+∠QBF=90°,
∴∠QFB=∠OBC,
∵BQ=4-1=3,OC=3,
∴BQ=OC,
又∵∠FQB=∠BOC=90°,
∴△FQB≌△BOC,
∴BF=CB.
在Rt△BOC中,OB=4,OC=3,由勾股定理得BC=5,
∴BF=BC=5,
在CB上截取 CG=1,連接GT,CT,則 GB=5-1=4,
又∵∠GCT=∠TCB,
即
∵點F(1,4)為定點,∴當F,T,G三點共線時, 的值最小，最小值為線段GF的長，在Rt△GBF中,GB=4,BF=5,由勾股定理得
的最小值為

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