資源簡介

模型46 “A字”模型
基礎(chǔ)模型
兩個三角形的對應(yīng)邊不確定，則分兩種情況:①∠ADE=∠ABC,此時為正“A 字” 型; ②∠ADE=∠ACB,此時為斜“A字”型.
結(jié)論分析
結(jié)論:△ADE∽△ABC
證明:證法1:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,
∴ △ADE∽△ABC.
證法2：當(dāng) 時,△ADE∽△ABC.
自主證明：
模型拓展
拓展方向：由正“A字”型向斜“A字”型拓展
類型 斜“A字”型(共角) 斜“A字”型(共角共邊)
圖示
條件 在△ABC中,點 D 是AB 上的點,點 E 是AC上的點,∠AED=∠ABC或∠ADE=∠ACB 在△ABC中,點 D 是AB 上的點,∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB
結(jié)論 △ADE∽△ACB △ADC∽△ACB
模型解題三步法
例1 如圖,在 ABCD中,點E 在邊AD上,連接BE并延長交CD的延長線于點F,若AE=2ED,DE∥BC則FD:FC的值為 .
例2 如圖,在Rt△ABC中, 點D是AB邊上的點， 交AC于點E, AB=10,則BC的長為 .
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
題以類解
1. 如圖,在△ABC中,點 D,E分別在邊AB,AC上,連接DE,且DE∥BC,若AD=3,AB=4,S四邊形DECB=14,則S△ABC= ( )
A. 50 B. 40 C. 32 D. 26
2.如圖,在四邊形ABCD中,點 E 是BC的中點,連接AC,DE,交于點 F,且∠AFD=∠B.若CE=2,AC=5,則下列結(jié)論正確的是 ( )
A. AB:EF=5:3
D. △CEF∽△CAB
3. 如圖,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直徑,CD 是⊙O 的切線，若 則⊙O的半徑為 ( )
A. B.
4. 如圖,在△ABC中,過點A 作AD⊥BC 于點D,正方形EFGH內(nèi)接于△ABC,點H,G在邊BC上,點 E,F分別在邊AB 和AC 上.若AD=5cm,BC=10 cm,則正方形 EFGH的邊長為 cm.
5.如圖，在矩形 ABCD 中,點E 是 AB 的中點,點F 是 BC 上的一點,
AB=8,∠FED=30°,∠FDE=45°,則 BC 的長度為 .
6.如圖，E是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接BE,DE,CE=DE.
(1)求證:∠DEB=2∠DAB;
(2)求證:
7.如圖，拋物線 與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B(0,6).
(1)求拋物線的解析式；
(2)在x軸上有一動點 P(m,0)(點 P不與點A，點O 重合)，過點 P作x軸的垂線交直線AB 于點 N,交拋物線于點 M.若 PN:MN=1:3,求m的值.
模型展現(xiàn)
自主證明：
∴△ADE∽△ABC.
模型解題三步法
例1 【解析】找模型：是否存在共角的兩個三角形:△FED 和△FBC,共角:∠EFD=∠BFC，共角的兩個三角形是否存在平行關(guān)系：DE∥BC.抽離模型：如解圖，用模型：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,根據(jù)正“A字”型模型可得:△FED∽△FBC,
例2 6 【解析】找模型：是否存在共角的兩個三角形:△ABC 和△AED,共角:∠BAC =∠EAD，共角的兩個三角形是否存在其他相等的角:∠ADE=∠ACB.抽離模型:如解圖,用模型：根據(jù)斜“A字”型共角模型得： 即 AC=8,∴在 Rt△ABC 中,
題以類解
1. C 【解析】找模型：是否存在共角的兩個三角形: △ADE 和 △ABC, 共角: ∠DAE =∠BAC；共角的兩個三角形是否存在平行關(guān)系：DE∥BC.抽離模型：如解圖，用模型：根據(jù)正“A 字”型模型可得:△ADE∽△ABC, =32.
2. D 【解析】找模型：是否存在共角的兩個三角形: △CEF 和 △CAB, 共角: ∠FCE =∠BCA，共角的兩個三角形是否存在其他相等的角:∠CFE=∠B.抽離模型:如解圖.∵∠AFD=∠B,∠AFD=∠CFE(對頂角相等),∴∠B=∠CFE,用模型:根據(jù)斜“A字”型共角模型可得:△CEF∽△CAB,∴ 選項 D正確； ,∴AB:EF=5:2,∴λ選項 A 錯誤;∵點 E是 BC的中點， ，∴選項C錯誤； ∴選項 B錯誤.
3. C 【解析】如解圖,連接OC,設(shè) CD=x,則 ∵CD 是⊙O 的切線(已知切線，連半徑，半徑與切線夾角為90°)， ∵AB 是⊙O 的直徑,∴∠ACB=90°(直徑所對的圓周角為90°),∴∠ACO+∠OCB = 90°,∵ ∠OCB + ∠BCD = 90°,∴∠ACO=∠BCD,又∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO,∴∠CAO=∠BCD,根據(jù)斜“A 字”型模型可得： 解得 ∴⊙O 的半徑為
4. 【解析】如解圖，設(shè)AD 與 EF 相交于點I,∵四邊形 EFGH為正方形,∴EF∥HG,EH⊥BC.∵ AD⊥BC,EF⊥EH,∴四邊形 EIDH為矩形,∴DI=EH=EF.∵ EF∥HG,∴∠AEF=∠B,又∵ ∠EAF = ∠BAC,∴ △AEF∽△ABC(正“A字”模型), 同理可得△AEI∽△ABD(正“A字”模型), 即 解得 ∴正方形 EFGH 的邊長為
【解析】如解圖，延長DE，CB交于點M,過點 F 作 FN⊥DE 于點 N,則∠FNE =∠FND=90°,∵ ∠FDE=45°,∴ △FND 為等腰直角三角形.∵四邊形 ABCD 是矩形，∴AB=CD=8,∠A=∠ABC=∠ABM=90°,BC=AD.設(shè)NF=x,則DN=x,FE=2x,∴EN= ( +1)x.∵E 是AB 的中點,AB=8,∴AE=BE=4.∵∠A=∠EBM=90°,∠AED=∠BEM,AE=BE,∴ △AED≌△BEM(ASA),∴AD=BM,ME=DE=( +1)x,∴MN=ME+EN=(2 +1)x.∵∠M=∠M,∠EBM=∠FNM=90°,∴ △MEB∽△MFN(斜“A字”模型),
6. (1)證明:如解圖,連接BD.
∵四邊形ABCD 是菱形,
∴AC 垂直平分BD,∠DAB=∠DCB.
∵E是AC上一點,∴ DE=BE.
∵DE=CE,∴CE=BE,∠EDC=∠ECD.
∴∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠ECD.
同理:∠AEB=2∠ECB,
∴∠BED=2(∠ECD+∠ECB)=2∠DCB.
又∵∠DAB=∠DCB,
∴ ∠DEB=2∠DAB;
(2)解:∵ 四邊形ABCD 是菱形,
∴AB=BC.
∴ ∠BAC=∠BCA.
由 (1) 得 ∠EBC
=∠ECB,
∴∠EBC=∠BAC.
在△BEC 和△ABC中,
∵∠EBC=∠BAC,∠ACB=∠BCE,
∴△BEC∽△ABC(斜“A字”模型);
即
7. 解:(1)把點A(4,0),B(0,6)代入拋物線中,得 解得
∴拋物線的解析式為
(2)∵P(m,0),∴OP=|m|,∴AP=|4-m|,∵ PM⊥x軸,∴OB∥PN,∴∠ANP=∠ABO,又∵∠APN=∠AOB=90°,
∴ △OAB∽△PAN(正“A字”模型),
即
∵點M 在拋物線上，
當(dāng)04時,同理,解得 (舍去), 當(dāng) 時，m不存在；當(dāng) 時,∵ PN:MN=1:3,∴ 解得 (舍去), 綜上所述，若PN:MN=1:3,m的值為 或

展開更多......

收起↑